第4节 赛博链轨迹的分叉

所谓赛博链轨迹的分叉，就是赛博链族的轨迹随着参数的变化，而出现的分支情况。分叉点经常出现在周期点处。为了方便，本节主要考虑光滑地依赖于参数的实值函数的单参数族，更准确地说，主要考虑形如J（x，a）的两个变量的函数。其中，对固定的a，J（x，a）是变量x的光滑函数，即任意阶导数都存在的函数。我们也假定 J（x，a）也光滑地依赖于 a。针对这些函数族，研究分叉的目的在于：了解函数族的周期点结构将如何变化，何时变化等。

结论3.12（可参考《混沌动力学》[8]的定理12.5）：设J（x，a）是单参数函数族，假定

则存在包含x0的某个区间I和包含a0的某个区间N以及光滑函数f：N→I，使得

f （a0）=x0和J[f（a），a]=f （a）

再者，J（·，a）在I中没有其他的不动点。这里是指J（x，a0）在x0点对x的偏导数。换句话说，如果仔细观察J（·，a）的轨迹图像，由于J（·，a0）在（x0，a0）点处与直线y=x相交出某一个角度（这是因为，否则就与直线y=x重复，没有交叉角度了），所以在轨迹图像附近 J（·，a）必有相同的性质。因此，对充分靠近a0的a，在x0附近存在一个且只有一个不动点。更形象地说，将所有曲线J（x，a）都画出来后，在（x0，a0）点处将出现一个分叉点；即在赛博链族J（x，a）中，将有许多条赛博链进入此点（导致可被管理），也会有许多条赛博链从不同的方向离开此点（导致可被J−1（·）管理）。

其实，上述结论3.12的一种特殊情况，即所谓的“鞍结分叉”，还可以更简捷地描述为下面的结论3.13。

结论3.13（可参考《混沌动力学》[8]的定理12.6）：若同时满足

则存在0点的区间I及光滑函数f：I→R，使得

J(x, f (x))=x

进而

f′(0)=0, f′′(0)≠0

这里，和的正负符号，确定了分叉的方向，比如，若它们符号相反，则分叉方向就相背；否则，分叉方向就相同。

还有一种分叉，称为倍周期分叉，它可描述为结论3.14。

结论3.14（可参考《混沌动力学》[8]的定理12.7）：若同时满足下面四个条件：（1）对 a0的某一区间内的一切 a，都成立 J（0，a）=0；（2）；（3）；（4）g′（0）≠0，此处，其中。那么，存在0的区间I和函数p：I→R，使得

J(x, p(x))≠x

但是

J2(x, p(x))=x

此类分叉的走向依赖于J（0，a0）和的正负符号：如果符号相反，则相向分叉。

接下来再讨论一种特殊的分叉，称为同宿分叉。

定义3.4（不稳定集）：设p是赛博系统J（·）的一个排斥不动点，为了便捷，总假设

J′( p)＞1

（否则，就用 J2（·）代替 J（·）就行了），同时该假设对排斥周期点也适用。既然 p是一个排斥不动点，所以存在含p的一个开区间U，在该区间内，J（·）是一对一的，且满足扩张性质：

|J(x)−p|＞|x−p|

定义p点的局部不稳定集为包含上述U的最大开区间（为了便捷，仍假定它为U），记为WU（p）。比如，当a＞4时，0点是二次映射

J(x, a)=ax(1−x)

的一个排斥不动点，并且它的局部不稳定集为

WU(0)=(−∞,0.5)

定义3.5（同宿点、同宿轨迹和异宿的定义）：设

J(p)=p,J′(p)＞1

点q称为同宿于p的，若q∈WU（p），且存在n＞0使得

J n(q)=p

即点p被点q用J n（q）所管理，或者反过来，q能被p用J−1（·）所管理；相应的赛博链轨迹，就称为同宿轨迹。点q称为异宿的，若q∈WU（p），且存在n＞0使得J n（q）位于一个不同的周期轨迹。一个同宿轨迹称为非退化的，若对轨迹上的任意点x，都有

J′(x)≠0

否则，就称该轨迹是退化的。

比如，当a＞4时，二次映射

J(x, a)=ax(1−x)

的两个不动点0与都有无穷多个同宿点和异宿点。

结论3.15（可参考《混沌动力学》[8]的定理16.5）：设q位于不动点p的非退化轨迹上，则对p的每一个邻域U，都存在整数n≥0，使得J n（·）在U上有一个双曲不变集；在此不变集上，Jn拓扑共轭于移位自同构。此处的移位是这样的映射σ，它将二元序列s0s1s2…映射为s1s2s3…，即

σ(s0s1s2…)=s1s2s3…

换句话说，它只是简单地扔掉序列中的第1项，把其他各项向左移一位而已。这里si=0或1。

结论3.16（可参考《混沌动力学》[8]的推论16.6）：设J（·）有一个非退化同宿点p，则在p的每个邻域内，都有无限多个互异的周期点。当然，这些周期点的轨迹不在邻域内，周期点的轨迹跑得很远，粗看起来像同宿轨迹。于是，非退化同宿点将导致赛博链出现混沌状态。