3.1.4 衬砌的内力计算方法

（1）按自由变形均质圆环计算内力 在饱和含水地层中的装配式钢筋混凝土圆形隧道衬砌可按“均质刚性圆环”进行内力计算。结构计算简图如图3-7所示。

采用弹性中心法计算。由于结构及荷载对称，拱顶剪力等于零，属于二次超静定结构。衬砌底部截面只有相对位移（竖向下沉）而无水平变位及转角，可将底截面视为固定端。另外，根据弹性中心处的相对角位移和水平位移等于零的条件（δ₁₂=δ₂₁=0）可列出力法方程：

由于EI为常数，d_s=R_Hdα（R_H为圆环计算半径），故

圆环中任意截面上内力可由下式得到：

衬砌圆环断面的内力计算见表3-4，设计时可直接利用表中公式。

（2）考虑土壤介质侧向弹性抗力的圆环内力计算 仍按均质刚度圆环计算，荷载分布如图3-8所示。

地层抗力图形分布在水平直径上、下各45°范围内，在水平直径处：

式中 η——衬砌圆环抗弯刚度的折减系数，η=0.25～0.80；

y——圆环水平直径处受荷后最终半径变形值。

由p_k引起的圆环内力（弯矩M、轴力N、剪力Q）为

将p_k引起的圆环内力和其他长期外荷载引起的圆环内力叠加，即得最终的圆环内力。

（3）日本修正惯用法 错缝拼装的衬砌圆环，可通过环间剪切键或凹凸榫等结构使接头部分弯矩传递到相邻管片。对于错缝拼装的管片，挠曲刚度较小的接头承受的弯矩不同于与之邻接的挠曲刚度较大的管片承受的弯矩。目前，考虑接头的影响主要通过假定弯矩传递的比例来实现。国际桥隧推荐η-ξ法和旋弹簧（半铰）（K-ξ法）。

1）η-ξ法。首先，将衬砌环按均质圆环计算，但考虑纵缝接头的存在，导致整体抗弯刚度降低，取圆环抗弯刚度为ηEI（η为弯曲刚度有效率，η≤1，按表3-5取值）。计算圆环水平直径处变位y，两侧抗力P_k=ky后，考虑错缝拼装管片接头部分弯矩的传递，错缝拼装弯矩重分配见图3-9。

接头处内力

管片内力

式中 ξ——弯矩调整系数，按表3-5取值；

M、N——均质圆环计算弯矩和轴力；

M_j、N_j——调整后的接头弯矩和轴力；

M _s、N_s——调整后管片本体弯矩和轴力。

2）K-ξ法。该方法中用一个旋转弹簧（半铰）模拟接头，且假定弯矩与转角θ呈正比，由此计算构件内力，如图3-10所示。

式中 K——旋转弹簧常数（kN·m/rad），根据试验确定或根据以往设计计算的经验来确定。若管片环没有接头，则K=∞，ξ=0；若管片环的接头为铰接，则K=0，ξ=1。

（4）按多铰圆环计算圆环内力 山本稔法计算原理：圆环多铰衬砌环在主动土压力和被动土压力作用下产生变形，圆环由一个不稳定结构逐渐转变成稳定结构，圆环变形过程中，铰不发生突变。这样多铰系衬砌环在地层中不会引起破坏，能发挥稳定结构的机能。

1）基本假定。

①适用于圆形结构。

②衬砌环在转动时，管片或砌块视为刚体处理。

③衬砌环外围土抗力按均变形式分布，土抗力的计算要满足对衬砌环稳定性的要求，土抗力作用方向全部朝向圆心。

④计算中不计及圆环与土壤介质间的摩擦力。

⑤土抗力和变位间关系按温克勒地基假设计算。

2）计算方法。具有n个衬砌组成的多铰圆环结构计算（图3-11），（n-1）个铰由地层约束，而剩下一个成为非约束铰，其位置经常在主动土压力一侧，整个结构可以按静定结构来解析。

衬砌各个截面处地层抗力方程：

式中 q_i-1——i-1铰处的土层抗力（kN/m2）；

q_i——i铰处的土层抗力（kN/m2）；

α_i——以q_i为基轴的截面位置；

θ_i——i铰与垂直轴的夹角；

θ_{i -1} ——i-1铰与垂直轴的夹角。

杆1-2（图3-12）

θ_{i -1}=0°，θ_i=60°，θ_i-θ_i-1=60°

由∑X=0可得

上式整理可得

由∑Y=0可得

由∑M=0（对铰2取矩）可得

杆2-3（图3-13）

由∑X=0可得

由∑Y=0可得

由∑M=0（对铰3取矩）可得

杆3-4（图3-14）

θ_{i -1}=120°，θ_i=180°，θ_i-θ_i-1=60°

由∑X=0可得

由∑Y=0可得

由∑M=0（对铰4取矩）可得

由式（3-28）～式（3-36）9个方程可解出9个未知量（q₂、q₃、q₄、H₁、H₂、H₃、H₄、V₂、V₃），进而算出各个截面上的内力值（M、N、Q）。

各个约束铰的径向位移：

式中 k——土壤（弹性）基床系数（kN/m3）。

圆环破坏条件：以非约束铰为中心的三个铰（i-1）（i）（i+1）的坐标系统排列在一直线上，则结构丧失稳定。