第一部分　历年真题及详解

2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解

一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）

1设函数

则f′（x）的零点个数为（　　）。

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】B

【考点】函数求导公式

【解析】由题意得f′（x）＝2xln（2＋x²），且ln（2＋x²）≠0，所以x＝0是f′（x）的唯一零点，故应选B项。

2函数f（x，y）＝arctan（x/y）在点（0，1）处的梯度等于（　　）。

A．i(→)

B．－i(→)

C．j(→)

D．－j(→)

【答案】A

【考点】梯度的定义和求法

【解析】由梯度定义得

3在下列微分方程中，y＝C₁e^x＋C₂cos2x＋C₃sin2x（C₁，C₂，C₃是任意常数）为通解的是（　　）。

A．y‴＋y″－4y′－4y＝0

B．y‴＋y″＋4y′＋4y＝0

C．y‴－y″－4y′＋4y＝0

D．y‴－y″＋4y′－4y＝0

【答案】D

【考点】齐次线性微分方程的特征多项式、特征值、通解

【解析】因为y＝C₁e^x＋C₂cos2x＋C₃sin2x（C₁，C₂，C₃是任意常数）为通解，所以微分方程的特征值为1，±2i，于是特征多项式为（λ－1）（λ－2i）（λ＋2i）＝0，即λ³－λ²＋4λ－4＝0。故微分方程为y‴－y″＋4y′－4y＝0。

4设函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调有界，{x_n}为数列，下列命题正确的是（　　）。

A．若{x_n}收敛，则{f（x_n）}收敛

B．若{x_n}单调，则{f（x_n）}收敛

C．若{f（x_n）}收敛，则{x_n}收敛

D．若{f（x_n）}单调，则{x_n}收敛

【答案】B

【考点】极限收敛的单调有界定理

【解析】对于B项，若{x_n}单调，而由题设函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调有界知，{f（x_n）}单调有界，从而收敛。故选择B项。

5设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A³＝O，则（　　）。

A．E－A不可逆，E＋A不可逆

B．E－A不可逆，E＋A可逆

C．E－A可逆，E＋A可逆

D．E－A可逆，E＋A不可逆

【答案】C

【考点】矩阵可逆的定义及矩阵的运算法则

【解析】由A³＝O得，A³＋E＝E⇒（A＋E）（A²－A＋E）＝E，所以A＋E可逆。由A³＝O得，A³－E＝－E⇒（E－A）（A²＋4＋E）＝E，所以E－A可逆。因此，选择C项。

6设A为三阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图1所示，则A的正特征值的个数为（　　）。

图1

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】B

【考点】考查双叶双曲面，特征值与标准型的关系

【解析】图1为双叶双曲面，其方程的标准型为

在题设条件下，矩阵A的正特征值的个数就是标准方程中正项的项数，故A的正特征值的个数为1。

7设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F（x），则Z＝max{X，Y}的分布函数为（　　）。

A．F²（x）

B．F（x）F（y）

C．1－[1－F（x）]²

D．[1－F（x）][1－F（y）]

【答案】A

【考点】分布函数的定义与求法，相互独立的随机变量的性质

【解析】由X，Y独立同分布知，Y的分布函数也为F（x）。记Z的分布函数为F_Z（x），则

F_Z（x）＝P{max{X，Y}≤x}＝P{X≤x，Y≤x}＝P{X≤x}P{Y≤x}（X与Y独立）＝F²（x）

8设随机变量X～N（0，1），Y～N（1，4），且相关系数ρ_XY＝1，则（　　）。

A．P{Y＝－2X－1}＝1

B．P{Y＝2X－1}＝1

C．P{Y＝－2X＋1}＝1

D．P{Y＝2X＋1}＝1

【答案】D

【考点】考查相关系数的相关概念

【解析】方法一：已知1＝ρ_XY，则X，Y正相关，排除A、C两项。由题意知EX＝0，EY＝1，又E（ax＋b）＝aEx＋b＝1，1＝2×0＋b＝1，可得b＝1，因此排除B项。因此，选择D项。

方法二：由X～N（0，1），Y～N（1，4）知EX＝0，DX＝1，EY＝1，DY＝4。由于ρ_XY＝1，所以存在常数a，b，使得P{Y＝ax＋b}＝1，从而EY＝aEX＋b，得b＝1。而

得a＝2，因此，选择D项。

二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在题中横线上。）

9微分方程xy′＋y＝0满足条件y（1）＝1的解是y＝______。

【答案】1/x

【考点】用分离变量法求解微分方程

【解析】xy′＋y＝0⇒y′/y＝－1/x，两边积分得y＝C/x，C为任意常数。将y（1）＝1代入得C＝1，故y＝1/x。

10曲线sin（xy）＋ln（y－x）＝x在点（0，1）处的切线方程是______。

【答案】y＝x＋1

【考点】切线方程的求法及隐函数的求导

【解析】在sin（xy）＋ln（y－x）＝x两边对x求导，将y看成x的函数，得cos（xy）（y＋xy′）＋（y′－1）/（y－x）＝1。则y′（0）＝1，所以在点（0，1）处切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1。

11已知幂级数在x＝0处收敛，在x＝－4处发散，则幂级数的收敛域为______。

【答案】（1，5]

【考点】考查幂级数的收敛域及级数的收敛性

【解析】因为幂级数在x＝0处收敛，在x＝－4处发散，则级数收敛，发散，从而幂级数的收敛域为（－2，2]。故幂级数的收敛域为（－2＋3，2＋3]，即（1，5]。

12设曲面∑是的上侧，则______。

【答案】4π

【考点】考查高斯公式的条件和利用高斯公式求曲面积分

【解析】添加曲面∑₁：z＝0，x²＋y²≤4，取下侧，记D＝{（x，y）|x²＋y²≤4}，则可应用高斯公式

13设A为二阶矩阵，α₁，α₂为线性无关的二维列向量，Aα₁＝0，Aα₂＝2α₁＋α₂，则A的非零特征值为______。

【答案】1

【考点】相似矩阵的性质：相似矩阵具有相同的特征值

【解析】已知Aα₁＝0，Aα₂＝2α₁＋α₂，则

令P＝（α₁，α₂），因为α₁，α₂线性无关，所以P可逆，故

即A，B相似。故A与B有相同的特征值，易求出B的特征值为0，1，所以A的非零特征值为1。

14设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P（X＝EX²）＝______。

【答案】1/（2e）

【考点】泊松分布的定义，期望的性质

【解析】因为随机变量X服从参数为1的泊松分布，则X的概率分布为P（X＝i）＝e^－1/i!，则EX²＝DX＋（EX）²＝1＋1＝2，故P{X＝EX²}＝P{X＝2}＝e^－1/2＝1/（2e）。

三、解答题（15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

15（本题满分9分）

求极限

【考点】考查洛必达法则，等价替换

解：

16（本题满分9分）

计算曲线积分，其中L是曲线y＝sinx上从点（0，0）到点（π，0）的一段。

【考点】曲线积分的求法公式及定积分的求法

解：

17（本题满分11分）

已知曲线

求曲线C上距离xOy面最远的点和最近的点。

【考点】考查点到直线的距离公式，函数的极值

解：设曲线上的任意一点为（x，y，z），则（x，y，z）到xOy面的距离为|z|，等价于求函数H＝z²在条件x²＋y²－2z²＝0与x＋y＋3z＝5下的最大值点和最小值点。

设F（x，y，z，λ，μ）＝z²＋λ（x²＋y²－2z²）＋μ（x＋y＋3z－5）。

由

解得

或

根据几何意义得，曲线C上存在距离xOy面最远的点和最近的点，因为点（－5，－5，5）和（1，1，1）到xOy面的距离分别为5和1。所以，（－5，－5，5）为最远点，（1，1，1）为最近点。

18（本题满分10分）

设函数f（x）连续，

（Ⅰ）利用定义证明函数可导，且F′（x）＝f（x）；

（Ⅱ）当f（x）是以2为周期的周期函数时，证明函数也是以2为周期的周期函数。

【考点】可导的定义、周期函数的定义

解：（Ⅰ）证明：对任意x，由于函数f连续，所以

其中ξ介于x与x＋Δx之间。由

可知函数F（x）在x处可导，且F′（x）＝f（x）。

（Ⅱ）证明：由于f（x）是以2为周期的周期函数，所以对于任意的x，都有f（x＋2）＝f（x），于是

即G（x）也是以2为周期的周期函数。

19（本题满分11分）

将函数f（x）＝1－x²（0≤x≤π），展开成余弦级数，并求级数的和。

【考点】函数的傅立叶展开，级数的和

解：由于f（x）为偶函数，于是b_n＝0（n＝1，2，…）。计算得

当n＝1，2，…时，

所以f（x）的余弦展开为

令x＝0，则

又f（0）＝1，可求得

20（本题满分10分）

设α，β是3维列向量，矩阵A＝αα^T＋ββ^T，其中α^T，β^T分别为α，β的转置。证明：

（Ⅰ）r（A）≤2；

（Ⅱ）若α，β线性相关，则r（A）＜2。

【考点】矩阵秩的性质：r（A＋B）≤r（A）＋r（B）；r（AB）≤min（r（A）＋r（B）

证明：（Ⅰ）设B，C是任意m×n矩阵，则r（B＋C）≤r（B）＋r（C）。

利用这个结论，有r（A）＝r（αα^T＋ββ^T）≤r（αα^T）＋r（ββ^T）。

又由于α，β均为3维列向量，即它们都是3×1矩阵，所以

r（αα^T）≤r（α）≤1

r（ββ^T）≤r（β）≤1

因而r（A）≤r（α）＋r（β）≤2。

（Ⅱ）当α，β线性相关，不妨设β＝kα，于是A＝αα^T＋ββ^T＝（1＋k²）αα^T。故r（A）＝r[（1＋k²）αα^T]＝r（αα^T）≤r（α）≤1＜2。

21（本题满分12分）

设n元线性方程组Ax＝b，其中

x＝（x₁，x₂，…，x_n）^T，b＝（1，0，…，0）^T。

（Ⅰ）证明行列式|A|＝（n＋1）aⁿ；

（Ⅱ）当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x₁；

（Ⅲ）当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。

【考点】用数学归纳法求行列式；线性方程组有唯一解的条件；线性方程组有无穷解的条件及通解的求法

解：（Ⅰ）

现用数学归纳法证明。

当n＝1时，D₁＝2a，结论成立。

当n＝2时，

显然结论成立。

假设当n≤k时，结论成立，即D_k＝（k＋1）a^k；

则当n＝k＋1时，有D_k＋1＝2aD_k－a²D_k－1＝2a（k＋1）a^k－a²ka^k－1＝（k＋2）a^k＋1，即当n＝k＋1时，结论成立。

综上可得，|A|＝（n＋1）aⁿ。

（Ⅱ）|A|＝（n＋1）aⁿ≠0，即当a≠0时，方程组有唯一解。设将A的第一列用b替换后所得矩阵为A₁，根据克莱姆法则可得

（Ⅲ）当a＝0时，方程组有无穷多解。此时

则A＝b的同解方程组为

易求得Ax＝b的基础解系为（1，0，…，0）^T。

又方程组Ax＝b的一个特解为（0，1，…，0）^T，所以方程组Ax＝b的通解为x＝k（1，0，…，0）^T＋（0，1，…，0）^T，其中k为任意常数。

22（本题满分11分）

设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X＝i}＝1/3（i＝－1，0，1），Y的概率密度为

记Z＝X＋Y。

（Ⅰ）求P{Z≤1/2|X＝0}；

（Ⅱ）求Z的概率密度f_Z（z）。

【考点】条件概率计算公式，相互独立随机变量的性质，分布函数与密度函数的定义和求法

解：（Ⅰ）由已知及条件概率计算公式得

（Ⅱ）设z的分布函数为F_Z（z），则其值为非零时z的取值区间为[－1，2]。

当z≤－1时，F_Z（z）＝0；

当z≥2时，F_Z（z）＝1；

当－1＜z＜2时，F_Z（z）＝P{Z≤z}＝P{X＋Y≤z}＝P{X＋Y≤z|X＝－1}P{X＝－1}＋P{X＋Y≤z|X＝0}P{X＝0}＋P{X＋Y≤z|X＝1}P{X＝1}＝[P{Y≤z＋1}＋P{Y≤z}＋P{Y≤z－1}]/3＝[F_Y（z＋1）＋F_Y（z）＋F_Y（z－1）]/3。

所以z的分布密度函数为

23（本题满分11分）

设X₁，X₂，…，X_n是总体N（μ，σ²）的简单随机样本，记

T＝X(＿)²－S²/n

（Ⅰ）证明T是μ²的无偏估计量；

（Ⅱ）当μ＝0，σ＝1时，求DT。

【考点】（Ⅰ）无偏估计的定义和求法；（Ⅱ）方差的定义与性质

证明：（Ⅰ）因为

故T是μ²的无偏估计量。

（Ⅱ）当μ＝0，σ＝1时，X～N（0，1），X(＿)～N（0，1/n），所以nX(＿)²～χ²（1），（n－1）S²～χ²（n－1），于是D（nX(＿)²）＝2，D[（n－1）S²]＝2（n－1）。

因此