第二节 数学物理学

66.阿基米德构建了一门静力学。作为数学的一个分支，静力学只是因其拥有物理性的特殊公理而区别于欧几里得几何。它关注的是杠杆平衡和重心的确定，但却完全属于纯数学领域，因此并不导向一种关于机械的理论。对阿基米德而言，它最大的作用在于使我们能够借助于杠杆平衡导出关于立体体积的命题。他认为这种方法不值得列入他所发表的著作（这又是希腊人对待数学所特有的严格方式），这并非因为它利用了静态的考虑（因为它们严格建立在公理基础之上），而是因为它所依据的观念，即把立体看作无限数目的平面截面的聚集。后来的数学家会毫无顾忌地使用这一观念，并由此导出许多重要的结果。但在柏拉图、欧多克斯和欧几里得的学派中受过训练的希腊数学家却会认为，这种对无限概念的不严格使用没有任何证明力；虽然在私下里，它被充满感激地当作一种富有成效和启发性的辅助方法，但在正式发表的著作中，它的所有痕迹都必须抹去；这里只有间接的极限过程方法才能被容忍（I:62）。

67.阿基米德对流体静力学的处理同样是纯数学的；它以一些被认为自明的公理为基础，被用于纯数学问题。虽然它没有言及逻辑斯蒂（I:64），体现了欧几里得《几何原本》的典型特征，但它同样也是阿基米德式的：在表述了浸在液体中的物体的浮力定律（仍以他的名字命名）之后，阿基米德并没有继续讨论其简单的物理应用，而是立刻转到极为复杂的问题，即漂浮的旋转抛物截面的稳定性问题。

欧几里得和托勒密（Ptolemy）也在同样的纯数学领域讨论了透视学或几何光学。然而，我们稍后将会看到（I:100），对光的折射研究导出了一些类似于实验物理学的探索。

最后，希腊声学也更多地属于数学物理学，而不是实验物理学：先是一些关于音高的介绍性评论（它们偶尔也能显示对声音振动性质的理解），然后几乎立刻变成了关于音和音程的算术理论。在许多个世纪中，音乐作为一门学科，关注的更多是数的关系，而不是可以听到的声音。这与柏拉图的观念相一致：音乐的本质在于数，我们所听到的东西只是数的理想世界在物质世界的一种能用听觉把握的不完美的摹本。这个理想世界最好是通过算术学家的思辨去理解，而不是通过音乐家的感情来理解。