二、习题详解

习题1.1

1.求下列函数的定义域.

解　（1）要使有意义，则4-x2≥0，即|x|≤2.所以定义域为[-2，2].

（2）当x≠3且x≠1时，有意义；而要使有意义，必须x+2≥0，故函数的定义域为[-2，1），（1，3），（3，+∞）.

（3）当x≤3时，有意义；又当x≠0时，有意义，故函数的定义域为（-∞，0），（0，3].

（4）当2kπ≤x≤（2k+1）π（k=0，±1，±2，…）时，有意义；又要使有意义，必须有-4≤x≤4.所以函数的定义域为[-4，-π]，[0，π].

2.设，求f（3），f（2），f（0），，.

3.设，g（x）=-x2+4x-3，求f（g（x））的定义域.

解　，因此要使有意义，必须使1≤x≤3.即f（g（x））的定义域为[1，3].

4.设f（x）的定义域是[0，1]，求f（sinx）的定义域.

解　当0≤sinx≤1时，f（sinx）有意义，故其定义域为[2kπ，（2k+1）π]（k=0，±1，±2，…）.

5.设，求f（x-1）+f（x+1）.

6.设 ，g（x）=x2+1，求f-1（x），f（g（x）），g（f（x））.

解　f-1（x）=f（x）；；.

7.设f（x）满足2f（x）+f（1-x）=x2，求f（x）.

解　　2f（x）+f（1-x）=x2　　（1）

令x=1-t　得

2f（1-t）+f（t）=（1-t）2

2f（1-x）+f（x）=（1-x）2　　（2）

由式（1）和式（2）得　　.

8.设f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，试证：f（f（x））为奇函数，g（f（x））为偶函数.

解　因为f（f（-x））=f（-f（x））=-f（f（x）），故f（f（x））为奇函数.

因为g（f（-x））=g（-f（x））=g（f（x）），故g（f（x））为偶函数.

9.证明在（-∞，+∞）上有界.

证　当|x|≥1时，x2≤x4，因此；当|x|＜1时，.所以对任意x∈（-∞，+∞），|f（x）|≤2，即f（x）有界.

10.将下列函数拆开成若干基本初等函数的复合：

（1）y=sin3（1+2x）；　　（2）.

解　（1）y=u3，u=sinv，v=1+2x.

（2）y=10u，u=v2，v=2x-1.

11.一球的半径为r，作外切于球的正圆锥，试将其体积表示为高的函数，并说明定义域.

解　设正圆锥的高为h，底面半径为R，体积为V，由立体几何学知：.又利用两直角三角形相似可得，所以，.