- 工程力学(第二版)
- 满广生 张彩凤 凌卫宁主编
- 1432字
- 2021-10-22 23:21:07
3.1 平面汇交力系的合成
平面汇交力系是上述力系中最简单的一种力系。这里首先研究平面汇交力系,一方面是为了解决实际工程中遇到的这类静力学问题;另一方面是为研究更复杂的平面力系打下基础。
在工程力学中,要对物体作受力分析并进行力学计算,通常用到力在坐标轴上的投影。
3.1.1 力在直角坐标轴上的投影
1.投影的大小
设力F作用在物体上某点A处,如图3.2所示。通过力F所在的平面内的任意点O作平面直角坐标系xOy。从力F的两端点A和B分别向x轴作垂线,得垂足a和b,并在x轴上得线段ab,线段ab的长度称为力F在x轴上的投影的大小,用X表示。同样的方法也可以确定力F在y轴上的投影的大小为线段a′b′的长度,用Y表示。投影为代数量。
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B28723/21277064108251406/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_2.jpg?sign=1734391466-rxXtILGcBU3SEtY23YWIPruvt1seSuOO-0-17093c8bcbee916816998c51ef9a78fa)
图3.2
2.投影的正负号
投影的正负号规定:从起点的投影指向终点的投影,若与坐标正方向相同,则投影取正号;反之取负号。
3.投影的计算公式
从图3.2中的几何关系得出投影的计算公式为
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B28723/21277064108251406/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_3.jpg?sign=1734391466-O0W1uOvmD8G0z7IaCYTJqpOWC7WFicR4-0-9a7a3b0e8838a8d6c50c5ff07b6b444c)
式中:α为力F与x轴所夹的锐角,X和Y的正负号可按上述规定由直观判断来确定。
由式(3.1)可知:当力与坐标轴垂直时,力在该轴上的投影为零;当力与坐标轴平行时,力在该轴上投影的绝对值与该力的大小相等。
如果已知力F的大小及方向,就可以用式(3.1)方便地计算出投影X和Y;反之,如果已知力F在x轴和y轴上的投影X和Y,则由图3.2中的几何关系,可用式(3.2)确定力F的大小和方向:
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B28723/21277064108251406/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_4.jpg?sign=1734391466-fjRGE3hZct9FDjaDueYgKFLOvq5vkHZ1-0-b4c13368b2a8ebf7cd1e14a4cea06f22)
式中:α为力F与x轴所夹的锐角,力F的具体方向可由X、Y的正负号确定。
【例3.1】 试分别求出图3.3中各力在x轴和y轴上的投影。已知F1=100N,F2=150N,F3=F4=200N,各力的方向如图3.3所示。
【解】 由式(3.1)可得出各力在x轴、y轴上的投影为
X1=F1cos45°=100×0.707=70.7(N)
Y1=F1sin45°=100×0.707=70.7(N)
X2=-F2cos30°=-150×0.866=-129.9(N)
Y2=-F2sin30°=-150×0.5=-75(N)
X3=F3cos90°=0
Y3=-F3sin90°=-200×1=-200(N)
X4=F4cos60°=200×0.5=100(N)
Y4=-F4sin60°=-200×0.866=-173.2(N)
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B28723/21277064108251406/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_5.jpg?sign=1734391466-dlrrq66zb1GFzfkmqZSPqIDNf7q73Jte-0-c9a5cc548c2efe07d376b6797b9ee4a6)
图3.3
3.1.2 平面汇交力系的合成
1.合力投影定理
平面汇交力系的合成问题,从理论上讲,可连续应用两共点力合成的平行四边形法则,就能将一个平面汇交力系进行合成。
设力F1、F2作用于物体上的A点,按力的平行四边形法则合成合力R。任选力系所在平面内y轴为投影轴,如图3.4所示。
F1、F2、R在y轴上的投影分别为
Y1=Ob1, Y2=-Ob2, Ry=Ob
由几何关系得
Ry=Y1+Y2
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B28723/21277064108251406/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_6.jpg?sign=1734391466-j94AyCIWSSARpQliM3SIIwkKEzVQYgyh-0-18fbe34e4504f89cceefd4041803aabf)
图3.4
现推广到n个力汇交的力系。设一平面汇交力系F1、F2、F3、…、Fn作用于刚体上,按力的平行四边形法则依次合成,得该力系的合力R。在此力系所在平面内取一坐标系xOy,将所有的力矢向x轴和y轴投影。
同理得
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B28723/21277064108251406/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_7.jpg?sign=1734391466-UYN0xCiG61q65qgXs90VxAErszZBnRhP-0-15e7b09e4a48dbf770f50c69eb6c7fc9)
于是可得结论:平面汇交力系的合力在任一轴上的投影,等于力系中各分力在同轴上投影的代数和。这就是合力投影定理。
2.平面汇交力系合成的解析法
当平面汇交力系为已知时,如图3.5所示,可在其平面内选定一直角坐标系xOy,先求出力系中各力在x轴和y轴上的投影,然后由合力投影定理得平面汇交力系的合力R在x轴和y轴上的投影分别为Rx=∑X、Ry=∑Y。最后由式(3.2),求得合力的大小和方位为
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B28723/21277064108251406/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_8.jpg?sign=1734391466-UPZDa6EMe315XXCXVNAU3z21nogUCKdi-0-17888bf9f5c7024aeba5ccde455caf9a)
式中:α为合力R与x轴所夹的锐角。
合力的作用线通过力系的汇交点O,具体指向或所在象限由∑X及∑Y的正负号确定,如图3.6所示。
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B28723/21277064108251406/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_9.jpg?sign=1734391466-onTHTOEzZMnyaT2Lg6YgGWQV4evQRvT4-0-e22804eaa89ae074048ac0fce838f1ec)
图3.5
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B28723/21277064108251406/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_10.jpg?sign=1734391466-OWq0pIQfo533tlccYiI32o1DBiHykXJK-0-9deefb3569570e1dd73260f0f895ce3b)
图3.6
【例3.2】 已知某平面汇交力系如图3.7所示,其中F1=20kN,F2=10kN,F3=18kN,F4=15kN,试求该力系的合力。
【解】 (1)建立坐标系xOy如图3.7所示,计算合力在坐标轴上的投影:
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B28723/21277064108251406/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_11.jpg?sign=1734391466-M994kKr3mZrHzWS2s8ktr3q53cAh71T4-0-ba828330b190ba91a8fe9590aa9e8aa6)
(2)求合力的大小:
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B28723/21277064108251406/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_12.jpg?sign=1734391466-LoqnhZ8JdOY3iomGPpgzIpCghoKMVatd-0-4bcbb6b455000866b3ba634958d27fcd)
(3)求合力的方向:
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B28723/21277064108251406/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_13.jpg?sign=1734391466-GYNTf95nmsQBQQXaRbNQTk6OFAIx2yhA-0-3bdb6ad790c660ea7185b7f84a896d39)
因为Rx为正,而Ry为负,所以合力R作用在力系的汇交点O且在第四象限,指向右下方,如图3.7所示。
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B28723/21277064108251406/epubprivate/OEBPS/Images/txt003_14.jpg?sign=1734391466-mG7t65ExXjjdcDmFggOeI4XvKiQ6TA1B-0-2257adab71a2a603e997b924e7189d51)
图3.7