第二节 水流运动的基本原理

一、水流运动的概念

1.流线与迹线

由于水流运动相当复杂，人们对其运动规律的分析带来了很大的困难，但为了利用其能量资源，必须了解、掌握其运动规律，需要采用一定的方法来研究其运动规律。

一种方法是拉格朗日法，它是用迹线来描述水流运动的。迹线是指一个液体质点在一段时间内的运动轨迹线。由于质点的运动轨迹十分复杂，而且水流中又有很多的质点，用这种方法来研究水流运动是非常困难的。

另一种方法是欧拉法，它是用流线来描述水流运动的。流线是指绘于流动区域内的曲线，它能表示位于曲线上所有水流质点某一瞬间时的流速方向。即位于流线上的各水流质点，其流速方向都与曲线在该点相切，如图1-5所示。

流线具有以下性质：一般情况下，流线不是折线，也不能相交；流线上的水流质点，都不可能有横越流线的流动；流线上任一点的切线方向就是该点的流速方向。

工程上常用流线概念来描述水流现象，图1-6表示水流经过溢流坝和水闸时用流线描绘的流动情况。从图形可以看出：流线的疏密程度反映了流速的大小，流线密的地方流速大，流线稀的地方流速小；这是因为端面小的地方流线密，要通过同样多的流量必须流得快些；相反端面大的地方流线稀，流速慢些。其次，流线的形状和固体边界的形状有关。离边界越近，边界的影响越大，流线的形状越接近边界的形状。在边界较平顺处，紧靠边界的流线形状与边界形状完全相同。在边界形状变化急剧的地方（流速很小除外），边界附近的液体质点不可能完全沿着边界运动，因此流线与边界脱离，即产生脱流，在主流区和边界之间形成旋涡区。

2.恒定流与非恒定流

如图1-7所示，水从水箱的孔中流出，图1-7（a）保持水箱中的水位不变，则小孔中的射流也将保持不变，射流各点上的速度也不随时间变化，这种运动要素不随时间变化的水流称为恒定流。恒定流时流线与迹线重合。而在图1-7（b）中，水箱中的水位随着时间的推移水位将逐渐下降，从而小孔中的射流也会越来越近，在不同的时间，射流的位置和各点的流速都随着时间的推移而发生变化。这种运动要素随着时间不断变化的水流称为非恒定流。在恒定流中，流线与迹线就不会重合。可见非恒定流比较复杂，以后除了特殊情况外，我们主要研究恒定流。

3.过水端面、流量和断面平均流速

在水流中取一垂直于水流方向（即垂直于流线）的横断面，它过水的那部分面积称为过水断面。单位时间内水流通过过水断面的体积叫做流量。流量的单位为m³/s，常用Q表示。工程上常用的过水能力的大小就是指流量的大小。显然，当流速一定时，过水断面越大则流过的水量越多；当过水断面一定时，水流的速度越大则流过的水量就越多。若流速为v（m/s），过水断面面积为A（m²），流量为Q（m³/s），则

但是，在实际过流中，由于固体边界对水流的阻力和水流的粘滞性作用，过水断面上各点的流速是不相同的。管中水流和渠中水流的断面流速分布情况如图1-8所示。所以在实际中，是以过水断面的平均流速来计算的。因而，可得断面平均流速为

式中 Q——总流的流量，m³/s；

A——总流过水断面的面积，m²；

V——断面平均流速，m/s。

式（1-6）和式（1-7）是水利工程上常用来计算流量和断面平均流速的公式。

4.水流运动的分类

（1）均匀流和非均匀流。恒定流中，断面平均流速与流速分布沿流程没有变化的为均匀流（也称等速流）；反之，断面平均流速与流速分布沿流程有变化的为非均匀流（也叫变速流）。在比较长直、断面不变、坡度不变的人工渠道或直径不变的长直管道里，除了进口与出口外，其余部分的流速在各断面都一样，这种水流是均匀流。而河道的深浅宽窄沿流程变化，属于非均匀流。

均匀流中的流线是一组平行的直线。非均匀流的流线是一组曲线，相邻流线之间存在夹角。

（2）渐变流和急变流。非均匀流分为两类：一类是流线间的夹角很小，流线的曲率（曲线的弯曲程度称为曲率）不大，可近似地认为是平行的直线，这种水流叫渐变流。另一类是流线的曲率较大、流线之间的夹角较大的叫急变流。流道拐弯、断面突变时一般为急变流。

当流线的曲率较大时，如弯管中的急变流，作用于水流各质点的力除了压力和重力外，还要考虑离心惯性力。由于离心惯性力的作用，同一过水断面上各点的（z+p/γ）不是常数，弯管的弯曲方向与重力方向相反的，过水断面上的动水压强比静水压强要小即向上弯曲，弯管的弯曲方向与重力方向相同的即向下弯曲，过水断面上的动水压强比静水压强要大，如图1-9所示。

二、恒定流的连续性原理

在恒定流情况下，通过各断面的流量保持不变，即过水断面大，流速就小；流速大，过水断面就小，这就是连续性原理。即当液体的密度为常数时，在恒定流中沿流程各断面其流量保持不变，其平均流速与过水断面面积之乘积保持相等。可表示为

或表示成

【例 1-3】有一管道如图1-10所示，大管直径d₁=200mm，小管直径d₂=100mm，管中水流恒定时测得断面2-2的平均流速v₂=1.0m/s。求断面1-1的平均流速v₁。

解：此两断面的面积分别为

代入式（1-9）可得

于是

将已知v₂=1.0m/s，d₁=0.2m，d₂=0.1m代入上式得

断面1-1的平均流速为0.25m/s。

【例 1-4】如图1-11所示，某水电站用一主管引水供两台机组发电，已知d₂=d₃=0.65m，v₁=1.0m/s，v₂=1.2m/s，v₃=0.9m/s。求管道1-1断面的直径d₁为多少?

解：根据水流连续性原理：Q₁=Q₂+Q₃，则

所以

本题的一些数据在电站实际中曾出现过。由于山坡的地理条件限制，一条主管下来，两分管不是左右对称分布，造成两分管的直径虽然相同，但流速不同，必然流量不同。这在一个电站安装相同型号的机组的时候，在相同的运行条件下会有不同的输出功率。

三、恒定流的能量原理

研究水流中动能和势能的转换规律，以及确定水流中沿流程各断面其位置高度、流速和压强之间关系的方程式称为能量方程。

1.水流中机械能的表现形式及其转换规律

由物理学可知，在重力作用下，质量为m的物体，当运动速度为v时，其具有的动能为mv²/2；物体在设定基准面以上的位置高度为z，其重量为G=mg，则具有的位置势能为mgz。在一定条件下，动能与势能之间可以相互转化。

运动着的物体其总的能量始终保持不变，遵守能量转化和能量守恒定律。物体的总能量等于能量损失与所利用的能量之和。

高处的水流必然向低处流动，其位置势能向动能转换。如果水流在管道中流动，不仅存在位置势能转换为动能，还存在压力势能（简称压能）的变化。所以，水流的机械能包括位能、压能和动能三种形式，表示为：位能z、压能、动能（α为一个大于1.0的系数，称为流速不均匀系数或动能改正系数）。

由于水流具有粘滞性，存在内摩擦阻力。所以，沿流程水流的总能量逐渐减少。

根据能量守恒定律，当位置势能不变时，若流动水流的流速增大，即动能增加，必然导致压力势能降低；反之，流速减少，压力势能增加。这是水流绕流的基本特征，是利用水流能量的基本条件。

2.水流的能量方程

如图1-12所示恒定管流中，在某一时刻t₁时，1—1断面的单位能量为E₁=，经过Δt时间后，水流流到2—2断面，其单位能量为E₂=。因水流在流动过程中存在能量损失，表示为Δh_1-2，根据能量守恒定律，可得

E₁=E₂+Δh_1-2

即

这就是恒定流的能量方程，也称为伯努利能量方程。确定了恒定流中各断面流速、压强和位置之间的关系。

式（1-10）反映了在恒定流动过程中，水流各种机械能在一定条件下互相转化的共同规律。水从任一渐变流到另一渐变流断面的过程中，它所具有的机械能的形式可以互相转换，但前一断面的单位能量应等于后一断面的单位能量加上两断面之间的能量损失。

四、恒定流的动量原理

在水利工程中，水流经过弯道或冲击过流部件时，会对弯管或过流部件存在一个作用力，此作用力是设计弯管支墩或水流冲击水电站水轮机叶片的冲击力的依据，需要进行计算。这是采用动量方程求解。

由物理学已知，运动物体的动量是指物体的质量与其速度的乘积mv。动量定理为：运动物体在单位时间内动量的变化量等于物体所受各外力的合力。动量是一个有大小也有方向的矢量，其方向就是速度的方向。

如图1-13所示，取恒定流中管道弯管的一段水流作为单元研究对象，1—1断面的面积为A₁，流速为v₁，假定断面上各点具有相同的流速；2—2断面的面积为A₂，流速为v₂。

经过Δt（Δt=t₁-t₂）时段后，原在1—1断面与2—2断面间的水体运动至1′—1′和2′—2′的位置。水体在t₁时刻的动量为K_1-2，经过Δt时段至t₂时刻，水体的动量为K′_1-2。动量的变化量ΔK就等于Δt时段之末1′—2′段水体的动量K_1-2与Δt时段之初段水体的动量K_1-2之差。K_1-2等于K_1-2和K_2-2两部分之和，K_1-2等于K_1-1和K_1-2两部分之和。即

ΔK=K_1-2-K_1-2=K_2-2-K_1-1

因K_1-1和K_2-2分别是Δt时段内通过1—1断面和2—2断面的动量，Δt时段内1—2段水体的变化量ΔK，等于同一时段内2—2断面流出的动量和由1—1断面流进的动量之差。

任一断面流过的动量，如按平均流速计算，就等于质量m（m=ρQ）乘以平均流速v，即ρQv。考虑断面流速不均匀分布，引入修正系数α′，α′称为动量改正系数，其值约在1.02～1.05。为了简便计算，通常取α′=1.0。

根据以上分析，通过断面1—1及断面2—2的动量分别为

K_1-1=α′ρQv₁Δt

K_2-2=α′ρQv₂Δt

于是动量的变化量为

ΔK=K_2-2-K_1-1=α′ρQv₂Δt-α′ρQv₁Δt

=ρQ（v₂-v₁）Δt

根据动量原理，单位时间内动量的变化量应等于物体所受各外力的合力∑F，即

这就是求的动量方程。

动量方程表达的含义：动量的变化与水体所受的外力之间存在着密切的关系。由于外力的作用（如边界的约束作用等）引起水体的流速的变化，动量才发生变化；没有水体动量的变化，水流的速度不会发生变化，也不会存在力的作用。