1.10　西向边界强化（STOMMEL解）

由于忽略了摩擦力影响，Sverdrup失去了洋盆中风驱动环流的一个关键部分，即边界流，尤其是强烈的西边界流。Henry Stammel在1948年对西边界流的增强给出了一个简单解释（Stommel，1948），他是通过对式（1.9.3）的垂直方向上求积分过程中保留底部摩擦项（因此也保留了高阶项及在西边界和东边界上无正常流条件的满足），并用一种简单的线性方式对其进行参数化以得到解析解。利用对方程进行求积分后得到

那么式（1.9.5）变成

这是一个椭圆（调和）方程，假设沿西边界和东边界的风应力旋度分布的边界条件ψ都为0，则对封闭的中纬度深度为常数的洋盆来说该方程很容易求解。对于纯纬向风应力来说，方程可以写为

注意，与拉普拉斯相乘的c/β虽然很小，但是若必须满足无正常流的西边界流条件的话却不能将它忽略，用数学术语来说，这是一个渐进匹配扩展问题。注意方程的右边只是y的函数，因此解是用x和y分开表示的。斯托梅尔假设长时间尺度上典型的中纬度风应力分布（图1.9.2）为

在y=0，经线方向上长度为L的闭合洋盆的南北长度都为L，平均深度为H时，得到的风应力旋度为0。在洋盆的北边具有强烈的盛行西风，流来自西边，而在南边的流则是向东的。对于这种情形而言，他研究了三种情况。①当f=0时，解具有东西对称性，但是主要平衡存在于底部摩擦与风应力之间，这是可以预期的。不存在西向强化，表面不存在压力梯度，因此也就相当于不存在表面弯沉。②当f为常数，即在f平面上，解是相似的，而现在主要平衡存在于风应力和压力梯度之间，这是旋转流体应有的性质，得到的解相当于洋盆中心处存在高压（升高的海平面），同时具有沿顺时针方向（反气旋）的环流，这个解保留了东西对称性，且不存在西向强化［图1.10.1（a）］。③当f不为常数，即在β平面上（图1.10.2），流不再是东西对称的，沿西边界则具有一个强烈的流［图1.10.1（b）］，压力的变化主要限于西边界，相当于西边界处向东渐增的海平面与向北的西边界流相适应［图1.10.1（b）］。

对于式（1.10.4）中的风应力以及1.9节中提到的标准值，能够得到洋盆中心纬度处的Sverdrup传输的最大值24Sv，在北部和南部区域边界处减小到0，Sverdrup传输被以强烈西边界流的形式向北返回。

式（1.10.3）的解可以很容易地使用变数分离法得到，即对Ψ（x，y）进行替换，使其中

那么，φ（x）为

其中a=β/c，b=a［1+π2/（a2W2）］1/2，当x=0和x=W时满足的边界条件均为φ=0，对于式（1.10.4）中的风应力分布，则

ψ的解为

Stommel的开创性工作将中纬度洋盆中流的西边界强化与行星涡度的纬度变化联系起来。西边界流是唯一的，它对海洋中的流域尺度环流极为重要，这是大气中的环流与海洋中的环流的一个主要差异，大气中的流主要是纬向的。

西边界流的边界层厚度或深度可以通过对拉普拉斯中的最大项与β项进行平衡求得（在该深度下风应力的贡献可以忽略）：c2ψ/x2～βΨ/x，由此得出c/δ2～β/δ，这一估计对求取数值解是很有用的，因为有必要选择能对该层进行确定并避免数值问题模型格网大小。调和方程本身可以通过无数的椭圆问题之一进行求解，包括具有悠久历史的连续超松弛法（SOR）或者现代的多重格网方法（第2章）。

可以使用渐进匹配扩展方法获得用摄动变量表示的一阶近似解，本章1.11节同样遵循相同步骤，因而

这个解也可以由式（1.10.6）得到，经向传输My和涡度ζ的对应值为

注意，绝对涡度ζ为负值，而ζ/x为正值，解如图1.10.3所示，根据Mellor（1996）改编，参数e的两个值为0.025和0.05，它是洋盆的边界层厚度与宽度之比，要注意的是，在真实海洋中，该参数约为0.01～0.02，然而在这些值下，平流变得很重要，从而问题不再是线性的。