六、计算题

1假定某消费者的效用函数为U＝x^0.2y^0.8，P_x＝1，P_y＝4。如果给定效用水平为100，那么，该消费者应该如何选择X、Y两商品的需求数量x、y，才能使自己实现这一效用水平的支出最小化？相应的最小支出又是多少？

解：根据消费者的均衡条件MRS_xy＝P_x/P_y，其中MRS_xy＝MU_x/MU_y，可得：（0.2x^－0.8y^0.8）/（0.8x^0.2y^－0.2）＝1/4，整理得：x＝y。

将x＝y代入效用约束等式x^0.2y^0.8＝100，得：x＝100，y＝100。

将x＝100，y＝100代入目标支出等式M＝x＋4y，得最小支出为：M＝1×100＋4×100＝500。

2某消费者消费两种商品X和Y，假定无差异曲线在各点斜率的绝对值均为y/x，x、y为两种商品的数量。

（1）说明每一种商品的需求数量均不取决于其他另一种商品的价格。

（2）每一种商品的需求价格弹性均等于1。

（3）每一种商品的需求收入弹性均等于1。

（4）每一种商品的恩格尔曲线的形状如何？

解：（1）根据题意可得，该消费者在效用最大化均衡点上有：MRS_xy＝y/x＝P_x/P_y。

整理得：y＝（P_x/P_y）x。

代入预算约束等式P_xx＋P_yy＝M，有：P_xx＋P_y（P_x/P_y）x＝M。

解得：x＝M/（2P_x）。

代入预算约束等式，得y＝M/（2P_y）。

由此可见，X商品的需求数量与Y商品的价格P_y无关，Y商品的需求数量与X商品的价格P_x无关。

（2）X商品和Y商品的需求的价格弹性分别为：

即每一种商品的需求价格弹性均等于1。

（3）X商品和Y商品的需求收入弹性分别为：

即X和Y商品的需求收入弹性均等于1。

（4）由X商品的需求函数x＝M/（2P_x），可得dx/dM＝1/（2P_x），即X商品的恩格尔曲线的斜率为1/（2P_x）；由Y商品的需求函数y＝M/（2P_y），可得dy/dM＝1/（2P_y），即Y商品的恩格尔曲线的斜率为1/（2P_y）。两商品的恩格尔曲线的斜率均为正的常数。而且，当收入为零时，两商品的需求数量均为零。由此可见，X和Y商品的恩格尔曲线均为一条从原点出发且斜率为正的直线，即每一种商品均有一条从原点出发的斜率为正的线性恩格尔曲线。

3某消费者的效用函数为U＝x²y，收入为20000元，x、y分别表示对商品X和Y的消费量。他将全部收入购买X和Y两种商品，这两种商品的价格分别为P_X＝100，P_Y＝60。假定政府征收的个人所得税税率为10%，商品X的销售税税率为20%，商品Y的销售税税率为0。求该消费者实现效用最大化时两种商品的购买量。

解：根据题意，该消费者的可支配收入为20000×（1－10%）＝18000。

购买两商品实际支付的价格为：P_X＝100×（1＋20%）＝120；P_Y＝60。

于是，消费者的预算约束等式为：120x＋60y＝18000。

整理得：y＝300－2x。

将上式预算约束条件代入效用函数，得：U＝x²y＝x²（300－2x）＝300x²－2x³。

效用最大化的一阶条件为：dU/dx＝600x－6x²＝0。

由此求得：x＝100或者x＝0。

效用最大化的二阶条件为：d²U/dx²＝600－12x。

当x＝0时：d²U/dx²＝600＞0。

显然x＝0不符合题意，故舍去；当x＝100时，有：d²U/dx²＝600－12x＜0。

所以，x＝100是效用最大化的解。将x＝100代入预算约束等式得y＝100，则该消费者实现效用最大化时商品X和Y的购买量都为100。

4已知某消费者关于X、Y两商品的效用函数为U＝x^0.5y^0.5，其中x、y分别为对商品X、Y的消费量。

（1）求该效用函数的边际替代率表达式。

（2）在总效用水平为6的无差异曲线上，若x＝3，求相应的边际替代率是多少？

（3）在总效用水平为6的无差异曲线上，若x＝4，求相应的边际替代率是多少？

（4）该无差异曲线的边际替代率是递减的吗？

解：（1）根据题意，该效用函数的边际替代率的表达式为：

MRS_xy＝MU_x/MU_y＝（0.5x^－0.5y^0.5）/（0.5x^0.5y^－0.5）＝y/x

（2）当U＝x^0.5y^0.5＝6，x＝3时，则有y＝12。于是，该商品组合点（3，12）的边际替代率为：

MRS_xy＝y/x＝12/3＝4

（3）当U＝x^0.5y^0.5＝6，x＝4时，则有y＝9。于是，该商品组合点（4，9）的边际替代率为：

MRS_xy＝y/x＝9/4＝2.25

（4）在无差异曲线上，当商品组合由点（3，12）移动到点（4，9）时，边际替代率由4下降为2.25。显然，该效用函数符合边际替代率递减规律。

5设某人消费商品X和商品Y的无差异曲线为y＝80－3x^1/3，试问：

（1）组合（27，71）点的斜率是多少？

（2）组合（64，68）点的斜率是多少？

（3）MRS_xy是否有递减的性质？

解：根据无差异曲线方程y＝80－3x^1/3，可知其斜率为dy/dx＝－x^－2/3。

（1）当x＝27时，由于斜率dy/dx＝－x^－2/3＝－1/9，故无差异曲线y＝80－3x^1/3在（27，71）点的斜率是－1/9，边际替代率为1/9。

（2）当x＝64时，由于斜率dy/dx＝－x^－2/3＝－1/16，故无差异曲线y＝80－3x^1/3在（64，68）点的斜率是－1/16，边际替代率为1/16。

（3）点（27，71）的边际替代率为1/9，而点（64，68）的边际替代率为1/16，因而该无差异曲线存在边际替代率递减的可能性。且由于边际替代率为MRS_xy＝－dy/dx＝x^－2/3，而边际替代率的导数为（x^－2/3）′＝－2x^－5/3/3＜0，所以该无差异曲线存在边际替代率MRS_xy递减规律。

6某个学生即将参加研究生考试，现只有6天时间复习，每门课的复习时间与对应的预期成绩如表3-1：

表3-1　每门课的复习时间与对应的预期成绩

问：为使三门课的预期成绩总分最高，应如何安排复习时间？并说明你的理由。

解：（1）为使三门课的预期成绩总分最高，该学生应用三天复习数学，用两天复习英语，用一天复习经济学。

（2）该题可以运用消费者效用最大化条件解答。在6天的时间预算约束下，为了使分数最高，学生应该选择最优的时间组合，使得三门功课的时间安排符合以下的条件：学生复习每一门功课最后一天的边际分数相等。该学生复习每门功课的边际分数如表3-2所示。

表3-2　复习每门功课的边际分数

所以，在用三天复习数学，用两天复习英语，用一天复习经济学时，每一门功课的边际分数都为10，这时的总分最高，为217分（＝75＋62＋80），其他的组合都不能达到这个分数。

7设有一居民李四，其效用函数为U（x，y）＝x¹⁴y³⁴，其中，x为食品消费量；y为其他商品消费量。另外，该居民的收入为5000元，x与y的价格均为10元，请计算：

（1）该居民的最优消费组合。

（2）若政府提供该居民2000元的食品兑换券，此兑换券只能用于食品消费，则该居民的消费组合有何变化？

解：（1）李四的预算约束方程为：10x＋10y＝5000。

根据消费者效用最大化的一阶条件：MU₁/MU₂＝p₁/p₂。

其中，MU₁＝14x¹³y³⁴，MU₂＝34x¹⁴y³³。

将边际效用函数和商品价格代入一阶条件，可得：（14/34）（y/x）＝10/10。

将上式代入预算约束方程，可以得到：x＝875/6，y＝2125/6。

（2）政府提供2000元的食品兑换券，消费者效用最大化时，食品消费量不能低于200单位。

假设政府提供该居民2000元的食品兑换券为2000元现金，此时李四的预算约束方程为：7000＝10x＋10y。

则李四的最优消费组合为：x＝1225/6，y＝2975/6。

从李四的最优消费组合可知x＝1225/6＞200，即李四不仅消费了2000元的食品兑换券，还花费125/3单位收入用于食品消费。因此，x＝1225/6，y＝2975/6为政府提供了2000元食品兑换券后的最优消费组合。

8假设一个消费者的效用函数为：U（x₁，x₂）＝x₁²x₂，其中，x₁为食品的消费量；x₂表示所有其他商品的消费量。假设食品的价格为p₁，所有其他商品的价格为p₂，消费者的收入为m元。

（1）求最优的食品需求量。食品对该消费者来说是低档物品吗？食品对消费者来说是吉芬商品吗？

（2）在许多国家，穷人的食品消费会得到政府的补贴，常见的补贴办法是政府向穷人出售食品券。当然，食品券的价格要低于食品的市场价格。假如我们这里考虑的消费者是一个受补贴的穷人，食品券的价格为p₁^s＝1，而食品的市场价格为p₁＝2，所有其他商品的价格被标准化为p₂＝1，消费者的收入为m＝150。在得到补贴后，消费者的消费行为会发生怎样的变化？

解：（1）消费者最优选择条件为：MU₁/MU₂＝p₁/p₂。

其中，MU₁＝2x₁x₂，MU₂＝x₁²。

由此，可以得到：p₁x₁＝2p₂x₂，再联立消费者预算约束：p₁x₁＋p₂x₂＝m。

可以得到：x₁＝2m/（3p₁），x₂＝m/（3p₂）。

由于：dx₁/dp₁＝－2m/（3p₁²）＜0。

因此食品对消费者来说不是吉芬商品；

由于：dx₁/dm＝2/（3p₁）＞0。

因此食品对消费者来说不是低档物品。

（2）在政府补贴前，消费者的预算约束方程为：150＝2x₁＋x₂。

消费者的最优消费组合为：x₁^*＝（2×150）/（3×2）＝50，x₂^*＝150/（3×1）＝50。

在政府补贴后，消费者的预算约束方程为：150＝x₁＋x₂。

消费者的最优消费组合为：x₁^*＝（2×150）/（3×1）＝100，x₂^*＝150/（3×1）＝50。

因此，政府补贴后消费者对食品的消费由50上升到100，对其他消费品的消费保持不变。

9已知效用函数为：U（x，y）＝alnx＋blny，若收入为m，商品X和商品Y的价格分别为p_x、p_y，求：

（1）两种商品的需求函数。

（2）当p_x＝1，p_y＝2，m＝120时，求边际替代率，并求出此时商品X和商品Y的需求价格弹性及收入弹性。

解：（1）消费者效用最大化问题为：

构造拉格朗日函数：L（x，y，λ）＝alnx＋blny＋λ（m－p_xx－p_yy）。

一阶条件为：

∂L/∂x＝a/x－λp_x＝0

∂L/∂y＝b/y－λp_y＝0

∂L/∂λ＝m－p_xx－p_yy＝0

联立求解可得商品X与商品Y的需求函数分别为：x＝am/[（a＋b）p_x]，y＝bm/[（a＋b）p_y]。

（2）商品X对商品Y的边际替代率为：MRS_xy＝MU_x/MU_y＝p_x/p_y＝1/2。

商品X的需求价格弹性为：

商品X的收入弹性为：e_m＝（dx/dm）×（m/x）＝1。

同理，可以得到商品Y的需求价格弹性e_y＝1，商品Y的收入弹性e_m＝1。

10某人仅消费商品x和商品y两种商品，其效用函数为：U＝50x－0.5x²＋100y－y²＋100，其收入I＝672，P_x＝4。

（1）推导出此人对商品y的需求函数。

（2）如果P_y＝14，此人将消费多少商品x？

（3）在均衡状态下，计算此人对商品x的需求收入点弹性e_i。

解：（1）由效用函数U＝50x－0.5x²＋100y－y²＋100，可得商品x的边际效用为：MU_x＝－x＋50；商品y的边际效用为：MU_y＝－2y＋100。

消费者效用的最大化条件为：MU_x/MU_y＝p_x/p_y。

代入有关参数可得：（50－x）/（100－2y）＝4/P_y。

将约束条件4x＋P_yy＝672代入均衡条件，推导出此人对y的需求函数为：y＝（1600＋427P_y）/（P_y²＋32）。

（2）如果将P_y＝14代入均衡条件，可得：（50－x）/（100－2y）＝4/14＝2/7。

化简得：7x－4y＝150，把约束条件4x＋14y＝672代入，求得此人将消费商品x的数量为：x＝42。

（3）由于在均衡状态下，x和y两种商品的消费量满足7x－4y＝150。

代入约束条件：4x＋14y＝I，可得：x＝2I/57＋350/19。

所以此人对商品x的需求收入点弹性为：e_i＝（dx/dI）×（I/x）＝2/57×672/42≈0.56。

11已知效用函数为：U（x₁，x₂）＝（x₁^ρ＋x₂^ρ）^1/ρ，0≠ρ＜1，求需求函数x_i＝f（p₁，p₂，y），其中，p_i，y分别为常量的价格和收入，i＝1，2。

解：消费者效用最大化问题为：

构造拉格朗日函数：L（x₁，x₂，λ）＝（x₁^ρ＋x₂^ρ）^1/ρ＋λ（y－p₁x₁－p₂x₂）。

效用最大化的一阶条件为：

∂L/∂x₁＝（1/ρ）×（x₁^ρ＋x₂^ρ）^{1/（ρ－1）}×ρx₁^（ρ－1）－λp₁＝0

∂L/∂x₂＝（1/ρ）×（x₁^ρ＋x₂^ρ）^{1/（ρ－1）}×ρx₂^（ρ－1）－λp₂＝0

∂L/∂λ＝y－p₁x₁－p₂x₂＝0

则消费者的需求函数分别为：

x₁＝（yp₁^（ρ－1））/（p₁^ρ＋p₂^ρ）

x₂＝（yp₂^（ρ－1））/（p₁^ρ＋p₂^ρ）

λ＝ρ/（ρ－1）

12假定某消费者的效用函数U＝xy，商品X和商品Y的价格分别为p_x＝p_y＝2，收入m＝40元。

（1）该消费者的均衡购买量是多少？最大的效用是多少？

（2）若p_y降为1，替代效应使其购买的两种商品数量变为多少？收入效应使其购买的两种商品数量变为多少？

解：（1）消费者效用最大化问题为：

构造拉格朗日函数：L（x，y）＝xy＋λ（40－2x－2y）。

效用最大化的一阶条件为：

∂L/∂x＝y－2λ＝0

∂L/∂y＝x－2λ＝0

∂L/∂λ＝40－2x－2y＝0

解得：x＝y＝10，可得最大效用为：U＝xy＝100。

（2）商品Y降价后的效用最大化问题变为：

求解可得：x＝10，y＝20，即商品Y价格下降后对商品X和商品Y购买量的总效应增大。

替代效应是指消费者效用保持100不变的条件下，商品Y的价格下降导致商品Y的消费量的变化，即：

求解可得：

因此，替代效应使商品Y的消费量增加：

使商品X的消费量减少：

收入效应使商品Y的消费量增加：

使商品X的消费量增加：

13已知某君每月收入120元，全部花费于商品X和商品Y两种商品，他的效用函数U＝xy，商品X的价格是2元，商品Y的价格为3元。求：

（1）为使获得的效用最大，他购买的商品X和商品Y各为多少？

（2）货币的边际效用和他获得的总效用各为多少？

（3）假如商品X的价格提高44%，商品Y的价格不变，为使他保持原有的效用水平，其收入必须增加多少？

（4）假如某君原有的消费品组合恰好代表全社会的平均数，因而他原来的购买可作为消费品价格指数的加权数，当商品X的价格提高44%时，消费品价格指数提高多少？

（5）为使他保持原有效用水平，他的收入必须提高多少个百分比？

（6）你关于（4）和（5）的答案是否相同？假如不同，请解释为什么某君的效用水平能保持不变。

解：（1）由效用函数U＝xy可得：∂U/∂x＝∂（xy）/∂x＝y，∂U/∂y＝∂（xy）/∂y＝x。

商品X和商品Y的价格分别为p_x＝2，p_y＝3，代入消费者效用最大化条件：MU_x/p_x＝MU_y/p_y。

可得：y/2＝x/3，代入消费者预算方程2x＋3y＝120，求解可得：x＝30，y＝20。

因此，为使消费者获得最大效用，他应购买30单位的商品X和20单位的商品Y。

（2）由于商品X的边际效用为：MU_x＝∂U/∂x＝y＝20。

商品X的价格为p_x＝2，因此，货币的边际效用为：λ＝MU_x/p_x＝y/p_x＝20/2＝10。

总效用为：TU＝xy＝30×20＝600。

（3）现在，商品X的价格为：p_x＝2＋2×44%＝2.88。

代入消费者效用最大化条件MU_x/p_x＝MU_y/p_y可得：y/2.88＝x/3。

而消费者的效用水平保持不变，为U＝xy＝600，求解可得：x＝25，y＝24。

将x＝25，y＝24代入预算方程，可得该消费者应该拥有的收入为：M＝p_xx＋p_yy＝2.88×25＋3×24＝144（元）。

收入增加为：ΔM＝144－120＝24（元），因此，为保持原有的效用水平，收入必须增加24元。

（4）消费品价格指数提高的百分率为价格指数增加额与原有价格指数之比，代入有关参数可得：

[（30×2.88＋20×3）－（30×2＋20×3）]/（30×2＋20×3）＝22%

（5）消费者收入提高的百分率为24/120＝20%。

（6）消费品价格指数提高22%，而收入提高20%，两者明显不同。因为商品X的价格提高了44%，在商品Y的价格不变的情况下，为取得同样的效用，均衡购买量发生了变化。一方面，商品X的购买量从30降为25，因而减少的支出为：2.88×（30－25）＝14.4（元）。

另一方面，商品Y的购买量从20增加到24，因而增加的支出为：3×（24－20）＝12（元）。

两者相抵，净节省2.4元（＝14.4－12），占原有收入120元的2%。因此，当价格指数提高22%时，收入只需要提高20%就够了。

14若消费者效用函数U＝x^ry，r＞0，那么收入-消费曲线是一条直线。

解：收入-消费曲线是在商品价格和消费者偏好不变的情况下，随着消费者收入变动，无差异曲线和预算线切点的轨迹，它经过原点。设商品X的价格为p_x，商品Y的价格为p_y。

对于效用函数U＝x^ry，边际效用分别为：∂U/∂x＝rx^r－1y，∂U/∂y＝x^r。

代入效用最大化条件MU_x/p_x＝MU_y/p_y，可得：rx^r－1y/p_x＝x^r/p_y，变形整理得：y/x＝p_x/（rp_y）。

由于p_x、p_y是固定不变的，r为常数，且r＞0，故p_x/（rp_y）是一个大于零的常数。因此，y/x是大于零的常数。又因为收入-消费曲线过原点，所以y/x就是曲线的斜率，而y/x又是大于零的常数。因此，该消费者的收入-消费曲线是一条过原点且向右上方倾斜的直线。

15设某消费者的效用函数U＝f（m）＝3m^δ（1＜δ），这里的m代表货币量。如果他在一次抽奖活动中，有20%的几率获得200元，有80%的几率获得75元，抽奖的费用为100元，试问他会不会参加这一活动？

解：根据消费者的效用函数U＝f（m）＝3m^δ（1＜δ），可得：MU＝3δm^δ－1，dMU/dm＝3δ（δ－1）m^δ－2＞0。

因此此人是风险偏好者。

抽奖活动的期望收入为100元（＝0.2×200＋0.8×75）。而抽奖的费用也为100元，对于风险偏好者来说，确定性的100元的效用小于有风险的100元，所以他会参加抽奖。

16某消费者的效用函数U＝0.5＋R²。其中，U为效用，R为收益（千元）。他有1万元钱，如果存在银行里，年利率为2%；如果全部投资于股票，估计一年中有40%的概率获得8000元的投资收益，有60%的概率损失5000元。

（1）该消费者是风险偏好者、风险厌恶者还是风险中性者？

（2）他是否会选择投资股票？

（3）如果投资股票，他的效用是多少？

解：（1）因为d²U/dR²＝2＞0，该消费者的效用函数为是严格向下凸出的，所以他是风险偏好者。

（2）该消费者是将1万元投资于股票还是存银行取决于哪种投资渠道带来的效用更大，如果该消费者把1万元存银行，得到投资收益200元（＝10000×2%），此时的效用为0.5＋10.2²＝104.54；如果该消费者把1万元都投资于股票，期望效用为0.4×（0.5＋18²）＋0.6×（0.5＋5²）＝145.1＞104.54，因此该消费者会选择投资股票。

（3）该消费者投资于股票的期望效用为145.1。