五、证明题

1设消费者所消费的两种商品组合集U0（Qi0，Qj0）和U1（Qi1，Qj1）分别代表两个不同的效用总量U0和U1（亦即U0≠U1）。求证：这两种组合集所描出的无差异曲线U0和U1在平面（i，j）上不相交。

证明：假设这两种组合集所描述的无差异曲线U0和U1在平面（i，j）上相交，交点为E点，如图3-7所示。E点对应的两种商品的消费量分别为QiE和QjE。

根据无差异曲线的定义，由无差异曲线U0可得E、F两点的效用水平是相等的，由无差异曲线U1可得E、H两点的效用水平是相等的。因此，根据偏好可传递性的假定，必定有F和H这两点的效用水平是相等的。但是，观察和比较图中F和H这两点的商品组合，可以发现H组合中每一种商品的数量都多于F组合。因此，根据偏好的非饱和性假定，必定有H点的效用水平大于F点的效用水平。

图3-7　任意两条无差异曲线不能相交

此时产生矛盾：该消费者在认为F点和H点无差异的同时，又认为H点要优于F点，这就违背了偏好的完全性假定。由此证明：对于任何一个消费者来说，两条无差异曲线相交是错误的。所以，这两种组合集所描出的无差异曲线U0和U1在平面（i，j）上不相交。

2证明：如果某消费者对商品X1和商品X2的效用函数为：U（X1，X2）＝10（X12＋2X1X2＋X22）－50，则对该消费者来说，商品X1和商品X2之间存在完全替代的特性。

证明：完全替代品是指消费者愿意以固定比例用一种商品替代另一种商品。在完全替代情况下，商品的边际替代率为非零的常数，无差异曲线是一条直线。存在完全替代时，消费者对商品相对价格的变动非常敏感，一般会购买价格较低的那种商品。

商品的边际替代率可以表示为：MRS12＝－ΔX2/ΔX1＝MU1/MU2。

根据已知的效用函数可知，商品X1、X2的边际效用分别为：

MU1＝∂U/∂X1＝20（X1＋X2）

MU2＝∂U/∂X2＝20（X1＋X2）

因此，该消费者消费商品X1、X2的边际替代率为：MRS12＝MU1/MU2＝[20（X1＋X2）]/[20（X1＋X2）]＝1。

由于商品X1、X2的边际替代率为1，因此，对该消费者来说，商品X1和商品X2之间存在完全替代的特性。

3证明：如果预算线给定，一条无差异曲线U（Qx，Qy）与其相切。试证明，切点E的坐标为最优商品组合，切点E为消费者均衡点。

证明：如图3-8所示，不妨假设预算线AB的斜率为－1，切点E的坐标为（Qx，Qy）。由于E点为U（Qx，Qy）与AB线的切点，所以在E点有MRSxy＝Px/Py，而在E点左上方有MRSxy＞Px/Py，E点右下方有MRSxy＜Px/Py，其中，Px/Py＝1。

图3-8　消费者最优选择

（1）在E点左上方的a点与U（Qx，Qy）没有交点和切点，只与U′（Qx，Qy）有交点a。由图3-8可知，在a点有MRSxy＞Px/Py。

设MRSxy＝1/0.5＞Px/Py＝1，则从不等式右边看，在市场上，消费者减少消费1单位Y可获得1单位X；从不等式左边看，依消费者意愿，他减少消费1单位Y，只需多消费0.5单位X，即可保持原有的满足程度。这样，消费者如果少消费1单位Y、多消费1单位X，就可用X弥补少消费Y的损失后还额外多获得0.5单位X的效用，因而总效用增加。这时，理性的消费者一定会再多购买X、少购买Y。可见，a点不是最优组合。

（2）在E点右下方的b点与U（Qx，Qy）没有交点和切点，只与U′（Qx，Qy）有交点b。

在b点处，可得：MRSxy＜Px/Py。设MRSxy＝0.5/1＜Px/Py＝1，此时，从不等式右边看，在市场上，消费者减少消费1单位X可获得1单位Y；从不等式左边看，依消费者意愿，他减少消费1单位X，只需多消费0.5单位Y，即可保持原有的满足程度。这样，消费者如果少消费1单位X、多消费1单位Y，就可用Y弥补了少消费X的损失后还额外多获得0.5单位Y的效用，因而总效用增加。这时，理性的消费者一定会多购买Y、少购买X。可见，b点也不是最优组合。

可见，E点左上方、右下方都没有最优商品组合点，所以E点本身就是最优商品组合点。由于E点是消费者效用最大点，并且在预算线上，所以E点就是消费者均衡点。

4已知消费者对两种商品q1和q2的效用函数为：U＝q1q2，预算约束方程为：y＝p1q1＋p2q2，其中，y为消费者的收入；p1、p2分别为两种商品量q1和q2的市场价格。求证：在效用最大化条件下，消费者对这两种商品的需求函数分别为q1＝y/（2p1）和q2＝y/（2p2）。

证明：消费者效用最大化的一阶条件为：MU1/MU2＝p1/p2。其中，MU1＝q2，MU2＝q1。

将边际效用函数代入一阶条件，可得：q2/q1＝p1/p2。

将上式代入预算约束方程，可得：q1＝y/（2p1），q2＝y/（2p2）。

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