第1章 函数、极限与连续

一、基本概念与基本公式

1.邻域的概念

设δ是一正数,则称开区间(a-δ,a+δ)为点a的δ邻域,记作U(a,δ),即

U(a,δ)={x|a-δ<x<a+δ}={x||x-a|<δ}.

其中,点a称为邻域的中心,δ称为邻域的半径.

2.函数的概念

设x,y是两个变量,若当x在某个实数范围D内取值时,变量y按照某种对应的规则f,有唯一一个y与之对应,则称变量y是x的函数.表示为y=f(x),x∈D,其中x称为自变量,y称为因变量(或函数).D称为函数f(x)的定义域,记作Df.函数值的集合称为函数f的值域,记作Rf,即Rf={y|y=f(x),x∈D}.

3.函数的性质

(1)函数的有界性 设函数f(x)在数集D有定义,若对∀x∈D,∃M>0,使得|f(x)|≤M,则称函数f(x)在D上有界,否则称函数f(x)在D无界.

(2)函数的单调性 设函数f(x)在数集D有定义,若对∀x1,x2∈D,且x1<x2,有f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)),则称函数f(x)在D上单调增加(单调减少).

(3)函数的奇偶性 设函数f(x)在数集D有定义,若对∀x∈D,有-x∈D,且f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)),则称函数f(x)是奇函数(或偶函数).

(4)函数的周期性 设函数f(x)在数集D有定义,若对∀x∈D,∃l>0,有x±l∈D,且f(x±l)=f(x),则称函数f(x)是周期函数,l称为函数f(x)的一个周期,通常将最小正周期称为函数f(x)的基本周期,简称为周期.

4.基本初等函数

(1)常数函数 y=C(常数),x∈(-∞,+∞).

(2)幂函数 y=xα(α为实数).

(3)指数函数 y=ax (a>0,a≠1),x∈(-∞,+∞),y∈(0,+∞).

(4)对数函数 y=logax (a>0,a≠1),x∈(0,+∞),y∈(-∞,+∞).

(5)三角函数

正弦函数 y=sinx,x∈(-∞,+∞),y∈[-1,1].

余弦函数 y=cosx,x∈(-∞,+∞),y∈[-1,1].

正切函数 y=tanx,,n=0,±1,±2,…,y∈(-∞,+∞).

余切函数 y=cotx,x≠nπ,n=0,±1,±2,…,y∈(-∞,+∞).

正割函数 .

余割函数 .

(6)反三角函数

反正弦函数 y=arcsinx,x∈[-1,1],.

反余弦函数 y=arccosx,x∈[-1,1],y∈[0,π].

反正切函数 y=arctanx,x∈(-∞,+∞),.

反余切函数 y=arccotx,x∈(-∞,+∞),y∈(0,π).

5.复合函数

定义 设函数z=f(y)定义在数集M上,函数y=φ(x)定义在数集D上,G是D中使y=φ(x)∈M的x的非空子集,即G={x|x∈D,φ(x)∈M}≠ф,对∀x∈G,对应唯一一个y∈M,再按照对应关系f对应唯一一个z,即∀x∈G都对应唯一一个z,于是在G上定义了一个函数,称为y=φ(x)与z=f(y)的复合函数,表示为z=f(g(x)),x∈G.

6.数列极限

(1)定义 设数列{xn},a是常数.若数列的项数n无限增大时,数列{xn}的值无限趋近于常数a,则称数列{xn}的极限是a或数列{xn}收敛于a.记作或xn→a(n→∞).若数列{xn}不存在极限,则称数列{xn}发散.

*数列{xn}的极限是a,又可以精确表述为:设数列{xn},a是常数,对任意ε>0,总存在自然数N,对任意正整数n,若n>N时,有|xn-a|<ε,则称数列{xn}的极限是a.

(2)收敛数列的性质

ⅰ.极限的唯一性 若数列{xn}的极限存在,则该极限一定唯一.

ⅱ.收敛数列的有界性 如果数列{xn}收敛,则数列{xn}一定有界.

.收敛数列的保号性 如果数列{xn}收敛于a,且a>0(或a<0),那么存在正整数N,当n>N时,有xn>0(或xn<0).

.收敛数列与其子数列间的关系 如果数列{xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛,且极限也是a.

7.函数极限

(1)x→∞时,函数f(x)的极限

定义1(描述性定义) 对于函数f(x),如果当x的绝对值无限增大时,对应的函数值f(x)无限接近于一个确定的常数A,则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限.

*定义2(ε-X定义) 对于任意给定的正数ε,如果存在一个正数X,使得当|x|>X时的一切x,都能使不等式|f(x)-A|<ε恒成立,则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限.记为,或f(x)→A(x→∞).

(2)x→x0时,函数f(x)的极限

定义1(描述性定义) 对于函数f(x),如果当x无限趋近于常数x0时,对应的函数值f(x)无限接近于一个确定的常数A,则称常数A为函数f(x)当x→x0时的极限.

*定义2(ε-δ定义) 对于任意给定的正数ε,如果存在一个正数δ,使得当0<|x-x0|<δ时的一切x,都能使不等式|f(x)-A|<ε恒成立,则称常数A为函数f(x)当x→x0时的极限.记为,或f(x)→A(x→x0).

(3)当x→x0时,函数f(x)的左、右极限

定义 如果当时,函数f(x)无限接近于一个确定的常数A,那么A就叫做函数f(x)当x→x0时的左极限,记为或f(x0-0)=A.

如果当时,函数f(x)无限接近于一个确定的常数A,那么A就叫做函数f(x)当x→x0时的右极限,记为或f(x0+0)=A.

显然,函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是:f(x)在x0处的左右极限都存在并且相等,即f(x0-0)=f(x0+0)=A.

(4)函数极限的性质

ⅰ.唯一性 若f(x)当x→x0(或x→∞)时极限存在,则其极限一定唯一.

ⅱ.局部有界性 若f(x)当x→x0时极限存在,则一定存在正数δ,使得当0<|x-x0|<δ时,函数f(x)有界.

ⅲ.局部保号性,且A>0(或A<0),那么存在δ>0,当0<|x-x0|<δ时,有f(x)>0(或f(x)<0).

ⅳ.函数极限与数列极限的关系 如果当x→x0时f(x)的极限存在,{xn}为f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列,且满足xn≠x0(n∈N+),那么相应的函数值数列{f(xn)}必收敛,且.

8.无穷小量

(1)定义 若,则称函数f(x)是x→x0时的无穷小.

性质1 若函数f(x)与g(x)都是无穷小,则函数f(x)±g(x)也是无穷小.

性质2 若函数f(x)与g(x)都是无穷小,则函数f(x)·g(x)也是无穷小.

性质3 若函数f(x)是无穷小,而函数g(x)有界,则函数f(x)·g(x)也是无穷小.

性质4 若极限,则f(x)=A+α(x),其中α(x)(x→x0)是无穷小.

(2)无穷小的比较

设α和β都是在x→x0(或x→∞)时的无穷小.

ⅰ.如果,则称β是比α高阶的无穷小

ⅱ.如果,则称β是比α低阶的无穷小

ⅲ.如果(C为不等于零的常数),则称β是与α同阶的无穷小;特别地,当C=1时,称β与α是等价无穷小,记为α~β;

ⅳ.如果(C为不等于零的常数),则称β是α的k阶无穷小.

(3)常用等价无穷小

ln(1+x)~x;ex-1~x;ax-1~xlna;(1+x)μ-1~μx

9.无穷大量

(1)定义 如果当x→x0(或x→∞)时,函数f(x)的绝对值无限增大,那么函数f(x)叫做当x→x0(或x→∞)时的无穷大量,简称无穷大.

(2)性质 在自变量的同一变化过程中,若f(x)为无穷大,则为无穷小;反之,若f(x)为无穷小,且f(x)≠0,则为无穷大.

10.极限的运算法则

(1)四则运算 如果limf(x)=A,limg(x)=B,那么,

(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B;

(2)limf(x)g(x)=limf(x)·limg(x)=A·B;

(3),其中B≠0.

(2)复合函数极限 设有复合函数f(g(x)),若,有,则.

11.极限的存在准则

准则Ⅰ 如果数列{xn}、{yn}和{zn}满足下列条件:

(1)从某项起,即∃n0∈N,当n>n0时,有yn≤xn≤zn;(2),那么数列{xn}的极限存在,且.

准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.

12.两个重要极限

13.函数的连续性

(1)连续

定义1 设函数y=f(x)在点x0及其近旁有定义,如果当自变量x在点x0处的增量Δx趋近于零时,函数y=f(x)相应的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)也趋近于零,则称函数y=f(x)在点x0连续..

定义2 设函数y=f(x)在点x0及其近旁有定义,如果函数f(x)当x→x0时的极限存在,且等于它在点x0处的函数值f(x0),即若,则称函数在点x0连续.

(2)左、右连续

如果函数y=f(x)在(a,b)内连续,且(此时称y=f(x)在x=a右连续)及(此时称y=f(x)在x=b左连续),则称y=f(x)在闭区间[a,b]上连续.

(3)闭区间上连续函数的性质

ⅰ.最值定理 如果y=f(x)在区间a[,b]上连续,则f(x)在[a,b]上一定取得最大值和最小值.

ⅱ.介值定理 如果y=f(x)在闭区间a[,b]上连续,且f(a)=A,f(b)=B(A≠B),则对于介于A和B之间的任何实数C,至少存在一点ξ∈(a,b)使f(ξ)=C.

ⅲ.零点定理 如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)和f(b)异号,那么至少存在一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0(a<ξ<b).

14.函数的间断点

如果函数f(x)有下列三种情形之一:

(1)函数f(x)在x=x0没有定义;

(2)函数f(x)在x=x0有定义,但不存在;

(3)函数f(x)在x=x0有定义,且存在,但,则函数f(x)在点x0不连续.我们把点x0叫做函数f(x)的不连续点间断点.

如果x0是函数f(x)的间断点,但左极限及右极限都存在,那么x0称为函数f(x)的第一类间断点.不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点.在第一类间断点中,左、右极限相等者称为可去间断点,不相等者称为跳跃间断点.无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点.