3.1 静力分析的基本概念

3.1.1 力及其性质

1.力的概念

力是物体间的机械作用，这种作用使物体的运动状态发生改变（称为力的运动效应）或使物体产生变形（称为力的变形效应）。例如，人用手推动小车，人与小车之间产生相互作用，使小车运动状态改变；压力机冲压工件时，冲头与工件间有相互作用，工件产生变形。

力对物体作用的效应取决于力的三要素，即力的大小、方向、作用点。

力的大小反映物体间机械作用的强弱程度。在国际单位制中，力的单位为牛[顿]（N）或千牛[顿]（kN）。

力的方向包含方位和指向两个意思，如铅直向下、水平向右等。

力的作用点指的是力在物体上的作用位置。一般说来，力的作用位置并不是一个点，而是在一定的面积内，故称为分布力。但是，当作用面积小到可以不计其大小时，就看作一个点（即力的作用点），而这种作用于一点的力则称为集中力。例如，静止的汽车通过轮胎作用在桥面上的力，因轮胎与桥面接触面积较小，可视为集中力（图3-1a）；而桥面施加在桥梁上的力则为分布力（图3-1b）。

由力的三要素可知，力是定位矢量，可用带箭头的有向线段表示。有向线段的长度AB按比例表示力的大小，线段的方位和箭头指向表示力的方向，线段的起点A或终点B表示力的作用点，如图3-2所示，力所沿的直线称为力的作用线。在本书中，力的矢量用黑体字母（如F）表示，手写时在字符上方画箭头；而力的大小用相应的普通字母（如F）表示。

作用在物体上的一组力称为力系。使同一物体产生相同作用效应的力系称为等效力系。如果某力系与一个力等效，则这一力称为该力系的合力，而力系中的各个力则称为这一合力的分力。

平衡是指物体相对于地球处于静止或做匀速直线运动的状态，是机械运动的一种特殊情形。作用于物体并使其保持平衡状态的力系称为平衡力系。构件或零件的平衡问题是平面机构静力分析的基本问题。

任何物体受力后都将或多或少地发生变形，但微小变形对零件或构件的平衡问题影响甚微，可以忽略不计，因而在对零件或构件进行静力分析时将其视作刚体（即受力后不变形的力学模型）。然而，在分析构件或零件的承载能力时，其变形是主要研究因素，因此即使构件或部件产生极其微小的变形，也不能将其视作刚体。

2.力的性质

人们在长期的生活和生产实践中，总结出了许多力所遵循的规律，称为力的性质，因被人们所公认，所以也称为静力学公理。力的基本性质如下：

性质1 二力平衡公理

不计自重的构件在二力作用下平衡的必要和充分条件是：二力沿着同一作用线，大小相等，方向相反，如图3-3所示。其矢量表达式为

F1=-F2（3-1）

工程上把作用有二力而处于平衡的构件又称为二力构件或二力杆。根据上述性质，二力构件上的两个力必沿两力作用点的连线（与构件形状无关），且等值、反向。

性质2 加减平衡力系公理

在作用于构件的力系中，加上或减去任意一个平衡力系，不会改变原力系对构件的作用效应。由此可得出如下推论：

推论1 力的可传性

作用于构件上的力可沿其作用线移至构件内任意点，不会改变力对构件的作用效应。

如图3-4a所示，设F作用于构件上A点，根据加减平衡力系公理，在力的作用线上任一点B加上一对大小均为F的平衡力F1、F2（图3-4b），新力系（F、F1、F2）与原来的力F等效。而F和F1为平衡力系，减去后不改变力系的作用效应（图3-4c）。于是，力F2与原力F等效。力F2与力F只是作用点不同，这就相当于力F沿其作用线由A点移到了B点。

推论表明，对于刚性构件，力的三要素变为：力的大小、方向和作用线。例如，用小车运送物品时如图3-5所示，不论在车后A点用力F推车，或在车前同一作用线上的B点用力F拉车，效果都是一样的。

需要指出的是，当研究力对构件的变形效应时，构件不能被视作刚体，力的可传性将不再成立。

性质3 力的平行四边形法则

作用在构件上同一点的两个力可以合成为一个力，合力的作用点仍作用在这一点，合力的大小和方向由这两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线确定，如图3-6a所示。其矢量表达式为

在求共点力的合力时，为作图方便，可采取只画出平行四边形一半的作图法，称三角形法则（图3-6b）。方法是：自任意一点O作矢量F1，再从F1的终端作矢量F2，最后从F1的始端O点向F2的终端作矢量FR，即为F1和F2的合力。若改变F1、F2的作图顺序，其结果不变（图3-6c）。但应注意，力三角形只表明力的大小和方向，而不表示力的作用点或作用线。

若构件上有F1、F2、…、Fn共n个力作用，力系中各力的作用线共面且汇交于同一点（称为平面汇交力系），则根据性质3此力系可通过两两合成的方法（图3-7），最后合成为一个合力FR，其矢量表达式为

FR=F1+F2+…+Fn=∑F（3-3）式（3-3）表示，平面汇交力系的合力矢量等于力系中各分力的矢量和。

在工程实际中，为方便分析与计算，常利用平行四边形法则将一个力分解为方向已知且相互垂直的两个分力，称之为正交分解。如图3-8所示，若将力F沿直角坐标轴x、y方向分解，则其分力Fx和Fy的大小分别等于力F在两坐标轴上投影Fx、Fy的绝对值，即

式中α——力F与x轴所夹的锐角（°）。

必须注意，分力Fx和Fy是矢量，投影Fx、Fy是代数量。

推论2 三力平衡汇交定理

作用于构件上不平行的三个力，若构成平衡力系，且其中两个力的作用线汇交于一点，则此三个力的作用线在同一平面内且必汇交于一点，如图3-9所示的三个力F1、F2、F3。这一推论，读者可自行证明。

性质4 作用与反作用定律

两构件间相互作用的力（作用力与反作用力），总是大小相等、方向相反、作用线相同，并分别作用在这两个构件上。

性质5 合力投影定理

力系的合力在某一直角坐标轴上的投影，等于力系中各分力在同一轴上投影的代数和（图3-10）。对于平面汇交力系，其数学表达式为

式中FRx、FRy——合力FR在x轴、y轴上的投影；

F1x、F2x、…、Fnx和F1y、F2y、…、Fny——各分力在x、y轴上的投影。投影的正负号规定为：由力的始端投影至终端投影的指向与投影轴正向一致时，取正号；方向相反取负号。

由合力的投影FRx、FRy可确定合力FR的大小和方向，即

式中α——合力FR与x轴所夹的锐角。

FR的指向由∑Fx、∑Fy的正负来确定。

【例3-1】 如图3-11所示，在固定圆环上有四根绳索，其拉力分别为F1=0.2kN，F2=0.3kN，F3=0.5kN，F4=0.4kN，它们与x轴的夹角分别为α1=30°，α2=45°，α3=0，α4=60°。试求它们的合力大小和方向。

解 建立如图3-11所示直角坐标系。根据合力投影定理，有

FRx=∑Fx=F1x+F2x+F3x+F4x

=F1cosα1+F2cosα2+F3cosα3+F4cosα4

=（0.2cos30°+0.3cos45°+0.5cos0+0.4cos60°）kN

=1.085kN

FRy=∑Fy=F1y+F2y+F3y+F4y

=-F1sinα1+F2sinα2+F3sinα3-F4sinα4

=（-0.2sin30°+0.3sin45°+0.5sin0-0.4sin60°）kN

=-0.234kN

合力的大小为

合力的方向为

3.1.2 力矩及其性质

1.力矩的概念

力对构件作用的运动效应体现在使构件移动和转动，力的移动效应取决于力的大小和方向，力的转动效应则是用力矩来度量的。常见的工具（如扳手、杠杆等）和简单机械（如手动剪切机等）的工作原理中都包含着力矩的概念。

如图3-12所示，以扳手拧动螺母为例，力F使螺母绕O点转动。由经验可知，加在扳手上的力F越大或离O点越远，拧动螺母越容易。这就表明，力F使螺母绕某一固定点O转动的效应，不仅与力F的大小有关，还与该点到力F作用线的垂直距离d有关。因此，可用F与d的乘积作为力F使螺母绕O点转动效应的量度，并称其为力F对O点之矩，简称力矩；O点称为力矩中心，简称矩心；距离d称为力臂。力矩记为MO（F）。即

MO（F）=±Fd（3-7）式中的符号“±”表示力使物体绕矩心转动的方向，通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。可见，在平面问题中，力矩是一个代数量。

在国际单位制中，力矩的单位是牛·米（N·m）或千牛·米（kN·m）。

2.力矩的性质

由上述分析可得力矩的性质：

1）力对点之矩，不仅取决于力的大小和方向，还与矩心的位置有关。力矩随矩心的位置变化而变化。

2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变，这是因为力与力臂均未改变。

3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。

4）互相平衡的两个力对于同一点之矩的代数和等于零。

3.合力矩定理

合力对其作用平面内任一点的矩等于该面内各分力对同一点之矩的代数和。即

MO（FR）=MO（F1）+MO（F2）+…+MO（Fn） （3-8）

式中，FR为F1、F2、…、Fn的合力。

计算力矩时，若力臂不易确定，常将力分解为两个易确定力臂的正交分力，然后应用合力矩定理方便地计算力矩。

【例3-2】 如图3-13所示为汽车制动的操纵机构。在驾驶人的脚踏力F的作用下，脚踏板A左移，摇臂ABC绕B点转动，通过连杆推动活塞右移，实现液压油控制制动。已知：脚踏力F=300N，与水平方向所夹的锐角α=30°，a=0.25m，b=0.05m，求：力F对B点的矩MB（F）。

解 此题如果直接由力矩定义式MB（F）=±Fd求解，力臂d不容易确定，但题目已给出力F作用点A与矩心B的铅直距离a=0.25m，水平距离b=0.05m，因此，应用合力矩定理可方便地计算力矩。

将力F分解为水平和铅直方向两分力Fx、Fy，这两分力的力臂就是a和b，则

Fx=Fcosα=300×cos30°N=260N

Fy=Fsinα=300×sin30°N=150N

由合力矩定理可得

MB（F）=MB（Fx）+MB（Fy）=Fxa-Fyb

=260×0.25N·m-150×0.05N·m=57.5N·m

【例3-3】 图3-14a所示为一对圆柱直齿轮的啮合传动，齿廓间沿公法线方向相互作用的力（啮合力）为Fn，并设作用点在节圆（啮合圆）上。已知力Fn=1400N，节圆半径r2=60mm，压力角α=20°（力Fn与节圆切线所夹的锐角）。试计算主动轮1对从动轮2的力矩（图3-14b）。

解 本题有两种解法。

（1）由力矩的定义计算力Fn对O2点之矩，即

MO2（Fn）=-Fnd=-Fnr2cosα

=-1400×60×cos20°N·m=-78.93N·m

（2）根据合力矩定理计算力Fn对O2点之矩，将力Fn正交分解为切向分力Ft和径向分力Fr，其中径向分力Fr的作用线通过矩心O2，则Fr对O2点之矩为零，即

MO2（Fn）=MO2（Ft）+MO2（Fr）=-Ft·r2+0=-（Fncosα）r2

=-（1400×cos20°）×60N·m=-78.93N·m

两种解法的计算结果一致。其中负号表示主动轮1对从动轮2的力矩是顺时针方向。

3.1.3 力偶及其性质

1.力偶的概念

在生活和生产实践中，经常遇见用一对等值、反向但不共线的平行力对物体产生转动效应的情况。例如，驾驶人驾驶汽车时两手作用在方向盘上的力（图3-15a）；工人用丝锥攻螺纹时两手加在扳手上的力（图3-15b）；以及用手拧动水龙头（图3-15c）所加的力等。这种由大小相等、方向相反、作用线平行但不共线的两个力组成的力系称为力偶，用符号（F，F′）表示。两力作用线之间的垂直距离d称为力偶臂（图3-15b），两力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。

由经验可知，组成力偶的力越大或力偶臂越大时，力偶对物体产生的转动效应就越显著。因此，力偶对物体的转动效应可用其中的一个力F的大小和力偶臂d的乘积来量度，并称为力偶矩，记为m（F，F′）或M。即

m（F，F′）=M=±Fd（3-9）

式中的乘积Fd称为力偶矩；符号“±”表示力偶使物体转动的方向，通常规定：力偶使物体逆时针方向转动时，力偶矩为正，反之为负。可见，在平面问题中，力偶矩与力矩一样为代数量。

在国际单位制中，力偶矩的单位是牛·米（N·m）或千牛·米（kN·m）。

2.力偶的性质

力偶作为一种特殊的力系，有其独特的性质。

1）力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。

因为力偶在其作用面内任一轴上的投影恒等于零，如图3-16所示，由合力投影定理可知，力偶没有合力，故有上述性质。可见，力偶与力一样是构成力系的基本元素。

2）力偶对其作用平面内任一点的矩恒等于力偶矩，与矩心位置无关。

如图3-17所示，一力偶（F，F′）的力偶矩M=F·d。在其作用面内任取一点O，则力偶使物体绕O点转动的效应可用力偶中的两个力F、F′对O点的力矩的代数和来量度。设O点到力F′的垂直距离为x，则力偶（F，F′）对于O点的矩为

MO=MO（F）+MO（F′）=F（x+d）-F′x=F·d=M

结果表明，无论点O选在何处，力偶对其作用面内任一点的矩总等于力偶矩。即力偶对物体的转动效应总取决于力偶矩（包括大小和转向），而与矩心位置无关。这也是力偶矩与力矩的主要区别。

3）在同一平面内的两个力偶，只要两者的力偶矩大小和转向相同（即代数值相等），则这两个力偶等效。

由力偶的等效性可知，只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移动和转动，或同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，都不会改变它对物体的转动效应。如图3-18a所示，拧紧瓶盖时，将力偶（F，F′）加在A、B位置或加在C、D位置，其效果相同。又如图3-18b所示，用丝锥攻螺纹时，若将力增加一倍，而力偶臂减少1/2，其效果相同。

因此，力偶对物体的作用，完全取决于力偶矩的大小和转向。因此，力偶在其作用平面内除可用两个力表示外，也可用一带箭头的弧线或折线来表示，如图3-19所示，其中箭头表示力偶的转向，M表示力偶矩的大小。

4）作用在物体同一平面内的两个或两个以上的力偶构成平面力偶系。平面力偶系可以合成为一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩代数和。即

M=M1+M2+…+Mn=∑Mi（3-10）

图3-20所示为两个力偶组成的平面力偶系的合成。

【例3-4】 如图3-21所示，用多轴钻床在水平放置的工件上同时钻四个相同的圆孔，钻孔时每个钻头的主切削力组成一力偶，对工件的切削力偶矩均为15N·m。为了在设计夹具时考虑对工件的夹紧措施，试计算工件受到的总切削力偶矩。

解 因钻头作用在工件上的每一个力偶大小相等、转向相同，且在同一平面内，故工件受到的总切削力偶矩为

M=∑Mi=M1+M2+M3+M4

=4×（-15）N·m

=-60N·m

负号表示总切削力偶为顺时针方向。

3.1.4 力的平移定理

钳工用丝锥攻螺纹时，要求双手一推一拉，均匀用力（构成力偶）。若只用单手给丝锥的一端加力F（图3-22a），将会影响攻丝精度，甚至使丝锥折断，因此这样操作是不允许的。为了解其原因，可分析力F对丝锥的作用效应。根据加减平衡力系公理，在丝锥中心O点加上一对等值、反向、共线的平衡力F′和F″，并使它们与力F平行且大小相等，如图3-22b所示。显然，力F、F′和F″组成的力系与原力F等效。由于在力系F、F′和F″中，力F与力F″等值、反向且作用线平行，它们组成的力偶（F、F″），称为附加力偶，以M表示，如图3-22c所示。于是作用在O点的力F′（相当于将力F平移至O点）和附加力偶M与原力F等效，其中附加力偶M使丝锥转动，而力F′则使丝锥弯曲，这是影响攻丝精度、导致丝锥折断的原因。

由此可见，作用在构件上某点的力，可以平移至构件上任一指定点，但必须同时增加一个附加力偶，该附加力偶矩等于原力对该点之矩。这就是力的平移定理（图3-23）。

力的平移定理常被用来解决工程实际问题。如图3-24a所示厂房立柱受偏心载荷F的作用，为了分析F的作用效果，将力F平移距离e到立柱轴线上O点成为力F′，并附加一力偶M，且M=F·e，可见，力F′使立柱受压，力偶M使立柱弯曲。图3-24b所示齿轮轴，若齿轮上受切向力F的作用，由力的平移定理可知，力F的作用效应将与该力平移至轴线上O点后的力F′和附加力偶M等效。

力的平移定理表明，可以将一个力分解为一个力和一个力偶；反过来，也可以将同一平面内的一个力和一个力偶合成为一个力。