第二节 土的强度和土中一点的应力

一、土的强度

土是由矿物颗粒所组成的，并由孔隙中的水和胶结物质连结在一起。土颗粒之间的连结强度远远小于颗粒本身的强度，因此土在力的作用下，土颗粒与土颗粒之间将会产生错动，引起一部分土体相对于另一部分土体的滑动。

土体的滑动是由于滑动面上的剪应力超过土的抗剪强度，因而产生剪切破坏所造成的，这就是土的破坏特征，也是土的强度特征。这也就是说土的破坏是剪切破坏，土的强度是指土抗剪切破坏的强度。所以土的抗剪强度是指土在抵抗剪切破坏时所能承受的极限剪应力。

在土中一点处，若某方向平面上所产生的剪应力τ等于土的抗剪强度τ_f，即τ=τ_f，则该点就处于破坏的临界状态；若该平面上的剪应力τ大于土的抗剪强度τ_f，即τ>τ_f，则该点就沿这一平面剪裂，而处于破坏状态；若该平面上的剪应力τ小于土的抗剪强度τ_f，即τ<τ_f，此时该点不可能沿这一平面产生剪切破坏，而处于稳定状态。随着作用力的增大，土中剪切破坏的点也随之增多，这些破坏点组成一个剪切破坏区，也称为塑性变形区。当土中剪切破坏区的范围扩大到边界面，而破坏区边界面上形成连续的滑动面时，土体就丧失整体稳定性，即破坏区将沿滑动面产生整体滑动。

土的抗剪强度可通过土的剪切试验来求得（图1-5）。图1-5（a）所示为直接剪切仪，它是由剪切盒（分上、下两部分）和底座所组成。试验时，将土样放置在剪切盒内，土样的顶面和底面各加一块透 水石，在顶面透水石上设加压板，并在加压板上分级施加压力P，使土样受到垂直压应力，其中A为土样的截面面积。然后在剪切盒的下盒上施加水平推力T，由于剪切盒的上盒固定，而下盒底面设有滚珠，可沿底座水平滑动，使土样沿上、下盒接触面处受剪，当水平推力T逐渐增大，使土样沿剪切面刚好发生剪切破坏时，此时土样所受的剪应力即为极限剪应力，也就是土样在垂直压应力作用下的抗剪强度τ_f。

按上述方法分级施加垂直压力P₁、P₂、P₃、P₄等4个不同垂直压力，即使土样分别受到垂直压应力σ₁、σ₂、σ₃、σ₄作用,并求得不同垂直压力作用下土样的极限剪应力τ（即相应的抗剪强度τ_f1、τ_f2、τ_f3、τ_f4），然后以土的抗剪强度为纵坐标，以垂直压应力σ为横坐标，将试验点标绘于图上，即可绘制成τ_f-σ关系线，如图1-6所示。在一般压力范围内，土的抗剪强度τ_f与垂直应力σ之间成线性关系，即τ_f-σ关系线为一条直线。对于砂土，该直线通过坐标原点，并与水平轴成φ角（φ为土的内摩擦角）；对于黏性土，该直线与水平轴成φ角，但不通过原点，而与纵坐标轴相交，交点距坐标原点的纵坐标高度为c，c为土样的凝聚力。因此，由图1-6可得土的抗剪强度τ_f与垂直应力σ的方程如下：

对于砂土

对于黏性土

式中 σ——破坏面上的法向应力,kPa;

φ——土的内摩擦角,（°）;

c——土的凝聚力,kPa。

公式（1-2）和公式（1-3）即为著名的库仑强度定律，这是库仑于1773年提出的，它表明土的抗剪强度由两部分组成：一部分是土的内摩擦力（即土颗粒之间的摩阻力）；另一部分是土的凝聚力。φ和c统称为土的抗剪强度指标。由于砂土不存在凝聚力，故砂土的抗剪强度仅为内摩擦力。但是砂土的内摩擦角较大，对于砾砂、粗砂、中砂，内摩擦角约为32°~40°;对于细砂和粉砂约为28°～36°。松砂的内摩擦角接近其自然休止角，饱和砂的内摩擦角则较同样密度的干砂小1°~2°。黏土的内摩擦角φ和凝聚力c的变化较大，φ值由软黏土的0°变化到一般黏土的25°，c值则由0.5kPa变化到70kPa。

由于砂土和黏土的φ值和c值的不同，所以当法向应力σ较小时，黏土的抗剪强度较砂土大；而当σ较大时，则砂土的抗剪强度较黏土大，如图1-6所示。

二、土中一点处的应力状态

天然地基相对于建筑在其上的建筑物来说，可以认为是无限的，所以天然地基可以看作是以地基表面为分界面将无限空间一分为二的一个半无限体。如若半无限平面的表面无剪应力作用，则根据剪应力互等定律，该半无限体内任一水平面上也无剪应力。而半无限体内的任意两个垂直平面都是对称的，并与水平面成正交，所以也无剪应力，而且两个垂直面上的应力是相同的。所以在半无限体中任意一点处，作用在x和y坐标轴方向的应力仅为正应力σ₁和σ₃，如图1-7（a）所示。

如果从半无限体中取出一个单位宽度的微分土体，如图1-7（b）所示，作用在微分土体上、下水平面上的正应力均为σ₁，作用在左右两个竖直面上的正应力均为σ₃，在这4个面上均无剪应力作用。若再用一个与水平面成α角的m-n平面从上述微分土体中切取一个直角棱柱体，如图1-7（c）所示，则作用在该直角棱柱体斜面上的应力有正应力σ和剪应力τ，而作用在该棱柱体水平面上的应力仅有正应力σ₁,作用在棱柱体竖直面上的应力仅有正应力σ₃,该棱柱体在上述力的作用下处于平衡状态。若棱柱体的斜面（边）长度为ds，则该棱柱体水平面的边长为dscosα，竖直面的边长为dssinα。

由图1-7(b)，根据静力平衡条件∑x=0可得

根据静力平衡条件∑y=0可得

将公式（1-4）和公式（1-5）联立求解，可得棱柱体斜面上作用的应力为

公式（1-6）表示，在半无限体中任意一点上，若该点的水平面方向上作用正应力σ₁，竖直面方向上作用正应力σ₃，则在该点上与水平面成α角的m-n平面方向上作用的正应力σ和剪应力τ与正应力σ₁和σ₃的关系。

三、应力圆

如果以正应力σ为横坐标，以剪应力τ为纵坐标，绘制直角坐标图，如图1-8所示。在横坐标轴上，以坐标为的点为圆心 （即B点），以为半径，可绘制成一个圆（图1-8），该圆与横坐标相交的两个点分别为A点和C点，A点的横坐标值为σ₃，C点的横坐标值为σ₁。

在这个圆上，若以水平半径BC为准，按逆时针方向旋转2α角，则可在该圆的圆周上得到一个D点。由图1-8中的几何关系可得D点的横坐标值为

将上式整理后可得

D点的纵坐标值为

将公式（1-7）和公式（1-8）分别与公式（1-6）中的两个式子相比较，可见

σ_D=σ

τ_D=τ

这一结果表示，土中一点处与水平面成α角的任意方向平面上的应力σ和τ，均相应于图1-8中圆上与水平坐标轴成2α角的一个点处的横坐标值和纵坐标值。也就是说，土中一点处任意方向平面上的应力，均可由图1-8所示的圆中相应点上求得；或者说图1-8中圆上的任意一点，表示土中一点处相应方向平面上的应力。因此，图1-8所表示的圆，称为应力圆，又称为莫尔（More）圆或莫尔应力圆。因为用应力圆来表示一点处任意方向平面上的应力是由莫尔首先提出的。