1.3.4　无穷小量与无穷大量的关系

定理1-3（无穷大量与无穷小量的关系）　在自变量的同一变化过程中，有以下规律。

（1）如果f(x)为无穷大量，则为无穷小量；

（2）如果f(x)为无穷小量，且f(x)≠0，则函数为无穷大量。

即：；

。

由定理1-3可知，当x→0时，x3是无穷小量，而是无穷大量；当x→∞时，x+3是无穷大量，而是无穷小量。这说明无穷大量和无穷小量之间存在倒数关系。

【例1-18】指出下列哪些是无穷小量，哪些是无穷大量。

（1）2x2，x→0；

（2），x→0+；

（3）x2+100x+0.001，x→0；

（4）ln(x+1)，x→0；

（5）ex，x→+∞。

解：

（1）因为当x→0时，2x2→0，所以当x→0时，2x2是无穷小量；

（2）因为当x→0+时，无限增大，所以当x→0+时，是无穷大量；

（3）因为当x→0时，x2+100x+0.001→0.001，既不是趋近于0，它的绝对值也不是无限增大，所以当x→0时，x2+100x+0.001既不是无穷小量也不是无穷大量；

（4）因为当x→0时，ln(x+1)→0，所以当x→0时，ln(x+1)是无穷小量；

（5）因为当x→+∞时，ex无限增大。所以当x→0时，ex是无穷大量。

【例1-19】　函数在自变量怎样变化时是无穷小？在自变量怎样变化时是无穷大？

解：。

当x→1时，f(x)是无穷小量。

当x→∞时，f(x)是无穷大量。