2009年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解

一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。)

1当x→0时,f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)为等价无穷小,则(  )。

A.a=1,b=-1/6

B.a=1,b=1/6

C.a=-1,b=-1/6

D.a=-1,b=1/6

【答案】A

【考点】等价无穷小的定义

【解析】根据泰勒展开得

f(x)=x-sinax=x-[ax-(ax)3/3!+o(x3)]=(1-a)x+(ax)3/3!-o(x3

又g(x)=x2ln(1-bx)~-bx3

由于f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)为等价无穷小,故

即a=1,b=-1/6。

2如图1所示,正方形{(x,y)||x|≤1,|y|≤1}被其对角线划分为四个区域Dk(k=1,2,3,4),

(  )。

图1

A.I1

B.I2

C.I3

D.I4

【答案】A

【考点】二重积分的性质

【解析】被积函数ycosx关于y为奇函数,关于x为偶函数,而D2,D4均关于x轴对称,所以

D1,D3均关于y轴对称,所以

3设函数y=f(x)在区间[-1,3]上的图形如图2所示。

图2

的图形为(  )。

【答案】D

【考点】考查函数的数形结合法

【解析】在区间(-1,0)上,f(x)>0,则F(x)在此区间上单调递增,排除A项。F(0)=0,排除C项。F(x)为连续函数,排除B项。

4设有两个数列{an},{bn},若

则(  )。

A.当收敛时,收敛

B.当发散时,发散

C.当收敛时,收敛

D.当发散时,发散

【答案】C

【考查】级数收敛的判别

【解析】

收敛,发散,排除A项;取an=bn=1/n,则发散,收敛,收敛,排除B、D两项。

5设α1,α2,α3是三维向量空间R3的一组基,则由基α1,α2/2,α3/3到α1+α2,α2+α3,α3+α1的过渡矩阵为(  )。

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【考点】考查过渡矩阵的求法

【解析】设α1,α2/2,α3/3到α1,α2,α3的过渡矩阵为P1,α1,α2,α3到α1+α2,α2+α3,α3+α1的过渡矩阵为P2,则

(α1+α2,α2+α3,α3+α1)=(α1,α2,α3)P2=(α1,α2/2,α3/3)P1P2

又有

故由基α1,α2/2,α3/3到α1+α2,α2+α3,α3+α1的过渡矩阵为

6设A,B均为二阶矩阵,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,若|A|=2,|B|=3,则分块矩阵的伴随矩阵为(  )。

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【考点】伴随矩阵的定义,分块矩阵的性质

【解析】对任一n级矩阵A,有AA*=|A|E代入选项,例如

知B项正确。

7设随机变量X的分布函数为F(x)=0.3Φ(x)+0.7Φ[(x-1)/2],其中Φ(x)为标准正态分布的分布函数,则EX=(  )。

A.0

B.0.3

C.0.7

D.1

【答案】C

【考点】分布函数与密度函数的关系,期望的定义和性质及标准正态分布的定义

【解析】由题设可知X的密度函数为f(x)=F′(x)=0.3φ(x)+0.35φ[(x-1)/2],φ(x)为标准正态分布的密度函数。于是

8设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布N(0,1),Y的概率分布为P{Y=0}=P{Y=1)=1/2,记FZ(x)为随机变量Z=XY的分布函数,则函数FZ(z)的间断点的个数为(  )。

A.0

B.1

C.2

D.3

【答案】B

【考点】分布函数的求法,随机变量相互独立的性质,函数间断点的定义和求法

【解析】随机变量Z=XY的分布函数为

FZ(z)=P{Z≤z}=P{XY≤z}=P{XY≤z|Y=0}P{Y=0}+P{XY≤z|Y=1}P{Y=1}=P{XY≤z|Y=0}/2+P{XY≤z|Y=1}/2

由于X与Y相互独立,故FZ(z)=P{0≤z}/2+P{X≤z}/2。当z<0时,FZ(z)=P{X≤z}/2=ΦX(z)/2;当z≥0时,FZ(z)=1/2+P{X≤z}/2=1/2+ΦX(z)/2。于是

故z=0为FZ(z)的间断点,选B。

二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在题中横线上。)

9设函数f(u,v)具有二阶连续偏导数,z=f(x,xy),则∂2z/∂x∂y=______。

【答案】xf12″+xyf22″+f2

【考点】复合函数的偏导公式

【解析】∂z/∂x=f1′+yf2′=f1′·1+yf2

2z/∂x∂y=∂(f1′+yf2′)/∂y=f11″·0+f12″·x+f2′+yf21″·0+yf22″·x=xf12″+xyf22″+f2

10若二阶常系数线性齐次微分方程y″+ay′+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex,则非齐次方程y″+ay′+by=x满足条件y(0)=2,y′(0)=0的解为y=______。

【答案】y=x(1-ex)+2

【考点】齐次线性微分方程的通解与其特征值的关系,非齐次线性微分方程的特解的求法

【解析】由题设可知,λ=1为齐次微分方程y″+ay′+by=0的特征方程式λ2+aλ+by=0的二重根,则a=-2,b=1,于是非齐次方程为y″-2y′+y=x。设其特解为y*=Ax+B,代入得A=1,B=2。故非齐次方程的通解为y=(C1+C2x)ex+x+2,C1、C2是任意常数。

由y(0)=2可得C1=0。y′=(C2xex+x+2)′=C2(1+x)ex+1,由y′(0)=0可得C2=-1。所以满足条件的解为y=x(1-ex)+2。

11已知曲线L:

______。

【答案】13/6

【考点】第一型曲线积分的求解公式,定积分的求法

【解析】

12设Ω={(x,y,z)|x2+y2+z2≤1},则______。

【答案】4π/15

【考点】利用球坐标系求三重积分

【解析】

13若三维列向量α,β满足αTβ=2,其中αT为α的转置,则矩阵βαT的非零特征值为______。

【答案】2

【考点】矩阵乘法的性质,特征值的定义

【解析】由题设可知,βαT·βαT=2βαT,设βαT的非零特征值为λ,则λ2=2λ,得λ=2,λ=0(舍去)。

14设X1,X2,…,Xm为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本,X(_)和S2分别为样本均值和样本方差。若X(_)+kS2为np2的无偏估计量,则k=______。

【答案】-1

【考点】考查样本均值,样本方差,无偏估计的定义及期望的性质

【解析】由题设可知,EX(_)=np,ES2=np(1-p)。若X(_)+kS2为np2的无偏估计量,则E(X(_)+kS2)=np2,即EX(_)+kES2=np2。于是np+knp(1-p)=np2,解得k=-1。

三、解答题(15~23小题,共94分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

15(本题满分9分)

求二元函数f(x,y)=x2(2+y2)+ylny的极值。

【考点】函数极值点的定义和求法

解:

解得唯一驻点为(0,1/e)。

由于A=∂2f/∂x2=2(2+y2),B=∂2f/∂x∂y=4xy,C=∂2f/∂y2=2x2+1/y。于是

且A>0,故(0,1/e)为函数f(x,y)的极小值点,且极小值为f(0,1/e)=-1/e。

16(本题满分9分)

设an为曲线y=xn与y=xn1(n=1,2,…)所围成区域的面积,记

求S1与S2的值。

【考点】利用积分求面积,级数求和

解:曲线y=xn与y=xn1的交点为(0,0)和(1,1),所围区域的面积

于是

考查幂级数,知其收敛域为(-1,1],和函数为-ln(1+x)。

因此

令x=1,可得S2=1-ln2。

17(本题满分11分)

椭球面S1由椭圆x2/4+y2/3=1绕x轴旋转而成,圆锥面S2由过点(4,0)且与椭圆x2/4+y2/3=1相切的直线绕x轴旋转而成。

)求S1及S2的方程;

)求S1与S2之间的立体体积。

【考点】)考查旋转曲面方程及曲线的切线;()考查旋转体的体积

解:)利用旋转曲面的公式得椭球面S1的方程为x2/4+(y2+z2)/3=1。

设切点为(x0,y0),则x2/4+y2/3=1在(x0,y0)处的切线方程为[2x0(x-x0)]/4+[2y0(y-y0)]/3=0,即x0x/4+y0y/3=1。

解得x0=1,y0=±3/2。

故过点(4,0)且与椭圆x2/4+y2/3=1相切的直线L的方程为x/4±y/2=1,即y=±(x-4)/2。

故圆锥面S2的方程为y2+z2=(x-4)2/4,即(x-4)2-4y2-4z2=0。

)S1与S2之间的立体体积等于一个底面半径为3/2、高为3的锥体体积9π/4与部分椭圆球体体积V之差,其中

故所求体积为9π/4-5π/4=π。

【评注】本题综合考查了平面图形绕坐标轴旋转后所得的旋转曲面方程、直线绕坐标轴旋转的旋转曲面方程、旋转体的体积、曲线的切线等知识点。

18(本题满分11分)

)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a);

)证明:若函数f(x)在x=0处连续,在(0,δ)(δ>0)内可导,且

则f′(0)存在,且f′(0)=A。

【考点】)考查拉格朗日中值定理,利用辅助函数和罗尔定理证明;()函数右导数的定义及连续函数的性质

证明:()取F(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)](x-a)}/(b-a)。

由题意知,F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=f(a)-{[f(b)-f(a)](a-a)}/(b-a)=f(a),F(b)=f(b)-{[f(b)-f(a)](b-a)}/(b-a)=f(a)。

根据罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使得F′(ξ)=f′(ξ)-[f(b)-f(a)]/(b-a)=0,即f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)。

)对于任意的t∈(0,δ),f(x)在[0,t]上连续,在(0,t)内可导,由右导数定义及拉格朗日中值定理有

其中ξ∈(0,t)。

由于

且当t→0时,ξ→0,故

即f′(0)存在,且f′(0)=A。

19(本题满分10分)

计算曲面积分

其中∑是曲面2x2+2y2+z2=4的外侧。

【考点】高斯公式的条件及利用高斯公式求曲面积分

解:本题中曲面∑含奇点(0,0,0),不能直接利用高斯定理,根据被积函数的形式做一小球面,然后再计算。令

但是因为(0,0,0)包含在曲面2x2+2y2+z2=4内,所以被积函数在所围区域偏导数不连续,不可以利用高斯定理。

作曲面∑1:x2+y2+z2=ε2(ε为一很小的正数),取Ω外侧,Ω为∑与∑1之间的部分。

于是

再根据高斯公式有

故I=4π。

【评注】高斯定理要求P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在闭曲面∑所围成的空间域Ω中具有一阶连续的偏导数,否则不能利用该定理。

20(本题满分11分)

)求满足Aξ2=ξ1,A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2,ξ3

)对()中的任意向量ξ2,ξ3,证明ξ1,ξ2,ξ3线性无关。

【考点】)考查矩阵的行初等变换,方程组解的判定方法;()向量组线性无关的性质和判别方法

【分析】)解非齐次线性方程组,利用矩阵初等行变换将A(_)→阶梯形,然后利用Am×nx=b有解⇔r(A)=r(A(_))(其中A(_)=(A|b))进行判定并求解。()可利用|ξ1,ξ2,ξ3|≠0或向量组线性无关的定义证明。

解:

于是r(A)=r(A(_))=2,取x2为自由变量,可得x3=-2x2+1,x1=-x2

于是r(B)=r(B(_))=1,取x2,x3为自由变量,则x1=-x2-1/2,故

)证法1:由()知

故ξ1,ξ2,ξ3线性无关。

证法2:

由题设可得Aξ1=0。设存在一组数k1,k2,k3,使得k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3=0。在等式两端左乘A,得k11+k22+k33=0,则k22+k33=0,即k2ξ1+k33=0。在等式两端再同乘A,得k21+k3A2ξ3=0,即k3ξ1=0,于是k3=0,代入式得k2ξ1=0,故k2=0。

将k2=k3=0代入式可得k1=0,从而ξ1,ξ2,ξ3线性无关。

21.(本题满分11分)

设二次型f(x1,x2,x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3

)求二次型f的矩阵的所有特征值;

)若二次型f的规范型为y12+y22,求a的值。

【考点】)考查二次型矩阵、特征值与特征向量的定义和求法;()二次型的规范型与其特征值的关系

【分析】)先写出二次型f的矩阵,然后利用|λE-A|=0求解。()由f的规范型为y12+y22,可知正惯性指数为2,即可得A的特征值中有两个大于零,一个为零,然后可得a的值。

解:)由题设可知二次型f的矩阵为

由于

于是f的矩阵A所有的特征值为λ1=a,λ2=a-2,λ3=a+1。

)若二次型f的规范型为y12+y22,则它的正惯性指数为2,于是f的矩阵A的特征值中有两个大于零,一个为零。显然λ3>λ1>λ2,所以λ2=a-2=0,即a=2。

【评注】二次型的规范型若为y12+y22+…+yp2-yp2-…-yr2(p≤r≤n)(唯一)。则p(A的大于0的特征值的个数)称为二次型的正惯性指数,r称为二次型的秩,r-p(A的小于0的特征值的个数)称为二次型的负惯性指数。

22.(本题满分11分)

袋中有1个红球,2个黑球与3个白球,现有放回地从袋中取两次,每次取一个球。以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。

)求P{X=1|Z=0};

)求二维随机变量(X,Y)的概率分布。

【考点】本题考查古典概型,条件概率的公式,联合分布的求法

【分析】)求条件概率,直接利用P{X=1|Z=0}=P{X=1,Z=0}/P{Z=0}计算;

)先确定X,Y的可能取值,然后逐个计算X,Y取每一对值的概率。

解:由于本题是有放回地取球,则基本事件总数为62

)P{X=1|Z=0}=P{X=1,Z=0}/P{Z=0}=2C21/C31C31=4/9。

)X,Y的可能取值均为0,1,2,且

P{X=0,Y=0}=(3×3)/36=1/4

P{X=0,Y=1}=(2×2×3)/36=1/3

P{X=0,Y=2}=(2×2)/36=1/9

P{X=1,Y=0}=(2×1×3)/36=1/6

P{X=1,Y=1}=(2×1×2)/36=1/9

P{X=1,Y=2}=0

P{X=2,Y=0}=(1×1)/36=1/36

P{X=2,Y=1}=0

P{X=2,Y=2}=0

所以二维随机变量f(x,y)的概率分布如表1。

表1

【评注】本题为基础题型,古典概型概率计算公式如下:P(A)=A中包含的基本事件数/基本事件总数。

23.(本题满分11分)

设总体X的概率密度为

其中参数λ(λ>0)未知,X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本。

)求参数λ的矩估计量;

)求参数λ的最大似然估计量。

【考点】本题考查矩估计及最大似然估计的定义和求法

解:)由

令EX=X(_),即X(_)=2/λ,得参数λ的矩估计量为λ(∧)1=2/X(_)。

)设x1,x2,…,xn(xi>0,i=1,2,…,n)为样本观测值,则似然函数为

于是

故参数λ的最大似然估计量为λ(∧)2=2/X(_)。

【评注】本题为基础题型,要熟练掌握总体未知参数的两种点估计法:矩估计法和最大似然估计法。