2.3 两人讨价还价问题

我们不妨把目光先局限于两人之间的讨价还价。两个局中人，如果合作，给他们双方各自带来的好处远远超过他们分别单干时的效用，这样大家都有与对手合作的激励，同时由于局中人的个人理性，他们又都希望从合作所产生的好处中，自己能多分一杯羹，因而产生了谈判和讨价还价，形成了两人讨价还价博弈的基本点。通俗地说，合作就是做大蛋糕；如何分配做大了的蛋糕，则要谈判。讨价还价问题就是需要给出一个分蛋糕的合理方案，正是这个方案，保证了两人愿意合作，确保共同得到大蛋糕。

现在，我们试图对两人讨价还价问题建立模型。

首先，应该认识到，讨价还价是对已有的（或者合作之后能得到的）利益或盈利的分配（或者是对共建成本的分摊）。如果两个局中人谈判导致合作，那么局中人1与局中人2一起共同产生的效用记为v（{1,2}），假设谈判的结果是局中人1获得x1（当然这个量应该不比局中人1单独一个人创造的财富v（{1}）小），局中人2获得x2（同样，这个量应该不比局中人2单独一个人创造的财富v（{2}）小），必定应该有x1+x2=v（{1,2}）。这样的（x1, x2）构成了一个分配（或配置），所有可能的（x1, x2）形成了博弈的“可行配置集”，记为F。显然，F是二维空间ℜ2的一个子集。而且它应当包含两个极端点：（v（{1, 2}）,0）和（0, v（{1,2}））。之所以说这两个点“极端”，是因为按照这样的配置，“大蛋糕”将被其中一个人独吞，另外一个人一无所有（一般地，总不能让人家倒欠蛋糕）。

假定（x1, x2）和（y1, y2）是F中的两个可行配置，两个局中人在这两个配置之间可以随机地进行选择，倘若他们乐意以概率θ（0≤θ≤1）接受x=（x1, x2），那么他们接受y=（y1, y2）的概率应该等于1-θ。这样进行了随机选择之后所得到的期望配置可以表示为θ（x1, x2）+（1-θ）（y1, y2），我们很合理地要求这个期望配置也是F中的一个可行配置，当θ从0向1连续变化时，期望配置θ（x1, x2）+（1-θ）（y1, y2）从y=（y1, y2）走向x=（x1, x2），且走遍这两点之间的连线，也就是说，我们要求连接x和y的线段上的每个点都是可行配置。这在数学上相当于要求可行配置集F是个凸集。它在应用中有着实际的含义。譬如，令x和y是两个局中人同等认可的两个可行配置，他们无法确定到底采用哪一个比较好，抛均匀钱币的随机装置可以把他们引向一个共同的分配方案，在抛钱币前预测他们的期望效用的配置为，这显然是一个可行配置。如果这个随机装置中的钱币不是均匀的，那么期望效用的配置为θ·x+（1-θ）y，它自然也应该是可行配置。

除了要求F是凸集之外，我们还将要求F是闭集，就是说，要求F的边界一定属于F。这个要求并不苛刻，即使对数学不太熟悉的读者也容易理解这一点：设想有一个可行配置的系列（x1（k）, x2（k））∈F,（k=1,2, …），如果当k→∞时，系列趋向一个极限点，把这个极限点认为也是一个可行配置应当是件很自然的事情。

考虑两人之间的讨价还价，这两个人肯定是博弈中的理性人，为了瓜分共同创造的财富而进行的讨价还价，最终每个局中人得到的份额一定不应该少于该局中人单干时所创造的财富，否则他又何必与对方合作呢？我们把这个基本要求称为“个人理性”。两人谈判成功，瓜分v（{1,2}），其配置是x=（x1, x2），如果无法使意见达成一致从而谈判失败，大家回到原来的不合作状态各干各的，得到的盈利向量记为（v1, v2），所以干脆称（v1, v2）为“意见不一致时的盈利配置”，或者称为“无法达成协议的配置”（disagreement payoff allocation）。v1和v2相当于这两个局中人在讨价还价过程中各自坚持的“底线”或者谈判的“筹码”，少于这个“底线”会导致局中人不愿意合作而使谈判失败。因此，对任意的可行配置x=（x1, x2），“个人理性”要求总是成立：x1≥v1和x2≥v2。

现在，我们可以对两人讨价还价问题进行数学上的严格定义了。两人讨价还价问题由“对偶”（F, v）组成，其中F是ℜ2中的一个闭凸子集，v=（v1, v2）是ℜ2中的一个点，并且

F∩ {（x1, x2）|x1≥ v1和x2≥ v2}

是非空有界集合。

这里，非空有界的要求是必需的。如果F∩{（x1, x2）|x1≥v1和x2≥v2}非空，说明在F中至少存在一个配置使得每个局中人合作之后得到的盈利不会比他们的“底线”差，已经讲过，这是讨价还价的基础，否则双方就没有任何必要进行谈判。此外，“有界”的假定也是必不可少的，否则将会出现超出“底线”并趋于无限的配置，无限的配置使得局中人陶醉，有这么好的前景放着，再去讨价还价就失去现实意义。

要有现实意义的当数“实质性的”（essential）（或称为“本质的”、“基本的”）两人讨价还价问题，它是指这样的（F, v）:F中至少存在一个y=（y1, y2），对于两个局中人来说，y严格地好于v:y1＞v1, y2＞v2。只有实质性的（F, v），才能激励局中人去讨价还价。

在两人讨价还价问题中，无法达成协议的配置v对于求合作博弈的解，有着至关重要的作用，因此，如何确定v在求讨价还价问题的解时显得十分重要。在稍后的讨论中就可以看到这一点，然而我们再去讨论如何确定它。目前，总是暂时认定v=（v1, v2）是客观存在的事实。