浸润式的数学
从根本上说，浸润式的教学就是培养孩子的理性思维能力，发展学生的数学应用意识。培养理性思维能力，是培养学生社会责任感，使其学会批判思考的基本环节。数学思维能力在其中起着独特的作用。
从教头几年，每天站在讲台上，面对着稚嫩的面孔，我能读出孩子们眼中有对知识的渴望、有面对未知领域挑战的勇气，也有对现实中的枯燥训练的无奈和不解。作为一名数学老师，每一节课我都迫切地把我所有的知识毫无保留地传授给孩子们，但是苦恼也随之而来，越是用力教，越感觉孩子的学习效果给自己带来的心理落差大。曾经有相当长的一段时间，我每天都会很苦恼，纠结着“有些知识方法明明在课堂上讲了很多遍，可学生在解决问题时还是不能很好地完成”，总会有学生不停问我：“我都已经很努力了，为什么成绩还是提高不了。”时间长了，在每天的繁重工作中，我把这种情况当作了常态，已经习已为然。
前几年，有幸进入了素质班任教数学，我开始静下心来，认真思考，应当教会孩子们什么？数量感觉与判断、数据收集与分析、归纳猜想与合情推理、逻辑思考与严密证明、数学表示与数学交流等，都是其他科学所不能或者难以培养的思维品质。但是，我国数学教学中常常可见“数学=逻辑”的观点，使得数学成了干巴巴的逻辑链条。目前中小学数学教学的一个突出问题是：人们为了应试的需要，把数学教学异化为狭隘的解题教学。而20世纪下半叶以来，数学最大的发展是应用。计算机技术的广泛使用，使得“数学从社会的幕后走到台前”，在某些方面直接为社会创造价值。因此，数学在数学应用和数学实践方面需要大力加强，数学课程要突出知识的“来龙去脉”。
基础与创新是正确处理学习过程的不可或缺的两个方面。既要打好基础，又要发展创新的潜能。基础需要“与时俱进”，不断整合；创新需要为学生提供提出问题、独立思考和实践的空间。形式化是数学的基本特征之一，但是数学的现代发展表明，全盘形式化是不可能的。数学正在走出“布尔巴基”的形式化光圈。在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求。但是，数学不能过度形式化，将生动活泼的数学思维淹没在形式化的海洋里。因此，应该“返璞归真”，揭示数学的本质，“要推理，更要讲道理”，通过典型例子的分析，理解数学概念和方法。追寻数学发展的历史足迹，把形式化的数学形态转化为学生易于接受的教育形态。
数学，带给孩子们的更多的是理性的思维、有条理的分析，以及寻求问题解决的能力。因而每一节课把基本概念及原理分析透彻，引导学生建立正确研究问题的态度和方法，同时要适当“留白”给学生思考的空间，让课堂的热度可以延续到课余的时间。下面以两个我课堂上的实例来说明一下。
实例一
初一数学（人教版）第四章“图形认识初步”中，在学生学习完立体图形及展开图后，会在“直线、射线、线段”内容中学习“线段的中点”这一概念。而这是学生进入初中学习几何以来第一个在几何推理中经常使用的几何定义，这个定义的研究方法可以推广到其他几何定义中去，因而我设计了下面的几个环节：
环节1：小学学过线段中点吗？谁能简单描述一下。
环节2：打开教材，找到线段中点的定义：将线段分成两个相等线段的点叫线段的中点。
环节3：分析定义。
问题1：一个点需要满足几个条件，才能够保证它是某条线段的中点？
当时学生的回答是“分成两个相等的线段”，我说没错。但接着我又提出：“什么叫分成？”引导学生挖掘出定义的潜台词“只有点在线段上，才可能叫作分成”。
问题2：你能不能画出已知线段AB的中点C？
当时学生很快画完了，我问：“你是怎么画的？”学生很干脆地回答用直尺的刻度量的，我回答说很好，接着又问：“刚才的画图过程中你的依据是什么，如何才能保证你所画的一定是线段中点？”学生想了想说：“依据线段中点定义。”然后，我追问一句：“如果请你把刚才你的画图过程用数学符号语言来表示的话，比如用‘若……则……’，你会怎么写？”
学生甲：若AC=CB，则C是AB中点。
学生乙：若AC=1/2AB，则C是AB中点。
我问道：“这两句话对吗？”学生回答：“对。”我不死心，追问：“真的吗？”此时学生丙回答：“对，因为有图啊。”我笑着说：“那如果没有图，这两句话对吗？请你画图试一试。”
此时我问学生：“为什么会出现这种情况？”学生回答说：“没有保证点在线段上。”如此引导学生研究几何问题必须关注位置的要求及变化。
问题3：若AC=CB=1/2AB，则C是AB中点。这句话对吗？
学生经过动手操作发现是正确的，此时我告诫学生：“研究数学不要仅凭经验去判断。定义是判断是与非的途径之一。”
环节4：如图，已知点C是线段AB的中点，那么你会得出哪些结论？
引导学生从另一个角度认识线段中点的定义，即定义除了当作判定方法外，还可以当作性质用。
以上四个环节，只是课堂中的一个片断，但却让学生充分认识到了该如何研究一个几何定义，并且该运用什么样的工具，为学生后面的学习打下基础。
实例二
按照我的课程设置，“因式分解”之后学习的是“一元二次方程”，但是对于因式分解到底的问题（尤其是二次三项式）没有讲透，因此在讲完一元二次方程解法之后，我又回头将二次三项式因式分解到底的问题提了出来。在讲完这部分知识之后，有一个学生发现一个因式分解的题不会解，于是在课堂上我们将这道题拿了出来，问题是这样的：
在实数范围内将x5+x4+x2+x+2因式分解。
通常情况下可以先试根，但是这道题用这个方法不太适用，于是我将这个问题留给了学生，请他们自行分组研究。
某组学生（刘曦瑞、罗运泽、邵一凡）成果展：
在实数范围内因式分解x5+x4+x2+x+2论文
一、因式分解常见方法
提取公因式法、乘法公式法、十字相乘法、分组分解法、拆项添项法等。
二、分析问题
直接运用提取公因式法、乘法公式法以及十字相乘法、试根法是行不通的，因此要用分组分解法以及拆项添项法。因此，有三个方法。
方法一：拆项、添项后直接使用公式，分为两种情况：
情况一：利用“杨辉三角”可以得到完全五次方和公式：
（x+1）5=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1
得到原式=（x+1）5-4x4-10x3-9x2-4x+1，不便于计算，暂时舍去。
情况二：立方和公式：原式=x2（x3+1）+x（x3+1）+2，舍去。
方法二：添上负项后因式分解：又分为两种情况：
情况一：完全五次方差公式，同方法一，暂时舍去。
情况二：立方差公式：
x5-x2+x4-x+2x2+2x+2
=x2（x3-1）+x（x3-1）+2（x2+x+1）
=x2（x-1）（x2+x+1）+x（x-1）（x2+x+1）+2（x2+x+1）
=（x2+x+1）（x3-x+2）
方法三：用待定系数法设出分解：
情况一：
（x3+ax+1）（x2+bx+2）
=x5+bx4+（2+a）x3+（ab+1）x2+（2a+b）x+2
情况二：
（x3+ax+2）（x2+bx+1）
=x5+bx4+（1+a）x3+（ab+2）x2+（a+2b）x+2
综上，我们可以得到x5+x4+x2+x+2=（x2+x+1）（x3-x+2）。
三、验证是否分解到底
（1）验证x2+x+1是否因式分解到底：
Δ=12-4=-3<0，所以x2+x+1已经分解到底。
（2）x3-x+2不知道是否可以继续分解，因此利用几何画板作函数图像：
我们发现这个三次项有一个根，但主要问题就是把它用根式的形式表现出来。
这时需要一元三次方程求根公式，所以我们在网上把一元三次方程的求根公式找出来，然后代入计算。因为原式太复杂，而x3-x+2中又没有二次项b=0，故将简化后公式给出：
原式中a=1，c=-1，d=2，所以:
此时我们得到了方程x3-x-2=0的一个根，所以将它因式分解后其中一个因式是
。
接着用待定系数法来解决，方便起见，设为
=m，另一个二次三项式的一次项系数为n。
经过验证，将m=n代进2/m-mn=-1中也成立。
综上，因式分解x5+x4+x2+x+2的结果是：
虽然在过程中难免有小的纰漏和不严谨，但学生的学习能力让我感到震撼。因为我只是教给孩子们方程与代数式之间的基本关联，教给孩子们可以设未知数解决问题，只是在他们研究不下去的时候给过一些建议，而他们并没有学过函数的知识，全靠孩子们在课下自学，这不正是课堂学习的延续吗？或许，数学的浸润式教育也应该体现在这里。
数学组
冯娜
