2.3　网络DEA模型概述

经典的DEA模型把DMU看作一个“黑箱”，忽略了中间各阶段的输入和产出。无法解释评价单元生产过程的各阶段对其效率的影响，也就无法真正找到非有效的根源，不利于其效率的改进。同时对于某些特定的行业：如保险业，其经营是资金筹集和资金运用两个过程，单阶段DEA模型不适合评价此类行业的效率。为了打开DMU的黑箱，深入其内部进行效率评价，找出DMU低效的阶段，有学者提出了网络DEA模型，两阶段DEA模型是网络DEA模型的特例，在实际运用中十分广泛。下面对已有的一些两阶段DEA模型进行介绍。

2.3.1　两阶段独立DEA模型

两阶段独立DEA模型（称为“模型一”）将经营过程划分为两个阶段，使用第一阶段的投入和中间产出计算第一阶段的效率值，使用第一阶段的中间产出（即第二阶段的投入）和第二阶段产出计算第二阶段的效率值，使用第一阶段的投入和第二阶段的产出计算总体效率值。两阶段独立DEA模型在计算总效率值时未考虑两个阶段之间的联系。

假设有n个DMU，每个DMU的经营过程分为两个阶段，xij是第j个决策单元DMUj的第一阶段的第i项投入，yrj是第j个决策单元DMUj第二阶段的第r项产出，zdj同时是第j个决策单元DMUj第二阶段的第d项投入和第一阶段的第d项产出。vi是第一阶段的第i项投入的权重，ur是第二阶段的第r项产出的权重，是第一阶段的第d项中间产出的权重，是第二阶段的第d项中间投入的权重，j=1，…，n，i=1，…，m，r=1，…，s，d=1，…，t。第k个决策单元DMUk总效率值为θk，第一阶段效率值为，第二阶段效率值为。第k个决策单元DMUk的第一阶段效率值，可通过式（2-38）求得：

（2-38）

>0，vi>0　d=1，…，t　i=1，…，m

第k个决策单元DMUk的第二阶段效率值，通过式（2-39）求得：

（2-39）

第k个决策单元的总效率值θk，通过式（2-40）求得：

（2-40）

vi>0，ur>0　i=1，…，m　r=1，…，s

Kao和Hwang（2008），Yao C和Wade D.Cook（2009）在文献中都提到，两阶段独立DEA模型计算的效率值会出现以下的一些情况：某个决策单元k是总体相对有效的（即=1），而其一个子阶段是相对非有效的（即<1或<1）；或者决策单元k是总体有效（即=1），而两个子阶段是相对非有效的（即<1且<1）。产生这些现象的原因是两阶段独立DEA模型在计算每个阶段的效率值的时候，不考虑不同子阶段之间的关系。他们认为在计算总效率值时应该考虑两个阶段的关系，同时指出DMU整体有效，当且仅当两个阶段都有效。

2.3.2　两阶段关联DEA模型

考虑到两阶段独立DEA模型的缺陷，学者们提出了两阶段关联DEA模型。与两阶段独立DEA模型一样，两阶段关联DEA模型将经营过程划分为两个阶段，但是在计算总体效率值时，使用了第一阶段的投入、中间产出和第二阶段的产出。然后，在给定总效率的情况下，使用第二阶段的投入和中间投入计算第二阶段的效率值。最后根据总效率值、第一阶段效率值和第二阶段效率值之间的关系，计算出第一阶段效率值。

与此同时，有学者提出在某些行业的经营过程中，第一阶段的投入同时被两个阶段所使用（黄薇，2012）。因此，两阶段关联DEA模型又分为序列型和资源型。序列型两阶段DEA模型假定第二阶段的投入仅由第一阶段的输出构成，而资源型DEA模型假定第二阶段的输入还包括第一阶段的输入。

（1）序列型两阶段DEA模型

根据选用目标函数形式的不同，有乘法和加法两种形式。Kao和Hwang（2008）提出了乘法模型（称为“模型二”），即总效率值θk等于第一阶段效率值和第二阶段效率值的乘积。他在文章中指出，对于中间变量来说，它既是第一阶段的产出，又是第二阶段的投入，在两个阶段中的权重应该相等，即==ηd。那么，第k个决策单元DMUk的总效率值θk，通过式（2-41）求得：

　

　 （2-41）

其中，模型二中的变量含义与模型一相同。

第k个决策单元DMUk第二阶段的效率值，通过式（2-42）求得：

　

　 （2-42）

然后根据计算第一阶段效率值。由此可知，第k个决策单元DMUk整体生产过程有效（即=1），当且仅当。同时，有，，即总效率不大于第一阶段效率值和第二阶段效率值。

Yao C和Wade D.Cook（2009）提出了加法模型（称为“模型三”），即总效率值为两个阶段效率值的加权求和，将加法模型得到的DMU总效率称为“和效率”。这里的加权的权重为各阶段的投入占两个阶段总投入的比例。与Kao和Hwang（2008）一样，他假定中间变量在两个阶段中的权重相等。

第k个决策单元DMUk的总效率值θk表示如式（2-43），其中，ω1和ω2分别是第一阶段的投入x和第二阶段的投入z占两个阶段总投入（x+z）的比例，模型三中的其他变量含义与模型一一致。

（2-43）

由ω1和ω2的表达式可知，0<ω1<1，0<ω2<1。

将权重ω1和ω2带入总效率值θk，可得式（2-44）：

（2-44）

则第k个决策单元DMUk的总效率值θk，通过式（2-45）求得：

（2-45）

第二阶段的效率值，通过式（2-46）求得：

（2-46）

最后，根据求出。

由此可知，第k个决策单元DMUk整体生产过程有效（即=1），当且仅当。同时，有，≤≤，即总效率值介于第一阶段效率值和第二阶段效率值之间。

（2）资源型两阶段DEA模型

陈凯华和官建成（2011）研究了资源型两阶段DEA模型，具体形式如下：

第k个决策单元DMUk的总效率值θk，可通过式（2-47）求得：

　　 （2-47）

进行t变换，令：

VV1i=V1iai，VV2i=V2iai

则上式可转化为式（2-48）的线性形式：

　　 （2-48）

第k个决策单元DMUk的第一、第二阶段效率值，可通过式（2-49）求得：

（2-49）

同时，作者在实际应用时，认为各种投入在不同阶段的系数是相等的，即：

由此可知，第k个决策单元DMUk整体生产过程有效（即=1），当且仅当==1。同时，有≤≤，即总效率值介于第一阶段效率值和第二阶段效率值之间。

2.3.3　组合型两阶段DEA模型

从目前的研究来看，序列型和资源型模型使用较为广泛。为了尽可能地避免单一模型评价的片面性和区分度不够高的问题，本书提出了组合型两阶段DEA模型，将单个模型的结果进行加权求和，包括序列型中典型的乘法模型（Kao，Hwang，2008）、加法模型（Cook，Zhu，2008），资源型中的典型模型（陈凯华，2011）。

在组合各模型的效率值的时候，可以根据模型结果的合理性给出每个模型的权重，再进行加权求和，当然这里的权重和为1。本书确定权重的基本思想是：如果某个模型的结果与所有模型结果的均值的一致性越高，那么这个模型就越合理，权重也越大。具体方法如下：

假设有n个DMU，共有q种模型，第i个模型对第k个决策单元DMUk的效率值为，i=1，…，q；k=1，…，n。

第一步，计算DMU的效率均值。第k个决策单元DMUk效率值的q种效率值的均值μk。即式（2-50）：

（2-50）

第二步，计算模型的权重。第i个模型对DMU的效率值组成的向量与每个DMU效率均值组成的向量的距离为式（2-51）：

（2-51）

第i个模型权重􀅼i为：

（2-52）

第三步，计算综合效率值。计算第k个决策单元DMUk的效率值θ'k为：

（2-53）

2.3.4　网络DEA模型的研究进展

Färe和Grosskopf（1996）引入内部链接要素并提出动态DEA模型。Nemoto和Goto（1999，2003）将拟固定投入要素看作两期间的动态要素，即拟固定要素既是本期的投入要素，也是上期的产出要素，提出了动态DEA模型并将其运用在实证中。Geymueller（2009）构建了不考虑价格因素的动态DEA模型，并基于实证结果与静态模型对比得出静态分析会导致误判的结论。Amirteimoori（2006）运用动态DEA模型评估经营业绩从而计算单期绩效和总绩效以得到最优产出。Färe和Grosskopf（2009）对动态DEA模型进行了修正，从而得出前期相对于当期的真实效应。Tone和Tsutsui（2010）将动态要素引入SBM（Slacks-based Measure）模型（Tone，2001），重新定义了动态要素（例如存款、固定资产投入），并将其分解为优动态、劣动态、可分动态和不可分动态四种情况。虽然动态DEA模型已经在很大程度上得到了重视和发展，然而，目前这些研究仅限于DEA层面的单期数据，将动态要素引入到多期指数分析中的研究尚且不多。雷明等（2012）的研究是最早涉及该问题的文献之一，该研究在分析能源效率时，将固定资产投入作为动态要素引入Malmquist指数中，提出了基于负产出的动态Malmquist模型。

传统的绩效评估将投入产出过程看作一个不分割的“黑箱”，然而投入产出理论指出各个行业必须协调发展，任何一个行业都受制于其他行业，同时也对其他行业产生影响。Färe和Grosskopf（1996）首次提出网络DEA的概念，将复杂的业务流程进行分解，考察每一阶段对生产系统整体效率的影响，并在随后提出了基于网络生产系统的DEA模型的基本架构。自此，研究网络DEA的文献有很多（Luo，2003；Lewis和Sexton，2004；Yao等，2009；Chen等，2013；Fukuyama和Mirdehghan，2012）。Seiford和Zhu（1999）研究了两阶段独立DEA模型（即前后两阶段的权重完全没有关系），用以评价银行两个子过程以及整个业务过程的绩效。Chen和Lin（2006）最早研究了资源约束型两阶段生产系统的DEA模型。Kao和Hwang（2008）建立了两阶段关联DEA效率评价的乘法模型，并对我国台湾财险公司进行效率分解和实证研究。Tone和Tsutsui（2009）网络要素引入到SBM构建网络SBM模型。自此大量文献都基于无径向无导向的SBM模型进行两阶段分析（Akther等，2013）。Vaz 等（2010），Fukuyama和Weber（2010）将负产出要素引入到两阶段SBM模型中，具体是将负产出当要素假设为投入要素进行计算。Avkiran和McCrystal（2012）将灵敏度分析方法引入网络DEA。研究系统大体分为串行网络系统和并行网络系统两个，具体如图2-8和图2-9所示。

基于投入产出表的DEA研究文献并不多见，彭煜（1998）指出投入产出表中各经济部门对应的DMU是DEA 有效的。李亚明和佟仁城（2007）从投入产出表的使用和投入角度计算各个部门的相对效率，以此分析了经济系统各部门之间的相对依赖程度。Prieto和Zofío（2007）将投入产出表应用于网络DEA模型中，利用表中的最初投入、中间投入/使用得到最终需求来评价各行业部门，并称之为矩阵DEA。Luptacik等（2010）也将投入产出核算引入到网络DEA中，应以评估经济合作与发展组织的绩效。

将动态要素和网络要素同时引入DEA研究是当今热点之一。Chen（2009）将动态DEA和网络DEA合并评估绩效。Bogetoft等（2009）对动态网络DEA相关研究做了文献综述。Tone和Tsutsui（2014）将动态要素和网络要素引入到SBM构建动态网络SBM模型。Liu等（2011）将时间参数引入构建两阶段的动态网络DEA模型。Fukuyama和Weber（2013）将动态网络DEA模型应用到日本银行业实证中。而上述研究都是考虑单期绩效的动态网络效应，而且多为理论模型的构建。Lei等（2013）将动态网络效应引入到Malmquist中提出该指数新的分解方法，并将动态网络模型运用到实证分析中。