2.4 纳什讨价还价解

对于讨价还价问题（F, v），无论是通过双方的谈判，或者是通过焦点仲裁人所提出的建议，其目的无非是从F∩{（x1, x2）|x1≥v1和x2≥v2}中找出一个合理的配置，或者说，是从ℜ2中识别出一个或若干个配置，作为在（F, v）下谈判或者仲裁的结果。不妨把这样得到的配置记为φ（F, v），也就是两人讨价还价问题的解函数。

什么样的解函数是合理的呢？“合理”两字本身是值得讨论的问题。从不同的角度会有不同的“合理”理由，从而出现不同的解概念。俗话说，“公说公有理，婆说婆有理”，从“公”或“婆”各自的立场出发常常可以得到不同的解决方案。采用一方认为合理的观点去解决问题很有可能造成“片面”，最后或许无济于事。一般地，从人们共同认可的准则出发得到的解，也许最容易被人们接受。出于这样的基本考虑，纳什从公理的角度提出讨价还价解的概念。我们把产生纳什讨价还价解的公理称为“纳什公理”，以区别于其他讨价还价解所出自的公理系统。由于公理系统的不同，合作博弈可以有不同的解概念，这正是它与非合作博弈的研究之间明显的差异之一。

由于纳什公理涉及向量之间的比较“大小”，因此在介绍公理之前，我们先交代如何比较二元向量的大小。

记x=（x1, x2）, y=（y1, y2）：

x≥ y当且仅当x1≥ y1和x2≥ y2

x＞y当且仅当x1＞y1和x2＞y2

在两人讨价还价问题中，解φ（F, v）必定包含两个局中人各自的盈利（或成本分摊），局中人1与2的盈利分别记为φ1（F, v）和φ2（F, v），即φ（F, v）=（φ1（F, v）, φ2（F, v））。

有了这些基本准备之后，对于一个两人讨价还价问题（F, v），纳什讨价还价解的公理叙述如下：

公理1个体理性（individual rationality）

正如我们在前面已经指出的，这是一个最起码的准则，讨价还价中的每个人指望从合作中得到的盈利，至少不应该比自己没有参与合作时的收益差，否则就会散伙，因此，个体理性是合作的必需条件。

公理2 Pareto强有效性

如果φ（F, v）是两人讨价还价问题的解，那么φ（F,v）∈F。并且对于F中的任何一个配置x=（x1,x2），假如x≥φ（F,v），必有x1=φ1,x2=φ2。

公理2的意思是，博弈的解一定来自可行配置集，一旦φ（F, v）是解，那么在F中找不到其他配置，使得任何一个局中人觉得它比φ（F, v）更令人满意，否则φ（F, v）自然不可能是讨价还价的最后结果。由于讨价还价问题的解一定是在二维平面上，而且一定位于F∩{（x1, x2）|x1≥v1和x2≥v2}内，这是一个非空有界闭集合，根据Pareto强有效性，解φ（F, v）只可能出现在F∩{（x1, x2）|x1≥v1和x2≥v2}的边界上。而且，人们可以想象到，φ（F, v）必定位于二维平面的“东北”方向的边界上。

公理3对称性

对于一个讨价还价问题（F, v），如果（x1,x2）∈F，必有（x2,x1）∈F。同时，如果v1=v2，那么φ1（F,v）=φ2（F,v）。

公理3的第一点是显然的，既然局中人1与2可以分得x1和x2，那么将他们的所得互换一下自然也是可行的（当然，未必能使他们都感到满意）。公理3的（最重要的）第二点是指，在讨价还价中地位等同的人，博弈的解应该给予他们相同的待遇，体现出分配的公正性。

公理4等价盈利描述的不变性（用数学上的术语，又可称为刻度同变性）

对任意α1＞0,α2＞0及β1和β2,F中的任何一个元素（x1,x2）的仿射变换映像为（α1x1+β1,α2x2+β2），所有映像的全体构成了另一个平面上的可行配置集F*。相应地，意见不一致点v的映像为：（α1v1+β1,α2v2+β2）=v*。如果φ是（F, v）的解，那么（F*,v*）的解为（α1φ1+β1,α2φ2+β2）。

公理4指出，一个两人讨价还价问题（F, v）通过仿射变换而导致另一个两人讨价还价问题（F*, v*），那么，（F, v）的解的仿射变换映像应该也是（F*, v*）的解。这个道理很容易被人们接受。问题在于，为什么要去考虑两人讨价还价问题的仿射变换之后的变体呢？人们可以设想，（F, v）到（F*, v*）的仿射变换很可能是盈利单位发生了变化，这样的变化自然不应该改变解的实质。也就是说，“新”、“老”两个博弈的决策应该是等价的，博弈的变换，势必引起讨价还价解的相应变换。最简单的仿射变换例子是两家公司之间的贸易合作并签订协议，起先是以美元结算的，现在转为以人民币结算。类似的例子还有，国际上两家公司共同修建一个项目，该项目的成本在协议上是以美元为单位的，而每家公司回去结算时却是以本国货币计算。因此，签订协议时的讨价还价解应当不会因为货币的结算而发生更改。

公理5无关选择的独立性

假设（F, v）和（F*,v*）分别是两个两人讨价还价问题，其中，v=v*。如果F*是F的子集，并且φ（F,v）∈F*，那么φ（F,v）=φ（F*,v*）。

由于F*是F的子集，记F\F*表示在F中剔除了F*的全部元素之后所形成的集合。既然（F, v）的解属于F*，那么公理5指出，我们在求φ（F, v）的过程中，没有必要去关心F*以外的配置，于是，F\F*就成了与求解无关的选择，把F\F*排除在我们的选择之外，丝毫不会影响到讨价还价解的最后求得。

假如我们已经知道了（F, v）的解，现在我们从F中移走除了意见不一致点v和讨价还价解之外的任何点（注意：v是不能被剔除的，否则就不成其为“两人讨价还价问题”），根据公理5，新形成的两人讨价还价问题的解就是原来（F, v）的解。理解了这一点，我们会发现，公理5可以使讨价还价的求解程序形式化。因为Pareto强有效性要求（F, v）的解φ（F, v）一定位于闭凸集F的边界上，那么公理5要求φ（F, v）仅仅依赖于它的邻域内的边界形状，而与远处的F内的点无关。这反映了一个事实：在实际的谈判期间，可能被选择的可行配置集合随着谈判过程的进展而逐渐减小，最后，“讨价还价解”只是与跟它非常接近的方案进行竞争。

在满足这五个公理的情况下，纳什天才地证明了两人讨价还价问题存在唯一的讨价还价解，这就是著名的纳什讨价还价解。

定理2.1对于两人讨价还价问题（F, v），存在满足公理1—5的唯一讨价还价解，它是使纳什积（x1-v1）（x2-v2）达到最大的（x1, x2）。或者说，纳什讨价还价解是如下问题的解：

在证明定理2.1之前，先从直观的角度解释这个定理。若记（F, v）的纳什讨价还价解为N（F, v），在（x1, x2）平面上使纳什积等于常数c的曲线实际上是熟知的等轴双曲线：（x1-v1）（x2-v2）=c，该双曲线的轴通过“无法达成协议的点”v=（v1, v2）。我们在（x1, x2）平面上将坐标原点移到v=（v1, v2），如图2.3所示：

由于个人理性公理，在图2.3中，F在第Ⅰ象限为非空。显然，我们只需要关注F在第Ⅰ象限中的边界。要使（x1-v1）（x2-v2）达到最大值并使这个最大值点属于F，只需要使c递增，让等轴双曲线的右半支向坐标平面的右上方向（即“东北”方向）移动，直到双曲线与F的边界有一点相交，并且如果再增加c值就会发生不相交的现象。比如图2.3中的唯一交点就是N（F, v）。相应的（x1, x2）就是纳什讨价还价解。至于交点的唯一性，则由F的闭凸性得到保证，设想双曲线与F的边界有两个交点，那么这两个交点之间的连线部分必定属于F（因为F是凸的），此时我们还应该继续递增c。

上述直观描述使我们感觉到，使纳什积达到最大值的点一定存在并且唯一，但是并没有告诉我们这个点是满足五个公理的，同时，也没有说明它的确是讨价还价解。因此，定理的证明必须要回答这些问题。纳什的证明先从使纳什积达到最大值的点出发。

证明 不妨先考虑实质性的两人讨价还价问题（F, v），即，在F中至少存在一个y=（y1, y2）使得y1＞v1和y2＞v2。因为实质性的两人讨价还价问题使局中人看到合作的可能性。

首先，确定F中使纳什积（y1-v1）（y2-v2）达到最大值的点是唯一的。F的闭与凸的性质再加上“有界”这个特性保证了纳什积（y1-v1）（y2-v2）最大值点的存在性。并且F的凸性以及等轴双曲线的形状，使得这样的点是唯一的（这个证明是正确的，但缺少了一点严格性）。记这个点为x=（x1, x2）。至此，我们只证实了x=（x1, x2）是在F中唯一的使纳什积（y1-v1）（y2-v2）达到最大值的点。但并没有证实它是满足纳什公理的讨价还价解。为了解决这个问题，我们将通过变换，在另一个平面上观察（F, v）的映照。

由于（F, v）是实质性的，因此在F中至少有一个点的纳什积取正值，于是，达到最大值点处的纳什积一定不比这个值小，故最大的这个纳什积一定为正数。所以，x＞v，即x1＞v1, x2＞v2。当i=1,2时，令

由这些α, β出发，可以定义一个从二维空间到二维空间的映照L：

L将v=（v1, v2）映照到（0,0），由仿射变换的特性，F的映像F*={L（y）|y∈F}必定也是有界的闭凸集。显然，我们有

由此也可知，y平面上的等轴双曲线在z平面上的映像也是等轴双曲线。只不过y平面上的中心是v=（v1, v2），而z平面上的中心是（0,0）。事实上，我们很清楚，通过仿射变换，我们将y平面上的讨价还价问题（F, v）转化为z平面上的讨价还价问题（F*,（0,0））。

已经知道x是F中使纳什积（y1-v1）（y2-v2）达到最大值的点，由于α1和α2为正常数，因此，L（x）一定在F*中使z1z2达到最大值：α1α2（x1-v1）（x2-v2）=1。相应的最大值点为：z=L（x）=（α1（x1-v1）,α2（x2-v2））=（1,1）。在z平面上，双曲线z1z2=1必定过点（1,1），而且在点（1,1）处，其斜率等于（-1）。这是因为，因此，，当z1=1时，它等于（-1）。我们知道，斜率为（-1）且过点（1,1）的直线方程为z1+z2=2。易知，该直线是双曲线z1z2=1在点（1,1）处的切线，由于双曲线z1z2=1与F*只有一个交点（1,1），且双曲线位于凸集F*的右上方，从而直线z1+z2=2也必定位于F*的右上方。令，易见，E位于直线z1+z2=2的左下方，因此F*⊆E。

现在，我们考虑z平面上的两人讨价还价问题（E, （0,0）），这是一个最简单的两人讨价还价问题，可以理解为，两个人分总值为2的蛋糕，如果达不成一个令双方满意的协议，那么大家就两手空空。对于这个问题，求其解φ（E,（0,0））。

为了满足有效性和对称性，即，要求φ满足：φ1+φ2=2，且φ1=φ2，那么必有于是，φ（F, v）=x成立。这样，对实质性的两人讨价还价问题来说，如果要求解必须满足五个公理，那么解函数φ一定是在F中使得纳什积达到最大值的那个配置。

这个点满足Pareto强有效性是显然的。我们再要求这个解满足无关选择独立性，注意到F*⊆E，并且（1,1）∈F*，因此，实际上相当于要求（1,1）是讨价还价问题（F*,（0,0））的解，即，φ（F*,（0,0））=（1,1）。既然（1,1）是（F*,（0,0））的解，那么根据解的刻度同变性要求，使得（1,1）在y平面上的原像一定是（F, v）的解，也就是说，我们有

转而考虑非实质性的两人讨价还价问题，此时，在F中不存在点x，使得两个局中人的得益都严格地好于在不能达成协议时他们各自的收益。用数学的语言表述：在F中只可能存在这样的y：它满足y≥v，绝不可能成立y＞v。那么，由于F是凸集，至少有一个局中人i，使得在F中的点，只要y≥v，必定成立yi=vi。这个i是固定的，在F中不会存在两个点y, z，均满足y≥v, z≥v，但是却出现y1＞v1, y2=v2和z1=v1, z2＞v2。若不然，F的凸性保证了，而显然有。这意味着（F, v）是实质的，与假设矛盾！既然i是固定的，不妨令其为局中人1，即只要y≥v，必有y1=v1。对于非实质的（F, v），根据个人理性的要求，一定是从F中满足y≥v的子集中去找问题的解，不妨令这个子集为F°:F°={（v1, y2）|y2＞v2}。假如x是F°中令局中人2感到最满意的配置，那么x=（v1, x2）就是F°（因此也是在F）中唯一的Pareto强有效点。有效性与个人理性这两个公理要求（F, v）的解就是x，在非实质的两人讨价还价问题中，这个x的确使得纳什积达到最大值：（y1-v1）（y2-v2）=（x1-v1）（x2-v2）=0。其实，F°中的所有点都使纳什积达到最大值0。

可见，无论是实质的，还是非实质的，在两人讨价还价问题中，满足纳什公理的唯一的解函数φ一定使得纳什积达到最大值。其实，使得纳什积达到最大值的φ也一定满足纳什公理。我们仍然可以从仿射变换入手讨论，如果x使得纳什积达到最大值，那么利用x所作的仿射变换把x映射到（1,1），把v映射到（0,0），对称性与个人理性就是显然的事实。由于F的映像一定位于z1+z2=2的左下方，所以Pareto强有效公理也自然满足。事实上，不通过仿射变换也可以作一定的推断：等轴双曲线（y1-v1）（y2-v2）=c的形状（它的轴心为v）以及（对称的）F的有界闭凸性质一起隐含着使得纳什积达到最大值的φ满足对称性、个人理性与Pareto强有效性，这从我们对定理的直观阐述中也可以看到。而且在“缩小”的F°（但是仍然包含φ这一点）中，最大化纳什积的点当然仍是φ，因此，无关选择的独立性公理的满足是不言而喻的。至于刻度同变性，这仍然涉及仿射变换，不过我们已经知道，线性变换保证φ的映像仍然使得变换后的纳什积达到最大值。

纳什的公理系统里，最令人争议的是“无关选择的独立性公理”，我们将在本章后面讨论其他解时提到。