2.4.2　压缩感知模型

本小节主要介绍压缩感知的数学模型。从上一小节的介绍可以知道，压缩感知观测过程需要信号具有稀疏特性。同时，还对采用的采样矩阵有所要求。由此，可以对压缩感知进行如下建模：

1）假设信号x∈ℝN满足x=Ψs，其中变换域Ψ中的每一列都是ℝN中的一个可能信号。矢量s是稀疏的，满足‖s‖₀≤K。这是关于x的稀疏表示模型。

2）考虑线性系统，其采用了一个与变换域Ψ不相关的采样（观测）矩阵Φ∈ℝM×N（M≪N）对信号x进行投影，得到维数远小于原信号的观测矢量y。称观测矩阵Φ与变换矩阵Ψ相乘的矩阵为感知矩阵Ω=ΦΨ，有y=Ωs。因此，观测矢量y也可被看作感知矩阵中K个列矢量的线性组合，如图2-10所示。

从信号采样的角度解释该过程，可以知道，在对信号x实施了非相干观测（即观测矩阵Φ和信号x具有的内在生成特性Ψ不相关）后，得到的观测信号y的维数远小于信号x的维数，即得到了远少于原始信号的采样值，实现了信号降维。

需要注意的是，在压缩感知的过程中，其能成功作用的前提是信号需要具备稀疏性。

实用的压缩感知框架如图2-11所示，一般来说需满足以下要求：

1）良好的稀疏化效果。压缩感知的一个主要目的是用尽可能少的观测次数来获取信号的所有信息，同时，这些观测值必须保证信号得到精确重构。现有研究表明：保证精确重构的最低观测次数与信号稀疏值正相关，因此，稀疏值越低的建模方式，可以得到越好的观测压缩比。

2）与稀疏基、信号均不相干的普适观测矩阵。非相干观测是压缩感知成功的前提，不相干的程度越高，对信息“拉伸”的程度越好。

3）高精度的重构。类噪声的观测值不包含任何特征，经存储或传输后，还需要从低维信号重构出高维信号。

因此，信号稀疏表示、观测矩阵设计和重构算法几个关键问题对压缩感知框架的总体性能起到关键作用。信号稀疏表示在2.2节已经介绍。下面将重点介绍观测矩阵设计和重构算法问题。