6 自旋的电子

莱顿

1925年11月

新量子力学并没有受到所有人的追捧，毕竟它太抽象，有无限维度的数字表格，以及晦涩难懂的乘法法则。玻尔对此满怀激情，爱因斯坦则不然。

在计算氢的发射光谱时，物理学界开始运用新方法，但问题是“反常”塞曼效应依然摆在新量子物理学家的面前，时不时地戏弄新的量子物理学家的理解力。通过引进第三个（磁）量子数m，“正常”塞曼效应很好地与旧量子理论相容，但反常效应依然顽固，毫不让步。一天，年轻的奥地利物理学家沃尔夫冈·泡利在街上走着，有人拦住他，问他为何不开心，他答道：“一个人在思考反常塞曼效应时，怎么可能开心呢？”

1920年，为了解决多电子原子光谱线分布的性质和亮度的分类问题，索末菲引入了第四个量子数，他称作“内量子数”，即j，以及一条新的选择定则。如果说前三个量子数是参考原子内部运行机制的经典概念模型而来，那么这第四个量子数完全是为了达到这个目的特意设定的。索末菲认为多电子的原子，其运动是复杂的，有种“隐旋转”的特征。1921年，图宾根大学的德国光谱学家阿尔弗雷德·朗德（Alfred Lande）提出一种观点，认为量子数m和j可以取半整数值。两年后他提出，具有多个电子的“内核”和单个外层，即“价”电子的原子，其隐旋转应该与内层核电子相关。

相对来说，朗德的方法是成功的，但依然充满困惑，让人费解。雪上加霜的是，1922年德国物理学家奥托·斯特恩（Otto Stern）和瓦尔特·盖拉赫（Walther Gerlach）研究了磁场对一束银原子的影响（银原子束是通过加热的炉子发射产生的）。斯特恩一直在寻找玻尔—索末菲理论预言的空间量子化的证据，当他发现银原子束的确被磁场分成两个部分时，就以为已经找到了证据。但其他人，包括爱因斯坦在内，确信他们并没有找到，但也对这些结果迷惑不解。

解释到来的那天，便是旧量子理论最后的欢呼。

1918年秋，泡利来到慕尼黑。这位被物理学界誉为爱因斯坦的相对论研究方面的神童，以区区18岁的年龄，加入了索末菲的研究团队。针对广义相对论，他写了一篇评论文章，并在几年后发表，爱因斯坦如是评价：“任何研究过这一成熟而重要的作品的人，都会觉得难以相信，其作者只是一个21岁的年轻人。”著名物理学家、哲学家恩斯特·马赫（Ernst Mach）是泡利的教父。

在慕尼黑，索末菲推荐泡利研究错综复杂的原子理论，以及旧量子理论的“数字游戏”和选择定则。1921年，泡利拿到了博士学位，前往哥廷根大学与玻恩一起工作，不久后就去了汉堡大学。与海森伯一样，泡利也是在1922年节假日期间在哥廷根首次认识玻尔的，并深深地被玻尔的品格、智慧和眼光折服。玻尔邀请他来哥本哈根，他在那儿待了一年后，于1923年返回汉堡。

也是在哥本哈根期间，泡利开始埋头努力解决反常塞曼效应的难题。困难可想而知，每隔一段时间，他就会感觉非常痛苦和绝望。虽然他有能力对索末菲和朗德的提议做出一些改进，但对理论上所包含的“特设”的性质很不喜欢。他要寻找某种更根本性的东西。

1924年底，泡利回到汉堡，把精力放在了剑桥物理学家埃德蒙·斯通纳（Edmund Stoner）的研究上。在他的著作《原子结构及其光谱》（Atombau und Spektrallinien）第四版的序言中，索末菲对斯通纳的研究有相关描述。斯通纳论文的第一稿发表在1924年10月的英国期刊《哲学杂志》（Philosophical Magazine）上，论文中他提出了描述量子数与电子“壳层”概念之间关系的方案，电子“壳层”是指以原子核为中心，一层一层嵌套的“壳”，类似于俄罗斯套娃。每层“壳”的能量取决于主量子数n。每一层壳可能的状态或“轨道”数，取决于给定值n时量子数k和m可以取的值。

按照规则，k必须为大于零且小于或等于n的整数，m则可以取-（k-1），-（k-2）……，0，……，（k-2），（k-1），一共有2k-1种选择。因此，当n=1时，k和m唯一可能的值分别为k=1和m=0。这就表明，只存在一个状态或轨道。按照规则，当n=2时，会对应4个不同的轨道；当n=3时，轨道数为9。也就是说，可能的轨道数为n²。

但体现在元素周期表中，情况又稍有不同。德国物理学家瓦尔特·柯塞尔（Walther Kossel）早前曾提出，如果假设惰性气体（如氦、氖、氩、氪）的原子具有填满的或“封闭的”壳层，那么根据玻尔的原子理论，惰性气体具有惊人的稳定性和惰性就可以理解了。继而，元素周期表可以理解为电子壳层占有率不断递增的表格。也就是说，首先是两个电子（氢、氦），其次是8个电子（从锂到氖），接着还是8个电子（从钠到氩），然后是18个电子（从钾到氪），电子数按壳层序列递增，直至每一个壳层都被填满或封闭。

斯通纳的研究更进一步。每一个轨道上，他不是安排一个电子，而是两个：“在采用的分类中，其显著特征是，每一个被填满的能级的电子数等于分配的内部量子数之和的两倍……”斯通纳认为，在n²个轨道中，应该具有2n²个电子。当n=1时，只有一个轨道，也就意味着总共有两个电子占据该轨道；n=2时，存在4个轨道，也就意味着具有8个电子；n=3时，轨道为9个，电子数为18个。

泡利根据事实进行了推断。他认为朗德的模型把“隐旋转”归因于多电子原子的内层电子是错误的，尽管这个模型看起来相当成功。斯通纳提出，把每个轨道（每个壳层）上的电子数增加一倍。根据泡利的推断，这需要把第四个量子数归到每一个单个的电子上，而非内层电子上。由此他得出了一个启发性的结论：电子必须有一个古怪的、非经典的“双值性”，其特点是拥有半整数的量子数。此外还有一点，原子的壳层结构和元素周期表表明，每个轨道能够且仅能容纳两个电子。泡利写道：

原子不可能具有两个或两个以上相同的电子，也就是说，不存在两个在强场中的电子，所有量子数的值……都相同。如果一个原子中存在一个电子，其量子数（在外场中）具有确定的值，那么这个状态就被“占据”了。

这就是泡利的不相容原理（exclusion principle）。根据不相容原理，原子的每一个电子，都具有不同的4个量子数组合。举例来说，一个处于n=1，k=1，m=0，j=+1/2状态的电子，只能进入j=-1/2的电子（n、k和m均相同）的轨道。j的其他取值都不可以，所以一个轨道仅能容纳两个电子。

对于这个规则，泡利提不出任何正式的解释，而且也没有可替代的选择，只能表述说，它好像“自然而然地就显示出了这种性质”。1924年12月，他给在哥本哈根的玻尔和海森伯寄了一份论文手稿复本，海森伯给他的回复虽热情洋溢，却也尖酸刻薄：

看到你的论文，我应该是最开心的一个，不仅因为你把这个骗局推到了一个难以想象、令人眼花缭乱的高度（引入具有4个自由度的单个电子的概念），对我的侮辱也由此打破了新纪录，而且我还要庆贺一下，最终你也（布鲁图斯，连你也！）在形式主义空谈者的面前低下了头颅……

虽然在迄今仍不明确的原子的量子力学中，它的起源仍然模糊不清，但泡利的不相容原理解释了多电子原子的一个重要性质，即多电子原子毕竟是真实存在的。之前的原子理论，对于多电子原子的所有电子为何最后没有坍缩到能量值最低的轨道上，一直给不出什么解释。

对于电中性的原子，电子数的增加意味着原子核正电荷总量也在增加。核的电荷数越大，电子受到原子核的吸引力也就越大，因此最内轨道的半径就越小。现在我们也许会认为，不断拥挤的电子之间产生的排斥力会阻止原子坍缩形成更小的轨道，因此也就不会坍缩到更小的体积。然而很容易发现，随着中心核电荷的增加，电子间的排斥力无法阻止重原子体积的急剧缩小，因为相邻电子之间的排斥力不足以抗衡原子核对电子的吸引力。从原子质量和元素密度可以计算出原子体积，原子体积会因原子电荷的变化产生复杂的变化，但不会随着电荷增加而产生系统性的缩小。

通过防止电子坍缩或凝聚进最低能量的轨道，不相容原理允许复杂的多电子原子以周期表描述的模式存在。不相容原理允许世界上存在数不清的元素种类，多种多样的化学组合，乃至所有的物质实体，包括生物和非生物。这是非常了不起的成就。

但是，问题依然存在，为什么每个轨道仅能容纳两个电子呢？

年轻的美国物理学家拉尔夫·克勒尼希（Ralph de Laer Kronig）认为，这是因为电子的“双值性”与自旋有关。1904年，克勒尼希出生于德国德累斯顿，父母都是美国人。1925年1月，他在美国纽约的哥伦比亚大学完成博士学位并回到了德国。他回德国后开始与朗德共事。

1924年12月底，泡利给朗德寄了张明信片，表达了希望在1月9日访问图宾根的想法。他很想跟朗德探讨不相容原理，并试图从朗德收集到的大量数据中寻找一些光谱学数据，或许能够反驳不相容原理。

朗德把泡利关于不相容原理的信给他的美国新助理看了。第四个量子数在单个电子上的应用让克勒尼希感到震惊，他立即就想到了一种可能的解释。索末菲已经把第四个量子数归为“隐旋转”，假如这个旋转实际上就是单个电子的自旋会怎样呢？如果电子绕自己的轴自旋（就像地球在绕太阳公转的轨道上自转一样），那么就会产生一个小的局部磁场。一个原子中电子的性能就像一个微小的条形磁铁，它将会具有一个磁矩，与所在的外磁场产生的力线一致或相反，并产生两种不同的能量状态，以分裂的光谱线的形式表现出来。

如果不存在两种能量状态，那么电子就只有一种状态，光谱中就只应该有一条线。根据克勒尼希的计算结果，电子自旋的角动量需要具有固定值1/2ħ，其中ħ是普朗克常数h除以2π的简写。此外，他还证明了磁矩和角动量之比取决于与自旋相关的一个特征因子，即大家熟知的电子的朗德“g因子”，它的值必须为2。这就相当奇怪了，因为经典力学预言，电子轨道磁矩与轨道角动量的比为1。

此外还存在一个问题。从克勒尼希快速推导出的表达式中，他计算出的光谱线的分离程度是实验观察到的两倍。这与假设的g=2无关，因为这个假设是用来解释另外的实验观察结果的。电子自旋能解决朗德核心模型三个问题中的两个，但却无法解决所有问题。

第二天，克勒尼希去火车站接泡利：

也不知为什么，我之前想象中的他（泡利）年纪比较大，还留着胡子。他长得跟我想的非常不一样，但随即我就感受到了从他身上散发出来的气场，令人着迷又有些局促不安。在朗德的研究所，讨论很快就开始了，我也有机会发表我的观点。泡利评价说：“Das ist ja einganz witziger Einfall（你的观点确实很睿智）。”但他不认为这与实际情况有什么关系。

作为理论物理学家，泡利天赋异禀，但同样也以尖酸刻薄著称。对于克勒尼希提出的观点，他完全予以否定。后来克勒尼希又与玻尔、克喇末和海森伯交流，他们也同样否定了他的观点。不管怎样，预测结果和实验观察结果之间存在的两个不一致，让克勒尼希深感困扰，而且一个旋转的带电球体，其赤道的运转速度需要快过光速的十倍，这一点与爱因斯坦的狭义相对论是不相容的。因为这些原因，后来克勒尼希就放弃了他的观点。

在物理学领域，十个月算很长了。在荷兰莱顿，两位年轻的荷兰物理学家塞缪尔·古德斯米特（Samuel Goudsmit）和乔治·乌伦贝克（George Uhlenbeck）独立得出了与克勒尼希相同的结论，物理学界对他们观点的态度倒是比较温和。他们在论文中的总结支持了电子围绕自身旋转的学说，这篇论文投给了德国期刊《自然科学》（Naturwissenschaften）。论文提交后，他们与令人敬重的物理学家亨德里克·洛伦兹进行了交流。洛伦兹告诉古德斯米特和乌伦贝克，在经典电子理论中，他们的观点几乎是不可行的。二人担心自己犯了大错，急急忙忙地要在发表之前把论文撤回，但已经为时太晚了。

1925年11月，论文发表了。刚开始，论文引起了类似当初对克勒尼希观点的担心。1925年12月，泡利和斯特恩去火车站接玻尔，并询问他对两位荷兰物理学家的观点作何评价。虽然玻尔说了类似观点很有趣的话，但话中有话，暗示他觉得观点可能不对。抵达莱顿后，玻尔见到了爱因斯坦和奥地利物理学家保罗·埃伦费斯特，他们也问了相同的问题。当听到爱因斯坦解释说，自己提出的某些反对观点是可以解决时，玻尔的态度开始有所改变了。

玻尔随后从莱顿前往哥廷根，海森伯和约尔旦又问了他同样的问题。这次玻尔热情满满，而海森伯隐约想起，似乎之前听说过类似的观点。在回哥本哈根的路上，玻尔乘坐的火车经停柏林，他在那儿碰到了刚从汉堡回来的泡利。泡利又专门提到电子围绕自身的旋转，问玻尔是怎么想的。此时，玻尔说这是一个重大的进展。在原子物理学的领域中，一个带电物体自旋的经典图景是没有意义的，对于这一点，泡利仍然无法接受，将它称为“又一个哥本哈根邪说”。

但玻尔已然成为电子围绕自身旋转学说强有力的支持者，而且他或许是第一个使用“电子自旋”这一术语的人。这个术语被沿用了下来，尽管在量子理论中的含义与在经典诠释中的含义已相去甚远。随着它越来越为人接受，有一点也就越来越清楚：泡利（以及玻尔、克喇末和海森伯）当时让克勒尼希打消进一步研究自己提出的观点的念头，也就让他失去了成为电子自旋“发现者”的机会。虽然克勒尼希一般情况下总是淡然地对待这件事儿，但也禁不住会感到些许苦涩，他后来在给玻尔的信中写道：“有的物理学家嘴上说着欢迎多样性，但对自己的观点总是那么固执地肯定，内心膨胀。要不是想批评一下这种现象，我就不会跟他（克喇末）提这件事儿了。”

不出玻尔所料，导致光谱线分裂的预测和观察之间不一致的神秘影响因素，得到了令人满意的解决。英国物理学家卢埃林·希乐斯·托马斯（Llewellyn Hilleth Thomas）随后证明，把问题重置于恰当的电子静止参照系中，将改变谱线分裂的表达式，原表达式中g的取值不再是g=1，取g=2将使预测的分裂值减半。

保罗·狄拉克随后提出，如果电子能被看作拥有两个可能的“自旋”方向，那么，这或许就能解释为什么每个电子轨道仅能容纳两个电子的问题。两个电子的自旋方向必须要刚好相反，才能在一个轨道中“安身”。一个轨道最多能够容纳两个自旋方向配对的电子。

这是个相当大的进展，但依然存在相当多的谜团。原则上说，一个经典的自旋物体，不会被限制在与磁矩方向一致或相反的两个位置。这种限制是以某种方式由电子的量子性质决定的，这样解释才算合理。

尚不清楚的只是，这种限制是如何实现的。