3.2 平面机构中约束类型及约束反力

静力分析的重要任务之一就是确定未知的约束反力。

构件的运动受到约束的限制作用，意味着被约束构件受到约束的施力作用。约束施加于被约束结构或构件上的力称为约束力或约束反力，也常简称为反力。由前所述，约束反力通常是由主动力所引起的。如图3-25a所示的轮轴，在齿轮啮合力Fn和传动带拉力FT1、FT2及自身重量作用下，轮轴不可能正常工作，而若把它安装在支座A、B上，轮轴可以定轴转动。在支座和轮轴的接触处，轮轴受到支座的约束反力FA、FB和FN的作用（图3-25b）。

主动力一般是已知的，而约束反力则是未知的。但是，约束反力总是作用在约束与被约束构件的接触处，其方向总是与约束所能阻止的构件运动方向相反，据此可确定约束反力的作用点、方位或方向。下面是机械工程常见的约束类型。

3.2.1 柔性约束

工程上认为不计自重的柔索（如绳索、传动带、链条等）构成柔性约束。柔性约束只能限制物体沿柔索伸长方向的移动，因此所产生的约束反力一定是沿着柔索中心线而背离物体的拉力，并作用在柔索和物体的连接点，用FT表示。

图3-26a所示为吊车通过绳索吊运钢梁时，绳索对钢梁的约束反力，如图3-26b所示。

图3-27a所示为一带传动机构，传动时传动带对带轮的约束反力如图3-27b所示。

3.2.2 运动副约束

1.高副约束

在图3-28a所示的凸轮传动机构中，凸轮与顶杆构成高副约束，如果不计摩擦，凸轮只能限制顶杆沿接触点K处公法线压入凸轮（约束体）内部。因此，凸轮所产生的约束反力是一个沿着接触点K处公法线指向顶杆（被约束体）的压力，并作用在接触点K处，一般用FN表示，如图3-28b所示。

图3-29a所示为齿轮传动机构，从动轮2对主动轮1的约束反力如图3-29b所示。

图3-30a所示为一夹紧装置，图3-30b、c分别为压板和工件所受的约束反力。

2.转动副约束

在图3-31a所示支座结构的铰链中，销钉和被连接构件构成转动副约束，也称铰链约束。如果不计摩擦，销钉限制了构件在垂直于销钉轴线平面内沿x、y两正交方向的运动，因此，销钉所产生的约束反力FR由x、y方向的约束分力Fx、Fy合成，其作用线沿销钉和构件接触处的公法线方向并通过转动副中心。实际上当销钉和构件相对运动时，两者便在接触面的某处接触，如图3-31b中的K点。由于接触处K点的位置难以确定，约束反力FR的大小和方向均为未知，因此，在实际受力分析时，通常用过转动副中心的正交分力Fx、Fy来代替（图3-31c）。

用铰链连接的两构件之一是固定的结构，称为固定铰链支座，如图3-31所示。用铰链连接的两构件均不固定的结构称为中间铰链，图3-32所示。

工程上为了适应某些构件变形时同时发生微小的偏转和移动，常采用如图3-33a、b所示的活动铰链支座。这种支座一般是将构件的铰链支座用滚子支承在光滑的支承面上，构成支座可以移动的铰链约束。这种支座只能限制构件沿法线方向的移动，因此，活动铰链支座的约束反力FN必垂直于支承平面，并通过铰链中心，指向待定。

例如，在机械装置中，轴两端的支座结构通常能够适应轴的微小变形，所以，在进行静力分析时，将一端视为固定铰链支座，而另一端视为活动支座。

图3-34a所示为一滑动轴承装置，轴与轴承构成的转动副约束与铰链约束相似，但轴为被约束体。轴承限制了轴在垂直于轴线平面内的径向移动，所产生的约束反力如图3-34b所示。

3.移动副约束

在如图3-35a所示曲柄滑块机构中，滑块2在导槽1中移动，构成移动副约束，如果不计摩擦，导槽1能限制滑块2沿接触面公法线压入导槽内部的运动和在图示平面内的转动。因此，导槽对滑块有两个方面的约束作用，一个是产生沿接触面公法线且指向滑块的压力FN（图3-35b），另一个是产生限制滑块转动的约束反力偶M。如果视滑块受主动力的作用而无转动趋势，则约束反力偶M=0。为便于计算，常将沿接触面分布的约束反力FN简化为集中力。

图3-36所示为机床导轨对工作台的约束，这也是移动副约束的实例。

3.2.3 固定端约束

固定端是一种常见的约束形式。图3-37a所示为固定在车床卡盘上的工件，图3-37b所示为安装在刀架上的车刀，均可用图3-37c所示简图表示。其固定端A限制了它们沿任何方向的移动和转动，即在固定端接触面上产生任意方向的分布力系（图3-38a），该力系可利用力的平移定理向固定端A点简化为一个约束反力FA和一个约束反力偶MA（图3-38b），并用两个垂直正交的分力Fx、Fy和一个约束反力偶MA来表示（图3-38c），其中力的指向和力偶的转向均可任意假设，然后由计算结果来判定其正确方向和力的大小。

3.2.4 构件的受力分析与受力图

在确定构件的约束反力时，需要分析构件所受的所有主动力和约束反力，即通过画构件的受力图对其受力状况进行表达。

对于整个机构，各个构件之间的作用力为内力，要对其中某个构件作受力分析时，需将该构件从机构中分离出来，此时，其他构件对该构件的作用力均为该构件受的外力。因此，画出被分离出来的构件（称受力分析对象），并画出其承受的所有主动力和约束反力，即为该构件的受力图。

为正确画出受力图，常采用解除约束分析力的方法，该方法的步骤是：

1）确定受力分析对象（即构件等）。

2）将该构件单独分离出来。

3）画出该构件上的主动力。

4）根据该构件所受到的约束类型逐个画出约束反力。

【例3-5】 某横梁AB两端分别为固定铰链支座和活动铰链支座，在C处承受一倾斜的集中力P，如图3-39a所示。若不计梁的自重，试画出梁AB的受力图。

解 以梁AB为分析对象，解除其两端支座约束，取为分离体单独画出。

作用在梁上的主动力即为载荷P，其作用方向和作用位置均已给定。A端为固定铰链支座，其约束反力可用水平分力FAx和垂直分力FAy表示，方向假设；B端为活动铰链支座，它对梁的约束反力垂直于支承平面，方向假设，用FNB表示。于是，梁AB的受力图如图3-39b所示。

梁的受力图还可以用另一种表示方法，如图3-39c所示。将固定铰链支座A处的约束反力用合力FRA表示，其作用线和方向未知。但由于梁在载荷P、约束反力FRA和FNB三力作用下而平衡，由三力平衡汇交定理可知，这三个力作用线必定汇交于一点，而P和FNB的作用线交点为D，则FRA的作用线必交于D点，因此，约束反力FRA的作用线沿AD连线，但方向假设。

【例3-6】 图3-40a所示为一铣床上所用夹紧工件的夹具。当拧紧螺母时，压板便在工件1和工件2上施加压力，使之压紧。若不计螺母与压板、压板与工件及工件与夹具座之间的摩擦，试画出螺栓、压板与工件1的受力图（不计自重）。

解 分别以螺栓、压板和工件1为分离体，解除其约束，画出各自的受力图。

（1）画螺栓的受力图。压板通过螺母对螺栓施力，故将螺栓和螺母一起作为分离体，如图3-40b所示。螺母拧紧后受到压板产生的反作用力是垂直于两者接触面向上的压力，并可简化为沿螺栓中心线的集中力Q′，螺栓下部受到夹具座产生的约束反力限制螺栓上移，此时螺栓为二力构件，因此，其下部的约束反力Q″与上部的力Q′是一对等值、反向、共线的平衡力，而且对螺栓杆而言是一对拉力。螺栓的受力如图3-40b所示。

（2）画压板的受力图。螺母施加在压板上的力Q可视为外载荷，它与Q′是一对作用力和反作用力。压板与工件形成高副约束，所以工件1（工件2）对压板的约束反力FN1（FN2）是作用在工件与压板的接触点并垂直压板表面的压力。压板的受力如图3-40c所示。

（3）画工件1的受力图。压板对工件的压力F′N1与工件对压板的约束反力FN1是一对作用力和反作用力。工件与夹具座在A、B两点处形成高副约束，所以夹具座对工件的约束反力FNA和FNB分别是通过A、B两点并垂直于夹具座接触表面的压力。工件1的受力如图3-40d所示。

【例3-7】 曲柄冲压机构如图3-41a所示，设带轮的重量为W，并不计冲头及连杆的自重，冲头受工件阻力Q作用。试画出连杆、带轮、冲头和机构系统的受力图。

解 分别以连杆、带轮、冲头和机构系统为分离体，解除其约束，画出各自的受力图。

（1）以连杆为分析对象。该连杆为二力杆，根据二力平衡条件，可确定连杆在B、C两处铰链的约束反力分别为FB、FC，并假设为压力。连杆的受力如图3-41b所示。

（2）分析与连杆相连的冲头。作用于冲头上的工件阻力Q为主动力。冲头在C处铰链的约束反力F′C与力FC是一对作用力与反作用力；机座上滑槽与冲头形成移动副约束，滑槽对冲头产生的约束反力FN是垂直于两者接触面的压力，按三力平衡汇交定理，力FN必过力Q与力F′C的汇交点C。冲头的受力如图3-41c所示。

（3）分析带轮。带轮上作用于轮心向下的重力W为主动力。带的拉力FT1、FT2分别沿带的中心线而背离带轮；连杆对带轮的约束反力F′B与FB是一对作用力与反作用力；轮心A处固定铰链支座对带轮产生的约束反力用正交分力FAx和FAy表示，且通过铰链中心A，方向假设。带轮的受力如图3-41d所示。

（4）以整个机构系统为分离体。系统受到的主动力有Q、W。去掉外部约束，即解除滑槽和固定铰链支座并分别画出其约束反力FN及FAx和FAy；画出带的拉力FT1、FT2。B、C两处转动副约束为内部约束，所产生的约束反力为系统内力，在系统内部自相平衡，故内力不应画出。机构系统的受力如图3-41e所示。

通过对以上例题的分析，不难发现，分析受力，特别是分析约束反力时，应注意以下几点：

1）应根据约束类型及其性质，确定约束反力的作用位置和作用方向。

2）利用二力或三力平衡条件，有利于确定某些未知约束反力的作用方向。

3）正确利用作用与反作用定律，有助于由一个分析对象上的受力确定与之接触的其他分析对象上的受力。