1.4　食用油加工的线性规划模型案例

加工一种食用油需要精炼若干种原料油并把它们混合起来。原料油的来源有两大类共五种：植物油VEG1、植物油VEG2、非植物油OIL1、非植物油OIL2、非植物油OIL3。购买每种原料油的价格（英镑/吨）如表1-2所示，最终产品以150英镑/吨售出。

植物油和非植物油需要在不同的生产线上进行精炼。每月能够精炼的植物油不超过200吨，非植物油不超过250吨；在精炼过程中，重量没有损失，精炼费用可忽略不计。注意，最终产品必须符合硬度指标的技术条件。按照硬度计量单位，它必须为3.0～6.0。假定硬度的混合过程是线性的，且原料油的硬度数据如表1-3所示。

为使利润最大，建立数学模型制订月采购计划和加工计划。

问题分析

这个优化问题的目标是使得利润最大，而要做的决策是每月采购的各类原料油吨数。决策受到3个条件的限制：原料油的精炼能力、成品油的硬度要求以及决策变量属性。通过对原题进行分析后，可以得到如图1-5所示框架结构。按照题目所给条件将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及公式表示出来，就可以得到相应的数学模型。

模型假设

1.每种原料油的进价与进货量无关，最终成品油的售价与产量无关，且生产的成品油均可售出。

2.最终产品的硬度值是各种原料油硬度值的线性组合，且在精炼过程中没有重量损失。

3.每种原料油的采购吨数可以是任意非负实数。

模型设计

按照优化模型的三要素（决策变量、目标函数、约束条件）建立数学模型。设每月采购五种原料油(VEG1、VEG2、OIL1、OIL2、OIL3)的吨数分别为xm(m=1,2,3,4,5)，那么，购买各类原料油的成本可表示为c=110x1+120x2+130x3+110x4+115x5。由于精炼过程中重量没有损失，成品油重量可表达为。假设精炼的成品油均可售出，利润可表达为。因此，利润最大化的目标函数可以表示如下：

确立目标函数后，决策变量取值受到原料油精炼能力、成品油硬度要求、决策变量属性的限制。

• 原料油精炼能力的限制：每月能够精炼的植物油不超过200吨，每月能够精炼的非植物油不超过250吨。

• 成品油硬度要求的限制：最终产品硬度必须为3.0～6.0；而最终产品的硬度值是各种原料油硬度值的线性组合。因此，此约束条件可以表达如下：

• 决策变量属性的限制：xm均不能为负值，即xm≥0,m=1,2,…,5。

综上所述，所建立的食用油加工优化模型如下：

模型求解

在LINGO软件中输入如下代码求解上述线性规划模型：

运行如上程序，显示求解状态如图1-6所示。

图1-6显示：模型类型属于LP（线性规划模型），目标函数值的状态为Global Opt（全局最优解），目标函数最优值为17592.6，迭代次数为3次。模型运算的具体结果将显示在Solution Report如下：

模型运算的结果显示：当x1=159.2593,x2=40.74074,x4=250时，目标函数取得最大值17592.59，即采购植物油VEG1 159.2593吨、植物油VEG2 40.74074吨、非植物油OIL2 250吨，能够获得最大收益17592.59元。

为便于调用MATLAB软件求解上述线性规划模型，需将食用油加工问题的线性规划模型写成矩阵形式如下：

其中，A=[40 30 20 40 35]T,X=[x1x2x3x4x5]T，

然后，调用函数linprog求解线性规划模型。注意，函数linprog可用于求解目标函数最小化的线性规划模型。因此，当求目标函数最大化时，可采用取相反数的方式将最大化问题转化为最小化问题。代码如下所示：

运行上述程序，可以得到具体结果显示如下：

模型运算的结果显示：当x1=159.2593,x2=40.7407,x4=250时，目标函数取得最小值-17592.59，即原目标函数取得最大值17592.59。所得优化模型的决策变量与目标函数值和LINGO软件得到的结果相同。

采用MATLAB软件Optimizationtool工具箱求解上述线性规划模型时，模型结果显示如图1-7。

如果采用Python求解上述线性规划模型，程序如下所示：

运行上述程序，可得到具体结果显示如下：

模型运算结果显示：当x1=159.25926,x2=40.74074,x4=250时，目标函数取得最小值-17592.59，即原目标函数取得最大值17592.59，所得优化模型的决策变量与目标函数值与LINGO软件、MATLAB软件得到的结果相同。