1.5　海洋运动的无量纲量和无量纲尺度

研究可能具有解析解的方程的一些简单限制时，首先要研究一些尺度和显著的无量纲量。设U为典型的流速，L为流的典型尺度，T为典型的时间尺度。那么动量平衡中非线性对流（惯性）项与Coriolis项的比值由Rossby数给出

在俄罗斯文献中称之为Rossby-Kiebel数（Nezlin和Snezhkin，1993），这个数的重要性在于，如果它很小，那么对流项也很小，对非黏性流而言，主要是压力梯度和Coriolis力之间的平衡。然后流近似于地转平衡，如果该平衡是精确的并且对流项可忽略的话，则流就是地转的。对于大洋中的中纬度环流尺度的流来说，U约为10-1m/s，L约为106m，f约为104/s，因此Ro约为10-3（极小），该流是地转的。对于更有活力的过程比如中尺度涡流，U约为1m/s，L约为105m，f约为104/s1，因此Ro约为10-1（小却不可忽略），该流是准地转的。在大气中，速度要比海洋中大一个数量级，但同时尺度也大一个数量级，因此Rossby数相似，尽管某种程度上稍高。

Rossby数还是一个体现流的相对涡度（相对于旋转坐标系）的重要性的量，背景为行星涡度，因此也可将其定义为相对涡度与行星涡度的比值

因为转动影响显著，Ro必须要小，或者其将流体块以U的速度传播特定距离L所花的时间必须远远超过旋转周期。

类似地，可基于运动的时间尺度定义一个暂时的Rossby数，即

这是运动频率与惯性频率的比，或者相当于惯性周期（T1=2π/f，为两极处的半个摆日，纬度30°处的一个摆日）与运动周期的比。Coriolis参数f是旋转流体的固有频率；因此，如果运动的频率较高，则旋转对它造成的影响就很小，而当运动频率比惯性频率小的时候，则运动太过缓慢而受到旋转的显著影响。比如，行星Rossby波运动影响着海洋（和大气）的内部调节，这种影响的时间尺度从数月到数年并极大地受到行星自转和行星涡度的影响，然而时间尺度为几秒钟的高频率表面引力波却丝毫不会受到自转的影响。

摩擦项与Coriolis项的比称为Ekman数

该数表示摩擦力的相对重要性。在远离边界的地方以及海洋内部，摩擦力很小，往往可以忽略不计。而在湍流表面和底层的地方，摩擦力却非常重要。若用水平混合系数AM替换垂直动量扩散系数KM，将得到另一个表示大尺度环流重要性的Ekman数。除了在接近侧边界——边界流的区域外，它的值也很小。

地球物理流是在旋转力和重力的共同作用下形成的。尽管普遍稳定的环境分层相当微弱（垂直方向的密度变化对流体块产生的阿基米德力只占几个百分点），它对垂直运动有着显著影响，因此也影响着一般的运动。若考虑分层效应，则最好考虑理想的分层情况，这种情况下流体柱近似于厚度为H和密度为p0的层，它覆盖于另一密度为p0+Δ ρ的较深层之上，这样一个系统中的势能为ΔρgH，由此产生的速度尺度C约为它是系统中长波长干扰（低波数）的传播速度。具有这一速度尺度的Rossby数为1的流的长度尺度在旋转和分层方面都很重要。a为Rossby数，即

这一长度尺度是地球物理流中非常重要的参数，称为Rossby变形半径。它是旋转分层的流体受到干扰时的水平影响范围。比如说，沿海岸传播的kelvin波具有将几个Rossby半径延伸至与海岸相垂直的特征，在远离该距离时它的影响很小。沿赤道传播的kelvin波和Rossby波的几个Rossby半径具有跨赤道长度的尺度。Rossby变形半径在f平面上的地转适应过程中显得比较突出，在海洋中纬度为30°的地方约为40km，在中纬度大气中约为1000km（对于木星和土星有类似的情况）。海洋中的中尺度变化的尺度与此相似，因此在任何海洋数值模型中解决这些尺度显得很重要。然而，这在全球模型中仍然是不可能的，即便是利用具有几秒数十亿次浮点运算速度的现代计算机。

在稳定分层的流体中，特征频率是流体块从其平衡位置变换到垂直位置时的频率，它将会发生摆动——浮力频率N。在浮力频率为N的连续分层流体中，存在许多离散的模式，其传播速度C=NH/n，n为垂直模式数量。那么便可以定义无限数量的离散的内部Rossby半径，尽管通常只有前几个半径具有动力学意义，即使垂直方向上N不是常数时也成立，为了确定模式的速度和结构，这种情况需要解决特征值问题。

上面讨论的Rossby半径称为内部Rossby变形半径更为合适，因为也可以定义基于外部重力波速度Ce=（gH）1/2的外部Rossby半径ae，在俄罗斯文献中被称为Rossby-Obukhoff半径，在海洋中它通常约为2000km，比内部半径大两个数量级左右，在中纬度的大气中约为3000 km（对木星和土星而言，则约为6000km）。

两种情况下Rossby变形半径都表示旋转流体中干扰（正压和斜压）的水平范围。这一长度尺度与地球物理流运动的长度尺度之比为a/L，它是地球物理流中的另一个重要的无量纲参数，即

注意，这也是一个Rossby数，只不过是利用浅海重力波的速度C作为速度尺度进行定义的，而不是使用流体的速度。

在一个半径为R的旋转行星上，另一长度尺度也有一定的重要性：中间地转半径aig=a（R/a）1/3，这一尺度下行星的曲率很强，若要使一个中尺度的特性长时间持续，那么它的特征尺度必须要小于这一尺度。在温和的纬度地带，与运动具有很大相关性的五个长度尺度分别是L、a、ae、aig和R。一般情况下中尺度涡流的Rossby半径a的维数为L或者更大，长时间持续的涡流特性在尺度上比Rossby半径大，而且R至少比L大一个数量级的这种情况将更普遍；土星和木星这两个巨大行星很好地满足了这一条件，从而使得在超过300年的时间里已观察到巨大的木星大红斑。地球大气的特性所持续的时间很少会超过几周，而海洋中持续时间最长的涡流能达到几年的时间。这些主要是大型反气旋，其表现像Rossby弧子一样，因此它们可以将自己的结构保持的很好，而气旋则由于分散的原因迅速衰减（Nelin和Snezhkin，1993）。

旋转行星上的运动不可避免地受到与行星表面垂直的旋转矢量分量的幅度随纬度而变化的影响，f=2Ωsinθ，其中θ是纬度。描述行星涡度随纬度变化的参数为β=df/（Rdθ）。基于内部Rossby半径a和β的Rossby漂移速度尺度可以定义为Vc=βa2，这是非分散的、中纬度的线性长波长Rossby波的传播速度，在没有背景流和地形梯度等其他影响的情况下（1.15节和第4章），无论特性是气旋还是反气旋，中尺度特性都向西漂移。漂移速度Vd通常约为βr2，r是特征半径。

还可以定义一个特征时间尺度：tβ=2π（βa）-1。考虑一个半径r方向上幅度为exp（-r2/），具有高斯分布的线性Rossby波数据包，这一数据包分散而造成其最大速度（由地转平衡决定）随因素e-1减小的时间尺度是其特征半径rp的一个函数。当rp等于Rossby半径a时这一时间尺度达到最小值，约为tβ，从而就变成一个线性Rossby波包随着与Rossby半径相等的特征半径分散的时间尺度，对于海洋这一时间尺度约为80天，对于大气则约为8天（木星为15天）。持续时间比这些值大一个数量级的中尺度特性可以被称为长寿命特性。持续时间很大程度上取决于这些特性的强度，这种强度可定义为比值ω/f，ω是它们中心处角速度的绝对值。另一个测量方法是它们的最大旋流速度与漂移速度的比值Vm/Vd，当这一比值达到10或者更大的时候，就算是注定会随着分散传播而衰减的气旋特性的持续时间也会比tβ长。强大的反气旋往往像Rossby弧子一样，其分散的倾向几乎被非线性变陡抵消掉，因此持续的时间比tβ长，即使这一比值没有之前说的那么大。尽管一些地中海涡流，由流出的地中海咸水带入大西洋的大量地下咸水已经被跟踪两年以上的时间，海洋里中尺度涡流通常持续时间为数月至一年多（Kantha和Clayson，1999）。

旋转行星上通过速度U与纬向环流相关的长度尺度为Lz=（U/2β）1/2，这也是一个重要的尺度，因为它是与纬向喷流有关的特性的子午线尺度。对于墨西哥湾流和黑潮续流来说，Lz约为160km，比Rossby半径大得多。

除了赤道周围低纬度地区外，大气和海洋中的流通常是斜压不稳定的（见第4章），结果曲流和涡流的产生反过来在经线方向传输着质量、动量和热量，这种机制在大气中尤为重要。旋转、持续且均匀分层流体的速度U与流的斜压不稳定性相关的时间尺度为（Eady，1949；Charney，1947；Green，1970；Stone，1972；Held和 Larichev，1998）

其中，是梯度Richardson数，它是一个测量平均分层中所存储的有效势能（APE）的量。

有效势能是地球物理流中的一个重要概念，它是在超过最小势能的理论参考的特定状态下可用的剩余势能，这种状态由流体块的重排列产生的可逆绝热过程得到（Oort等，1989）［ Boussinesq流中的APE及其含义的更详细描述可参考Huang（1998）］。它是系统中可能转换为流的动能的能量的可用总量，这种动能驱动着流的运动。所有密度表面作为参考状态的基准，然而流的状态涉及到密度表面的倾斜，它通过斜压不稳定性产生了分层系统可用来转换为动能的势能。然而，很难确定这种理论参考状态。通常使用APE的线性化形式，而不使用Lorenz（1995）近似，因为不需要寻找这样的参考状态。这种近似已经被应用到海洋中，比如Bryan和Lewis（1979），Oort等（1989）以及Toggweiler和Samuels（1998）。

式中：ρ为局部现场密度；为局部现场密度的平均值；为该深度处的水平方向平均势密度。

假设随时间变化，那么APE的变化率为

在永久的温跃层上方，也就是大约在水柱的上方1km处，时间尺度为tbc，它的倒数可以测量斜压不稳定性的增长率，其变化范围在西边界流的区域内为几天到一个月左右［第4章以及Stammer（1998）］，在大气中则为几天。

可以使用β和tbc对与斜压涡流有关的长度尺度进行定义：Lbc=（βtbc）-1，这一长度尺度对于旋转行星上的标量属性的涡流调节变换很重要。涡流变换系数Kbc约为Stammer（1998）便用了这些概念对全球海洋中的经向涡　流调节热量和盐的变换进行估算，在这个过程中使用了气温和盐度的气候分布以及从卫星测高法获得的涡流变换系数的估计值。

确定流是否为流体静力学的一个重要参数是特征平流时间尺度与浮力周期的比值，或者相当于NH=U/（NL），L/U是平流的时间尺度与特征长度尺度L的比。如果NH远小于1，则流接近于流体静力平衡。除了强烈的冬季深对流区域外，海洋都非常接近流体静力学。

Coriolis频率与浮力频率之比，或者浮力周期与惯性周期之比为

也是海洋运动中的一个重要额外参数。比如，动力学将惯性内部运动限定为由平率N和f划定的频谱范围部分（Kantha和Clayson，1999的第5章）。

1.5.1　正常模式

即使分层不满足理想状态（比如两层或呈线性），对于水柱中的所有任意分层，流运动都可以被看成是离散的正常模式的无穷序列叠加，这些模式可以由具有规定密度分层的平底海洋中对应的特征值问题的解进行确定。平底海洋中自由传播的波的线性化方程使得水平结构和时间结构与垂直结构的区分成为可能（Gill，1982），得到的垂直结构为

式中：w是垂直速度，N（z）等于是观测的浮力频率（布维频率）。分离常数是1/c2，c是内部重力波的速度。

除了在低纬度地区（|φ |≤5°）aI=（0.5c/β）1/2之外，内部Rossby半径通过ai=c/|f|与特征值相关。北太平洋和大西洋的Rossby半径分布可以参看Emery等（1984），重力波速度的更近的计算和全球海洋的变形半径可以参看Chelton等（1998）。第一模式对应于最重要的内部波运动，其速度规定了最大的内部Rossby半径。在海洋（和大气）中，通常是第一个模式或第二个模式处于优先活跃状态。

1.5.2　尺度

表1.5.1表示与海洋和大气中的物理过程有关的长度尺度和时间尺度，图1.5.1是这些尺度的一部分。与预期的一样，Rossby数随着长度尺度和时间尺度的增长而降低。

注意，从动力学理论得到的平均自由路程给出海平面处大气的长度尺度约为10-7m，与分子碰撞对应的时间尺度约为10-4s。