5 瑰丽的内部

黑尔戈兰

1925年6月

虽然玻尔—索末菲规则取得了成功，但随着无法解释的实验结果越来越多，“旧”的量子理论（人们如此称呼它）逐渐开始瓦解。尽管运用这些“临时”的规则，人们对最简单的原子，即氢原子的光谱，“解释”起来还稍有信心，但对于第二简单的原子——氦原子，就难以解释了。当被置于磁场中时，其他某些特殊的原子，如钠和稀土元素的原子，会呈现出“反常”的光谱。旧量子理论是通过把量子规则硬塞进经典力学框架中而创建的，显然无法解释这种效应。

理论出现了问题，并演变成了一种对抗。玻尔不愿意接受爱因斯坦的光量子理论，因此选择了另一种替代方法，无须使用点状粒子的概念就能解释诸如光电效应这样的现象。然而，他的不情愿也让他付出了高昂的代价。1924年初，玻尔与荷兰物理学家亨德里克·克喇末（Hendrik Kramers）和美国物理学家约翰·C.斯莱特（John C.Slater）合作提出了一个理论，放弃了单个原子事件中的动量守恒和能量守恒原则，并提出守恒是统计的平均结果。爱因斯坦勃然大怒。

1925年初至1925年中进行的一些实验逐渐推翻了玻尔—克喇末—斯莱特（BKS）理论。玻尔曾用他的个人魅力和说服力说服年轻的同行放弃他们更准确的判断，转而接受BKS理论。如今他同意宣布这份成果“死得光荣”。现在已别无选择，唯有接受光量子。

BKS理论的提出表明，物理学界急于找到一种新理论。情况越来越明显，科学家需要创建一种新的量子理论，需要推翻旧的理论，并“自下而上”地重建一套新的规则。这个新规则要不依赖于自身就隐藏着矛盾的经典物理学图景，也就是说不能依赖于带电的物质粒子沿类似行星轨道的轨道绕中心的原子核运动这样的观点。

物理学的革命即将到来。

1917年，哥本哈根大学的工作环境非常局促，无法满足玻尔对丹麦物理学发展的期待。他开始了漫长而曲折的努力，最终建立了一所新的理论物理研究所。研究所于1920年建成，1921年揭牌，玻尔直接参与了筹建计划。20世纪20年代初期，他又从嘉士伯基金会和国际教育委员会（1923年由约翰·D.洛克菲勒创立）筹得了更多的资金，使用这些资金购买科学设备，为学生和访问学者提供助学金和研究基金，并为研究所的进一步蓬勃发展创造机会。

一大批怀揣远大志向的年轻物理学家纷至沓来，叩响了玻尔理论物理研究所新古典风格的大门，与这位大师一道研究原子理论。1924年复活节期间，一位年轻的德国物理学家来到了丹麦。他不懂丹麦习俗，也不会讲丹麦语，但他意识到，自己只需要报出玻尔的大名即可：

……当人们明白我是要去玻尔教授的研究所之后，一切困难都扫清了，所有大门都向我敞开。这个国家国土不大，但人民亲切友好，能与玻尔这样一位伟大人物一起工作，从一开始我就有一种被保护的安全感。

1922年6月，在哥廷根以玻尔的名义举办的科学盛宴上，维尔纳·海森伯第一次遇到了玻尔。当时他刚20岁，在慕尼黑大学攻读博士学位，导师是索末菲。玻尔的第三场演讲临近结束之际，海森伯鲁莽地站了起来，对玻尔的演讲提出批评意见。玻尔略带迟疑地回应了他。演讲结束后，玻尔邀请海森伯一起到附近的海恩山上走一走。玻尔对海森伯说，他完全理解海森伯的疑惑，并邀请这位年轻的物理学家到哥本哈根，做一个学期的研究。

1923年7月，海森伯在慕尼黑完成了博士学业。当时他年轻气盛，并且瞧不上实验物理学，这让他在答辩的时候吃了亏。由于他推导不出计算显微镜分辨本领的公式，因此德高望重的维恩很是失望。最后海森伯虽然通过了答辩，但分数很低。维恩觉得他太过自负，因此给了低分，不过对于我们这位年轻的博士来说，这是一次有益的经历。

毕业之后，海森伯离开慕尼黑前往哥廷根，与马克斯·玻恩共事，希望能获得大学讲师的资格。后来玻恩回忆道：“他就像个单纯朴实的乡下男孩，金色短发，眼睛干净明亮，神采奕奕。”在哥廷根，海森伯开始研究一些有关原子的量子理论的问题，这些问题一直困扰着这个领域的物理学家。在这期间，海森伯对研究面临的困难第一次有了体会。1924年1月，玻尔再次邀请海森伯来哥本哈根，海森伯接受了邀请，并安排在复活节期间前往丹麦。

海森伯在玻尔理论物理研究所受到了热情款待，但在那儿的所见所闻让他有点手足无措，并心生敬畏。作为原子物理学的中心，这里一片热闹繁忙的景象，他目睹了“很多聪明的年轻人从世界各地赶来，会聚到这里。每个人都比我厉害得多，不光是在语言能力和待人处事上胜过我，掌握的物理学知识也比我多。”

在哥本哈根待的前几天里，海森伯都没怎么见到玻尔。但后来玻尔还是抽出时间，约海森伯去散散长步。他们穿过西兰岛，一直走到克龙堡宫。克龙堡宫历史悠久，因丹麦最著名（或许纯属虚构）的哈姆雷特王子而闻名遐迩。

来到哥本哈根让海森伯至少在短期内避开了德国的社会和政治动荡，不用直面生活的波折。1924年2月，阿道夫·希特勒因参与前一年11月份的“啤酒馆暴动”而被判处五年监禁，但这次宣判却让国社党（纳粹党）取得了宣传上的胜利。玻尔特别想听听这位德国年轻人怎样看待德国发生的事件。

“这几天，我们的报纸总是在告诉我们，德国境内发生了不详的兆头，掀起了反犹浪潮，很明显有煽动者在煽风点火。你有没有遇到过此类情况？”他问海森伯。玻尔有一半犹太血统。

他的确遇到过，海森伯向玻尔讲述了自己的经历。那是在1922年夏，当时爱因斯坦正在莱比锡做广义相对论的演讲。海森伯一直认为科学应该高于政治，但政治变动引发了慕尼黑的内乱。他目睹了学生游行抵制爱因斯坦的“犹太物理学”，而这场游行竟是菲利普·莱纳德鼓动的，这一切让他极为痛心。

海森伯的首次哥本哈根之旅虽然很短暂，却掀开了日后频频来访并在这里长住的篇章。1924年9月，他重回玻尔理论物理研究所，获得了嘉士伯基金会和国际教育委员会的资金支持。这次来到这里，他与荷兰理论物理学家亨德里克·克喇末紧密合作，此时的克喇末已是玻尔的得力助手。

与克喇末的合作让海森伯确信，如果想推动原子理论的发展，就必须放弃一些试图“理解”原子内部运作机制的想法。他逐渐发现，行星模型，即物质粒子沿着一系列稳定轨道绕中心的原子核旋转，虽然看起来丰富有料，但无法用数学分析。作为一种经典力学模型，行星模型在加入一些相当任意的量子原则后，其有效期虽然得以延长，但最终将难逃失败的命运。

而在哥廷根，玻恩在着力发展一种新的“量子力学”，用以取代经典理论对原子内部结构的解释。海森伯已经选择将注意力集中于已有的实验观测结果，而非仅仅是猜测。原子光谱中原子秘密的揭开，依赖于单个谱系的频率和强度（或“亮度”）的精确样式。海森伯此刻认识到，新的原子量子理论应该只研究这类可观测到的数据，而非无法观测的、符合随随便便的量子原则的力学“轨道”。

在海恩山上，玻尔提到了他们面临的难题。他说：“这些模型是从实验中推导得出的，也可以说是猜出来的，而不是依据理论计算得出的。我希望他们描述电子模型时，应尽可能用，且只用经典物理学的描述语言。有一点我们必须清楚，一提到原子，就只能用一种诗意的语言。诗人的关注点也不在描述事实，而是创造意象，建立情感上的联系。”

海森伯确信，是时候使用一种新语言了。

1925年4月，海森伯再次回到哥廷根。5月底，他得了严重的花粉症，没法继续工作，因此跟玻恩请了14天假以便休养恢复。6月7日，他来到德国北部海岸的黑尔戈兰小岛，希望北海干净的空气能够让他尽快痊愈。他的脸部浮肿得厉害，以至于女房东认为他跟别人打架了。

这一段时间海森伯没有受到任何干扰，因此研究取得了飞速的进展。他一直在致力于研究一种原子理论的方法，在这种方法中，不可观测的内部力学的参数被可观测的原子事件的术语所取代——轨道之间的跃迁，被以光谱线的形式呈现出来。他构建一个相当抽象的模型，包括一组谐振子的无穷级数（称为傅立叶级数），每一个谐振子有自己的振幅和频率。海森伯确定，每一个振子（傅立叶级数中的每一项）就是一个量子跃迁，从一个量子数为n的稳定轨道跃迁到一个量子数为m的轨道。得出的结果是一个由符号，或者说傅立叶级数的项组成的无限大的表。这些项以行和列的形式排列，每一项代表一个量子从初始轨道到终了轨道的跃迁。

接下来，海森伯假设他能够计算出光谱线的强度（亮度），正是表中项的振幅的平方。比如，量子从状态n跃迁到n-2，他发现，必须把n跃迁到n-1对应项的振幅和从n-1到n-2对应项的振幅两者相乘。概括说就是，他计算量子跃迁产生的光谱线的强度，是把所有可能的中间跃迁的振幅乘起来并相加。

虽然这个乘法法则看起来简单易懂，且令人满意，但是海森伯察觉出里面存在矛盾之处。如果用这一法则来计算两个不同物理量的乘积（比如x和y），很可能出现这样的情况：x乘以y的乘积与y乘以x的乘积不相等。海森伯对这类结果毫无经验 ，并深感不安。

到达黑尔戈兰的时候，海森伯一点都不清楚这一切会带来什么。他已经开始意识到，这个算法可能存在矛盾，尤其关键的是，可能无法满足能量守恒定律。无论提出何种新的原子力学，都必须遵循能量守恒——BKS理论失败的教训依然历历在目。此刻海森伯要做的就是计算出能量，确定一切都符合能量守恒定律。他一直研究到深夜：

算出第一组项符合能量守恒定律时，我兴奋得不得了，竟然开始出现大量的计算错误了。终于，当整个计算的最终结果摆在我面前时，已经是凌晨三点钟了。所有的项都符合能量守恒定律，对于我的计算所指向的这种量子力学，其数学上的一致性和连贯性，我可以不用再怀疑了。起初，我相当震惊。我的感觉就像是正在透过原子现象的表面，窥探一个瑰丽的原子内部，但想到此刻，有一大堆数学结构的性质摆在面前必须要去探索，我就感觉头晕目眩。

海森伯兴奋得无法入睡。他悄悄起身，离开住处，在黑夜里走着，攀上小岛南端突出的一块礁石上，等待着观看日出。

海森伯迫不及待地把计算结果写下来，给玻恩寄去了一份手稿复本。虽然在黑尔戈兰时感觉非常兴奋，但他依然不确定这个靠直觉得来的方法到底有没有意义。玻恩在回忆到海森伯向他介绍自己的发现时说：“他写了一篇惊世骇俗的论文，但不敢寄出去发表。我应该先读一遍，如果我喜欢论文的内容，就寄给《物理学杂志》（Zeitschrift für Physik）。”玻恩对海森伯的论文大加赞赏，但对于他在论文中用的乘法法则却迷惑不解。它看起来挺眼熟。1925年7月10日，玻恩终于想起来了。在学生时代，他曾学过这个乘法法则，这就是矩阵的乘法法则。

矩阵是纵横排列的数字组合，呈正方形或长方形。跟普通数字一样，矩阵也可以进行加、减、乘、除。在做矩阵乘法时，矩阵中的每个元素必须要按照矩阵乘法的具体规则相结合，得出最后的积矩阵中对应的各个元素。与普通数字不同的是，矩阵乘法不遵从乘法的交换律，以x和y为例，x乘以y不等于y乘以x。

玻恩和他的学生帕斯夸尔·约尔旦（Pascual Jordan）一起，把海森伯的计算用矩阵乘法表达出来。他们发现，这个系统中的能量矩阵是对角化的——矩阵中，除了对角线上的元素，其他均为零这些矩阵与时间无关，代表了系统中稳定的量子态（或轨道）。

他们还发现海森伯的担忧不无道理。经典物理量的矩阵对应值，如位置和动量是不可交换的。用字母q表示位置矩阵，p表示动量矩阵，他们发现pq与qp的差（物理学中称为对易关系）等于-ih/2π，其中i是-1的平方根，h为普朗克常数。人们再次把经典力学（位置的值和动量的值由普通数字表示，符合交换律）看成是量子力学的极限近似表达，其中假定普朗克常数h为零。

海森伯听到回复后非常高兴，舒了口气。“很久之后我才从玻恩那里了解到，这只是矩阵乘法的一种常见情况，在这之前我对这个数学分支一无所知。”他找到与之相关的基本教材，很快就搞懂了。不久之后，他就与玻恩和约尔旦合作完成了新量子力学的论文，于1925年11月发表。

海森伯的论文校样稿传到了德高望重的英国物理学家拉尔夫·福勒（Ralph Fowler）手里。福勒在剑桥大学任教，他对这篇论文不感兴趣，便顺手给了自己年轻的学生，23岁的保罗·狄拉克。

狄拉克拿到校样稿后仔细阅读了论文，差不多一周后，他完全搞明白了海森伯的研究。此时他开始全力研究这个问题，仔细研究了海森伯的乘法法则和法国理论物理学家西米恩·泊松于1809年发明的数学运算之间的类似关系。最终，他独自完成了位置―动量的对易关系，证明了能量守恒原理，并推导出了稳定轨道和辐射频率之间的关系（最初玻尔所推论存在的关系）。

狄拉克把描述这些结果的论文手稿寄给了海森伯，让他很沮丧的是，原来玻恩和约尔旦已经预测出了他的这个结论。不过海森伯对他赞不绝口：“……一方面，你的结果，尤其考虑到了微商的一般定义，以及量子条件与泊松括号的关系，比玻恩和约尔旦的研究要深入得多；另一方面，比起我们这边，你的论文也写得非常好，公式也更精确。”

此时此刻，新的量子革命已经势不可当。一个真正的量子力学开始建立了，但也伴随着前所未有的数学上的抽象概念。海森伯的方法，经过玻恩和约尔旦的进一步细化，逐渐为人熟知，被称作矩阵力学（海森伯不喜欢这个名字，因为听起来特别像数学研究）。

但是，新理论并不投合所有人的胃口。要想取代“旧”量子理论，新量子力学必须展现出它的力量：但凡旧理论能做的，它也能做，至少，它必须预测出氢原子的发射光谱。它要面临的挑战将会层出不穷。