预备知识——流形上的度规

卡拉比所设想的空间不只是复流形，同时还必须具有一种称为“凯勒几何”[Kähler geometry，名称来自于德国数学家凯勒（Erich Kähler）]的特殊性质。黎曼面自动符合凯勒几何性质的要求，所以这个条件的真正意义，只在复二维以上的复流形才会显现出来。在凯勒流形里，空间在单一点上看来像是欧氏空间，而当你在偏离该点时，空间仍然会很接近欧氏空间，但会以一种特定的方式偏移。更精确一点说，是看起来像“复欧氏空间”，而不是单纯的古典欧氏空间，这意味着空间的维数必须是偶数，而且具有以复数表示的坐标值。这个区分很重要，因为只有在复流形上才能谈凯勒几何的性质，而凯勒几何又让我们可以用复数来计算距离。凯勒条件提示了该空间与欧氏空间相近的程度，而且这个标准和曲率并没有严格的关系。

要把一个流形与欧氏空间的相近程度予以量化，需要知道这个流形的度规。在所有坐标轴彼此垂直的平坦空间上，计算距离只需要用到毕氏定理。但在坐标轴并不必然垂直的弯曲空间中，事情就比较复杂，必须修正公式。此时距离的计算涉及了度规的系数，这是一组在空间中随位置不同，并且视坐标轴的取法而有所变化的数字。坐标轴的取法不同，度规的系数就会跟着改变。因此，度规系数本身的值并不那么要紧，因为它就某种意义来说是很任意的，真正重要的是这些系数在流形上如何随着位置的改变而变化。因为此一讯息透露出一个点和其他点的关系，这涵盖了你想知道的一切流形的几何性质。

我们在前几章提到过，四维空间需要10个度规系数。四维的度规张量是一个4 × 4矩阵，所以其实总共有16个数字。但是度规张量会沿着从左上到右下的对角线对称，即除了对角线本身的4个数，在它两边各有一组彼此相同的数字，每组6个数。由于这个对称性质，我们需要考虑的只有10个数（对角线4个，线的两边各是相同的6个），而不是16个数。

但我们还没解释度规是如何运作的。让我们以一个相对简单的例子来说明，这是实二维或复一维的例子：单位圆盘上的庞加莱度规（Poincaré metric）。单位圆盘是满足不等式x2+y2＜1的所有点（x, y）所构成的集合，也就是以原点为圆心，半径为1的圆的内部。这在术语里叫作开单位圆盘，因为它并不包括圆周，亦即由等式x2+y2=1所定义的单位圆。如果你将单位圆盘想成平面的一部分，使用普通测量距离的度量方式（也就是毕氏定理），那么这就只是高中解析几何的普通题材。因此重点是，我们要在这个圆盘上提供一个全新的度量方式，称为庞加莱度规。

因为圆盘是二维，庞加莱度规的度规张量是一个2×2矩阵。矩阵中的每个位置是一个写成Gij形式的系数，其中i代表列，j代表行。这个矩阵看来像这样：

G11 G12

G21 G22

由于前面提到过的对称关系，G12等于G21，而另外两个对角线上的数G11, G22则不一定相同。不过依照庞加莱度规的定义，两个非对角线的系数是零，而且G11等于G22，两者都等于

对圆盘中的任何一点（x, y），度规张量可以告诉你在该点的系数。以, 为例，G11和G22都等于16；另两个系数则和圆盘内任何一点（x, y）的G12和G21相同，都是0。

现在，有了这些系数后，我们可以做什么呢？它们和距离有什么关系？我们在单位圆盘内画一小条曲线。但是不要把曲线看成是静态的线，而把它想成是一小颗粒在某段时间内从A点移动到B点时所划出的轨迹。问题是，根据庞加莱度规，这段轨迹的长度是多少？

要回答这个问题，我们将曲线分割成尽可能短、类似直线的线段，分别计算其长度，再把它们加总起来。这些线段，每一段的长度都可以用毕氏定理来求得近似值。首先我们把点坐标的位置x, y定义成时间的函数，因此x=x(t), y=y(t)。位置对时间的导数是速度，乘上瞬间的短时间dt就是距离，所以将x′(t)×dt和y′(t)×dt当成直角三角形的两股；利用毕氏定理，可得该段曲线的长度大概是。本来把上式从A到B积（加）起来，就是整条曲线的长度。但因为我们考虑的是庞加莱圆盘，必须考虑度规的因素，因此所积的量必须是毕氏定理结果乘以度规，亦即

为了更进一步简化，假设y（t）都是0，所以曲线只是x轴的一部分。我们以0为起点，沿着x轴以等速移动到1。如果所花时间也是从0到1，那么x（t）=t，这表示在时间1单位等速移动1长度单位，所以速度x′（t）=1。另外，因为y（t）=0，表示在y方向上完全没有动，所以y′（t）=0。于是在前一段最后，要积分求距离的那串乘积，就可以简化成。很容易看出来，当（沿着x轴方向）让t靠近1时，的值会趋近于无穷大，事实上，它的积分也会趋近于无穷大。

有一点需要注意：即使度规系数（此处的G11和G22）趋近于无穷大，并不必然表示到边界的距离一定也会趋近于无穷大。但是在庞加莱度规的例子，情形确实如此。我们再仔细看看从原点往外移动时，这些度规系数的变化。当从原点开始时，x=0且y=0，所以G11和G22都等于4。而如果愈接近圆盘的边缘，也就是x平方与y平方的和愈接近1时，度规系数就会变得愈大，因而以庞加莱度规测量的线段长度也就愈大。例如沿着直线朝y=x或45度方向往圆盘边缘靠近时，当x=0.7且y=0.7时（半径大约0.99）, G11和G22约等于10000。当x=0.705且y=0.705时（半径约0.997）, G11和G22大约是100000；当x=0.7071且y=0.7071时（半径约0.99999）, G11和G22会超过100亿。

愈靠近庞加莱圆盘边界，这些系数不只是变大，而是接近无穷大，从原点到圆盘边界的距离也是如此。如果你是住在庞加莱圆盘上的一只往外爬的小虫子，我得告诉你一个坏消息：你永远爬不到圆盘的边界；好消息则是：其实你的损失也不大，因为以庞加莱圆盘这个空间而言，它其实是没有边界的。只有在我们把这个半径为1的开圆盘想成是平面上的普通圆盘，它才会以单位圆作为边界。但如果想成是以庞加莱度规来测量长度的庞加莱圆盘本身，这个圆盘并没有边界，任何想爬到边界的虫子，都只能抱憾而终。这个大家不熟悉，甚至有点违反直觉的事实，是来自于由庞加莱度规定义的单位圆盘所具有的负曲率。