再版序　微分方程是什么

在回答“微分方程是什么”这个问题前，先要回答一个更原始的问题：微积分是什么？

首先，微积分包括微分（或导函数）和积分（作为黎曼和的极限），无须中值公式，无须存在，只需连续函数类，便有整体定义的一维模型。

现在要回答：已知函数是谁的导数？

若是的导数（），则称是的原函数（那么原函数基本上唯一，仅相差一个常数）或不定积分，记为。

若，则原函数，有

我们可称其为微分方程（方程的解不再是数，而是函数）。故微分方程便包括三角函数之间的关系。此内容详见 Free Calculus（林群著，World Scientific，2010）以及《直来直去的微积分》（张景中著，科学出版社，2010）。

由此容易推广到抽象函数（定义域取值于 Banach 空间），只要把绝对值改为范数即可。但是，如果推广到算子，即由一个函数空间到另一个函数空间，那么有什么共同点可利用呢？

这时，积分不再有面积或体积之类明确的几何意义，但是仍然有原函数的定义以及唯一性。

林群

2022年2 月