3.1.2 罗尔定理
定理2（罗尔定理） 若函数y=f（x）满足：
（1）在闭区间[a，b]上连续；
（2）在开区间（a，b）内可导；
（3）在区间端点处函数值相等，即f（a）=f（b）.
那么，在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=0.
罗尔定理的几何意义：如图3-2所示，如果曲线弧AB在闭区间[a，b]上连续，除端点外处处都有不垂直于x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，即f（a）=f（b），那么在曲线弧上至少存在一点ξ，使得在该点的切线平行于x轴.
图 3-2
值得注意的是，罗尔定理的三个条件是结论的充分条件，即如果缺少某一条件，结论就可能不成立，图3-3直观地说明了当其中一个条件不满足时，结论不成立的情况.
图 3-3
但是，定理中的三个条件不是结论的必要条件，即使三个条件都不满足，结论中的ξ仍可能存在.例如图3-4所示的情况
例1 验证函数f（x）=2x2-x-3在区间
上满足罗尔定理的条件，并求定理中ξ的值.
图 3-4
解 由于f（x）=2x2-x-3是（-∞，+∞）上的初等函数，所以f（x）=2x2-x-3在区间
上连续，在区间
内可导，且f′（x）=4x-1.
又因为
，所以f（x）在
上满足罗尔定理的条件.
令f′（x）=0，得
，即
，使f′（ξ）=0.
例2 设f（x）=x（x-1）（x+1）（x+2），证明f′（x）=0有三个实根.
解 由于f（x）=x（x-1）（x+1）（x+2）是（-∞，+∞）上的初等函数，且
f（-2）=f（-1）=f（0）=f（1）=0，
所以f（x）在三个区间[-2，-1]，[-1，0]，[0，1]上都满足罗尔定理的条件.因此在区间（-2，-1），（-1，0），（0，1）内分别至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=0，即f′（x）=0至少有三个实根.又因为f′（x）=0是三次方程，所以最多只有三个实根.
综上可得f′（x）=0有三个实根.