第3节 逻辑斯谛赛博链

为了使上一节的相关结果更加深刻，本节聚焦于一种特殊的赛博链，称为逻辑斯谛（Logistic）赛博链，即

J(y, a)=ay(1−y)

它具有非常广泛的实际含义，比如，y（n）既可表示第 n 代生物极限群体数的百分比，又可表示计算机病毒第n轮感染的机器极限群体数的百分比，还可以表示网络系统中的许多行为等，那么，y（n）所满足的赛博链便是

y(n+1, a)=J(y(n), a)=ay(n)[1−y(n)]

对该二次函数族

J(y, a)=ay(1−y)

运用上一节的双曲点的轨迹定理，即结论3.5，便可得出结论3.7。

结论3.7（二次函数族轨迹特性1，可参考《混沌动力学》[8]的命题5.3、例4.10和命题5.2）：若1＜a＜3，记，那么对任意x∈（0，1），都有

即不动点b是吸引的；换句话说，点b可被区间（0，1）中的任意点，用系统

J(y, a)=ay(1−y)

来管理。

当a＞1时，J（y，a）有两个不动点，分别是0和，而且0点是排斥不动点。

当a＞1时，若y＜0，则有

若y＞1，则也有

由此可见，二次函数族赛博链的一切有趣轨迹现象，都只出现在闭区间[0，1]中；因为当a＜1时，二次函数族J（y，a）的轨迹特性也不太复杂。换句话说，对1＜a＜3，二次函数族的轨迹特性就很清楚了：在[0，1]中，0是不动点；J（1，a）=0，随后J n（1，a）且n＞1就永远停留在0点了，即

J n(1, a)=0

而对所有x∈（0，1），有

二次函数族系统的轨迹，还具有很奇怪的一些其他特性，也称为混沌性。为了介绍方便，先引入以下四个概念。

（1）映射J：F→F是拓扑传递的，如果对F中的任意一组开集U和V，都存在正整数k＞0，使得

J k(U)∩V≠φ

即非空集。

形象地说，拓扑传递映射有这样的一些点，它们在迭代下，从一个任意小的邻域最终移动到其他任何邻域。因此，赛博系统 J（·）不能被分解为两个在映射下不变的，非相交的开集。此处的“开集”是这样的集合 X：对其中的任何点x，都存在某个相应的邻域a＜x＜b，使得区间（a，b）都包含在集合X之中。

（2）映射J：F→F称为对初始条件具有敏感依赖性，如果存在δ＞0，使得对任何x∈F和x的任何邻域N，都存在y∈N和n≥0，使得

|J n(x)−J n(y)|＞δ

形象地说，某映射具有对初始条件的敏感依赖性，意味着：如果存在任意接近x的点，在J（·）的迭代下，最终和x分离至少δ。注意，这里并未要求x附近的所有点都需要在迭代下与x分离，而是在x的每一个邻域中都至少存在一个这样的点。如果某映射具有对初始条件的敏感依赖性，那么对单个轨迹 J（·）就不能进行数值计算了。因为计算中由四舍五入产生的微小误差，经过迭代后，就可能被放大，轨迹的数值计算结果将与实际轨道有着天壤之别。

（3）设V是一个集合。如果满足：J具有对初始条件的敏感依赖性，J是拓扑传递的，J的周期点在V中是稠密的，那么映射J：V→V称为在V上是混沌的。简要地说，混沌的映射具有三个要素：不可预测性，不可分解性，还有一种规律性的成分。因为具有对初始条件的敏感依赖性，所以混沌的系统是不可预测的；因为具有拓扑传递性，所以它不能被细分或不能被分解为两个在J映射下不相互影响的子系统（两个不变的开子集）。然而，在这混乱的性态当中，也含有规律性的成分，即稠密的周期点。

（4）映射J：F→F称为是扩展的，如果存在δ＞0，使得对任何x，y∈F，存在n，使得

|J n(x)−J n(y)|＞δ

注意：扩展性不同于敏感依赖性，此处一切邻近点都将最终分离至少δ。

结论3.8（可参考《混沌动力学》[8]的定理7.5和例8.8）：当时，二次函数族

J(y, a)=ay(1−y)

的n周期点的个数为2n，并且该J（y，a）在区间（0，1）的某个子集（其实是一个康托尔集）A中是混沌的。进一步地，可以知道（可参考《混沌动力学》[8]的例8.9），下列等式表示的映射

J(y,4)=4y(1−y)

在闭区间[0，1]上是混沌的。

为了介绍二次函数族的其他一些轨迹特性，先引入以下几个概念。

（1）设J：A→B是某个映射，若它满足：当x≠y时，J（x）≠J（y），则称J（·）是一对一的；若它满足：对任意y∈B，都存在x∈A，使得J（x）=y，则称J（·）是满的；若 J（·）既是一对一的，又是满的，而且 J（·）和 J−1（·）都是连续的，那么，就称J（·）是一个同胚。

（2）设F：A→A和J：B→B是两个映射，如果存在一个同胚H：A→B，使得

H·F=J·H

则称F和J是拓扑共轭的。同胚H被称为拓扑共轭。这里H·F等代表复合映射，比如，H·F（x）=H[F（x）]等。换句话说，对于拓扑共轭的各种映射，它们的轨迹特性是完全等价的。例如，若F通过H拓扑共轭于J，并且p为F的不动点，则H（p）就为J的不动点；此外，H还给出了F的n周期点集合与J的n周期点集合之间的一一对应等。

（3）设F和J是实数域R中的两个映射。F和J之间的C0−距离，记为d0（F，J），由等式所定义。同理，C r−距离dr（F，J）由所定义。这里F（k）（x）和J（k）（x）分别表示F（·）和J（·）的k次导数。直观地说，如果它们及其前r个导数仅相差一个微量，那么这两个映射是Cr−接近的。

（4）映射J：A→A称为在A上是C r−结构稳定的，如果存在δ＞0，使得对任何映射F：A→A，只要dr（J，F）＜δ总有J拓扑共轭于F。简略地说，映射J是结构稳定的，如果它的每一个“邻近”的映射，都拓扑共轭于 J，因而也就基本上具有相同的轨迹性态。这里的“邻近”就是上面的某个Cr−接近。换句话说，如果J是结构稳定的，那么，不论我们如何稍微扰动J或改变J，都将得到一个轨迹特性等价的赛博系统。

结论3.9（可参考《混沌动力学》[8]的定理9.5）：当时，则二次函数族

J(y, a)=ay(1−y)

就是C2−结构稳定的。但是，当a=1时

J(y,1)=y(1−y)

却非结构稳定。

结论3.10（可参考《混沌动力学》[8]的推论11.10）：假定

J(y, a)=ay(1−y)

则对每一个 a，至多存在一个周期吸引点，也至多存在一个吸引周期轨迹。甚至当或a=4时

J(y, a)=ay(1−y)

可能根本不存在吸引周期轨迹。

结论3.11（可参考《混沌动力学》[8]的定理9.8）：设p是J的双曲不动点，并设

J'(p)=λ,|λ|≠0,1

则存在p的邻域U，实数0∈R的邻域V及同胚H：U→R，使得J在U上共轭于V上的线性映射

L(x)=λx

换句话说，双曲不动点邻近的映射，总是局部拓扑共轭于自身的导数。

提醒：此处的J并不限于是二次函数，它本该放在上一节，但由于那时还没介绍同胚或共轭等概念，所以，只好放在此处。