2.用硬币做的一些游戏

“昨天你说要教我一些以硬币为主的魔术。”吃早点时，我有意说给我的兄长听。

“一大早就玩魔术？好，那你找个空碗。”

我拿来了碗，兄长向里面掷入一枚硬币（图71）。

“你瞧瞧碗里，记住别挪动，更别将身子往前探。看得见硬币吗？”

“看得见。”

兄长将那个碗移动了一点点。

“还看得见吗？”

“只能看见硬币的边缘了。”

“坐好别乱晃。瞧好了，我向碗里加水。现在硬币发生了什么变化？”

“我又完整地看到它了（图72）！为何我觉得它和碗底的位置向上移了呢？”

我的兄长用绘图的笔绘制出了盛有硬币的那只碗。看完图，我突然反应过来。硬币在碗底的时候，它散发出的光束中的任意一道都进入不了我的视线，因为光是直线传播的，碗壁又正好挡在我的眼睛与硬币中间。但是一旦碗里有了水，状况就大不相同了：在光束离开水面进入空气的当口，它的运行轨迹发生了改变——也就是说光束改了道（用专业术语讲叫折射），顺着碗沿进入我的视线内。在一般人的意识里只记得“光走直线”这个常识，于是便一厢情愿地以为硬币的位置升高了。简而言之，我们一般是由光束转弯后的位置朝它发生折射前的位置看过去的。于是我们便会在潜意识里认为碗底也会随硬币位置的变动而发生改变。

“这个游戏也适用于你游泳时，”兄长接着讲，“你游到水位比较低的地方时，所见的水底一般都高过真实的水底，关于这点你到什么时候都不要忘记。水底升高的距离大约是真实深度的四分之一。比方说，真实的水深是1米，可是我们人类却认为它只有75厘米。这也是有些爱玩水的孩子们在游泳遭遇不幸的缘由：他们在对水深的判断出现了差错（图73）。

“我以前观察到，我们划着小船在水不深的地方玩时，有种深水区就在船的下方的想法，似乎方圆之外的水都没有船下的水深。而在我们将船划到别的地方后，似乎此时船底的水又是最深的，感觉船周围的水位很低，就好像船还在深水区。这是什么原因呢？

“其实这个缘由对我们大家来讲很好懂。人们自水面正上方看到的光线是垂直的，方向改变很小甚至没有改变，也就是说这个地方相比其他地方光线转弯的角度小一些。这就是自己看到的正下方水深改变幅度比别处小的原因。于是，人们就觉着水深的地方正对着船底，但实质上所有水域基本都是一样深的……好了，眼下我出个题目：请将11枚硬币搁进10个盘子里，要每枚硬币仅能放在一只盘子里。”

“它是物理实验题目吗？”

“当然不是，只是道心理测试题。开始吧。”

“把那11枚硬币扔进10只盘子，而且一个盘子只允许放一枚硬币……这哪里行啊？我做不出来。”我还没行动就承认自己不行。

“先别说不行，没试怎么就知道自己不行？你开始吧，我会帮助你的。首先把第一枚硬币放进一号盘子，并把第十一枚硬币也放进去。”

我在兄长的指挥下，同时在一号盘子里放了2枚硬币，我困惑不已，而且不清楚后面还会发生些什么事。

“放好这两枚之后，把第三枚硬币放进二号盘子，把第四枚硬币放进三号盘子，把第五枚硬币放进四号盘子……依序进行下去。”

我听从兄长的话一一做着，在我将硬币搁到九号盘子内之后，却猛然看见，还空着一只盘子——十号盘子内一枚硬币也没有。

“下面咱们就将投进一号盘子里面的第十一枚硬币取出来搁进空盘子里好了。”

说着，兄长顺手就拿出搁在一号盘子的那枚硬币投进了空盘子。

我发现11枚硬币都静静地躺在10个盘子里，更奇的是每只盘子里不多不少正好只有一枚硬币。这种情况真让人难以想象。

很快兄长一言不发地捡起了所有硬币，似乎没打算告诉我这其中的奥秘。

“自己想想吧，这恐怕比我直接告诉你更有意义。”

他不顾我的反对，又给我出了新的题目：“现在给你6枚硬币，你把它们以竖着排成3列，每列只允许有3枚硬币。”

“那得有9枚硬币。”我反驳道。

“用9枚硬币谁不会？就给你6枚，就是让你用6枚硬币排列。”

“该不会是在拿我开涮吧？”

“你就会没上阵自己先把自己打败！瞧好吧，就是这么容易！把你吓成了那样。”

话音刚落，我的兄长就按图74和图75的办法摆好了所有硬币。

“是不是每列三枚硬币，共排了三列呀？”兄长反问道。

“但是它们有个共同的交叉点，这样也行？”

“相交怎么了？我没要求不准相交是不是？”

“若是我知道允许出现交叉点的话，没准我自己也能排列出来呢。”

“成，你考虑一下这道题其他的解法吧。不过不是现在，等你有空闲了再说。当下你来解答三道同类型的题：其一，一列3枚，把9枚硬币摆成10列；其二，一列4枚，把10枚硬币摆放5列；其三，我绘制一幅图，而这张图是由36个小正方形构成的大正方形（图76），要求你将18枚硬币投进小正方形之内，记住我的要求，每个小正方形都仅允许投掷一枚硬币，最后的结果要是各行和各列都是3枚硬币……在你解答完这道题后，我会用硬币表演一个节目犒赏你的。”

说完后，我的兄长就在一边放了3个盘子，并在首个盘子里放了一摞硬币：最底下的是面值为1卢布的硬币，接下来依次是50戈比、20戈比的硬币，后面就是15戈比的与10戈比的硬币。

“要求以如下的法则把那些硬币移动到顺次排列的盘三内：法则一，一次仅挪动一枚硬币；法则二，不可把币值大些的搁在面值小的硬币之上；法则三，可先依照前两项法则将硬币移入盘二中，最后再把所有硬币按照其在盘一中的次序转移进盘三之中（图77）。你都不是听见了吗？我规定的法则并不繁复。你就拿出你的聪明劲儿一展身手吧。”

于是我赶忙进入状态开始搬移硬币：我先将面值为10戈比的硬币挪入盘三，盘二被我投入了面值是15戈比的硬币，然而接下来我就不知怎么办了，我的思维似乎短路了。我该将面值为20戈比的硬币搁置在什么地方呢？它可是要比面值为15戈比和10戈比的硬币面额都要大呀。

“怎么了？”兄长见我不知所措，上前说道：“你可将10戈比的硬币投放到15戈比的上面，然后把20戈比放到盘三。”

我依照兄长的指点完成了前面的游戏，不曾想没多久又卡壳了。我不知道该把面值为50戈比的硬币投进哪只盘子，不过我的大脑很快就告诉我该怎么做了：第一步把面值为10戈比的硬币移进了盘一，继而把面值为15戈比的硬币放进了盘三，接着把面额为10戈比的硬币也放到了盘三。这下我就可以把面额为50戈比的硬币搬进盘二了。后面经我频频移动，终将面额为一卢布的硬币自盘一转入了盘三，到了最后我大功告成了——将那摞硬币顺利地挪进了盘三。

“你还记得你总共移动了多少次吗？”兄长以赞许的口吻问道。

“不记得了。”

“那好吧，我们来回想一下。因为能想到并以较少的频率移动来完成这道题目才有价值。倘若这些硬币的数目并非5枚，比如是2枚——币值分别是10戈比与15戈比，又需要挪动几次？”

“那样的话仅需移动3遍：第一步，先把面额为10戈比的硬币搁进盘二；第二步，将币值为15戈比的硬币放进盘三；第三步，就是将盘二中的面值为10戈比的硬币转移至盘三。”

“看来你的思路很清晰，你说得对。那我再给你一枚币值为20戈比的硬币。你来数数这次需要挪动多少次好吗？我们先在脑子里过一遍：咱们依照前面的法则把两枚币值较小的硬币移动至盘二，咱们事先都清楚这得挪动多少次。接着将面额是20戈比的硬币搁到盘三——动一次就可达到目的。咱们再从盘二将那两枚硬币移入盘三——得挪动3遍。总共挪动了3+1+3=7次。”

“你就给我一次机会，让我来试试看挪动4枚硬币需要几次。第一步，就是先把币值较小的3枚硬币挪进盘二——得动7次；第二步，将面额为50戈比的硬币转移至盘三——移动一次就可以了；第三步，就是把那三枚硬币移动至盘三——得经过7次转移。一共得移动7+1+7=15次。”

“行啊！还不错。那你再想想5枚硬币得移动多少次呢？”

“15+1+15=31次。”

“恭喜你，看来你已经较为熟练地掌握了该类题型的计算诀窍。但我要教给你一些较为简易的算法。你看，以上运算时所得结果为3、7、15、31——都是拿2做2次甚至更多次的乘法运算后减掉1对不对？那你看下面我给你所展示的一些运算。”

兄长很会就绘就了一个表格：

3是2乘以2再减去1；

7是3个2连乘再减1；

15是4个2连乘后再减去1；

31则是5个2相乘之后减去1。

“我懂了：挪动几枚硬币就是几个2连乘，接着减掉1。这下我就能算出移动任何一摞随意构成的硬币所需的次数了。举个例子，假若说现在有7枚硬币，于是就有7个2相乘，结果为128，那么减去1不就是127吗？”

“看来你已经将这个远古时代流传下来的题目的解法了然于胸了。然而你还得记住一条规律：若硬币的数量为奇数，就可先将首枚硬币挪到盘三；若给出的硬币数为偶数——就将其挪到盘二中。”

“你说这是‘远古时代流传下来的题目’？那么就是说这些题不是你自创的了？”

“不，当然不是了，我就是动了点脑筋，将它应用到了硬币上而已。那些题目历史非常久远，大概发源于古老的印度。关于那些题目还有个颇为古老而且有意思的说法。大致是说以前在巴纳拉斯有一座古寺，传说中的印度婆罗门神于创建世界之时，在这座寺中精心加工了3根镶有钻石的棍子，并在它们之中的一根上套上了64个金环。该寺的祭司得昼夜不歇地将这根木头上的金环移至另一根，而那名祭司在挪动金环的过程中需借助第三根棍子，而且该祭司慢慢地也发现要顺利移动金环还得遵循以下的一些规律：一次仅能挪动一个金环且不可将大的金环搁到小金环之上。那个印度故事在最后写道：要是祭司成功移动了64个金环，也就是世界末日来临之际。”

“喔，那么就是说，倘若那个印度故事里讲的是真的，我们所生存的这个世界就该消失掉了，是吧？”

“你认为转移64个金环用不了多长时间，是吗？”

“是的。比方说一秒钟挪动一个金环，那转移3 600次不就是一个小时的事儿吗？”

“即使是这样，也改变不了什么。”

“一天一夜大致可移动10 000次，10个昼夜就该是1 000 000次。挪动10×105次，移动的金环恐怕是64个金环的许多倍，怎么也有1 000多天了吧？”

“你大错特错！移动64个金环怎么也得花掉5×1 012年时间！”

“不会吧！你是怎么算出来的了？挪动的次数就是64个2连乘，求得的值不就是……”

“大约是1.8×1019。”

“别急，让我试着算算并验证完了再说。”

“也行。在你计算这个值的这段时间，我正好也有点自己的私事要做。”

兄长说完便离开了，我一个人开始算起来。我先是求得了64个2连乘的值65 536，再求出了这个值的2次方，接着再为求出的新结果2次方。虽然这项工作枯燥乏味，可是我的耐力很好，于是我还是求得了最终的结果，通过我的认真计算，得到了18 446 744 073 709 551 616。

也就是说，兄长说的是对的。

这个值求出后，我的信心更足了，我一鼓作气解答起了兄长布置给我的另一些题。那些题不是很难，有些甚至异常容易。比方说把11枚硬币投进10只盘子里的题也太小儿科了点：首先，我把硬币一和硬币十一搁进了盘一，后面投放硬币三，一直依序进行着。硬币二不知上什么地方逍遥去了？咱们并没摆放它是不是？这就是里边的奥秘。

根据我的经验在求解硬币的排列类题目时，就先瞧瞧绘制的排列图就一清二楚了，如同图78和图79。

最后，制作结果图，给小正方形投入硬币的题的结果是（图80）：大正方形中的36个小小正方形里搁置了18枚银币，而且每行每列都是3枚。