第一节　函数

一、集合与区间

1.集合

定义1　一般地，把具有某种性质的对象的全体称为集合.其中的对象称为集合的元素.通常用大写英文字母表示集合，而用小写英文字母表示集合的元素.

若元素a是集合A的元素，则记为a∈A，读作a属于A；若元素a不是集合A的元素，则记为a∉A，读作a不属于A.

定义2　由有限个元素构成的集合称为有限集；由无限个元素构成的集合称为无限集；不含任何元素的集合称为空集.

集合的表示法有两种：

列举法:就是把集合的所有元素一一列出来，写在一个花括号内.例如，方程x²－1＝0的解集可以表示为S＝{－1，1}.

描述法:若集合A是由具有某种性质P的元素x的全体所构成，就可表示成A＝{x| x具有性质P}.例如，方程x²－1＝0的解集也可以表示为S＝{x| x²－1＝0}.

习惯上，我们用N表示自然数集，用Z表示整数集，用Q表示有理数集，用R表示实数集.

下面我们定义集合之间的关系：

定义3　设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊂B(读作A包含于B)或B⊃A(读作B包含A).如果集合A与集合B互为子集，即A⊂B且B⊂A，则称集合A与集合B相等，记作A＝B.

集合的基本运算有以下几种：并、交、差.

定义4　设A、B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集合，称为A与B的并集(简称并)，记作A∪B，即A∪B＝{x| x∈A或x∈B}；设A、B是两个集合，由所有属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集(简称交)，记作A∩B，即A∩B＝{x| x∈A且x∈B}；设A、B是两个集合，由所有属于A又不属于B的元素组成的集合，称为A与B的差集(简称差)，记作A－B，即A－B＝{x| x∈A且x∉B}.

由所研究的所有对象构成的集合称为全集，记为I.称I－A为A的余集或补集，记为.

2.区间和邻域

区间是用得较多的一类数集.设a和b都是实数，且a＜b.

定义5　(a，b)＝{x| a＜x＜b}称为开区间；[a，b]＝{x| a≤x≤b}称为闭区间；[a，b)＝{x| a≤x＜b}和(a，b]＝{x| a＜x≤b}称为半开区间.它们都是有限区间，数b－a称为这些区间的长度.此外还有所谓无限区间，引进记号＋∞(读作正无穷大)或－∞(读作负无穷大)，则[a，＋∞)＝{x| x≥a}和(－∞，b)＝{x| x＜b}都是无限区间.

邻域也是一个经常用到的概念.

定义6　以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a).设δ是任意正数，则开区间(a－δ，a＋δ)就是点a的一个邻域，这个邻域称为点a的δ邻域，记作U(a，δ)，即U(a，δ)＝{x| a－δ＜x＜a＋δ}.点a称为邻域的中心，δ称为邻域的半径.若把邻域U(a，δ)的中心去掉，所得到的邻域称为点a的去心δ邻域，记作，即＝{0＜ | x－a|＜δ}.

二、函数的概念

先给出映射的定义.

定义7　设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作f：X→Y，其中y称为元素x的像，并记作f(x)，即y＝f(x).

下面用映射给出函数的概念.

定义8　设数集D⊂R，则称映射f：D→R为定义在D上的函数，通常记为

y＝f(x)，　x∈D，

其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域.

函数定义中，对于每个x∈D，按对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在x处的函数值，记作f(x)，即y＝f(x).函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域，记作R.

表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的f外，还可用其他的字母，例如“φ”，“F”等，这时函数就记作y＝φ(x)，y＝F(x)等.

值得注意的是，在函数定义中，并不要求在整个定义域上只能用一个表达式来表示对应法则，我们把在不同的定义域上用不同的表达式来表示对应法则的函数称为分段表示的函数，简称为分段函数.

以下是几个分段函数的例子.

例1　绝对值函数

的定义域D＝(－∞，＋∞)，值域R＝[0，＋∞).如图1—1所示.

例2　符号函数的定义域D＝(－∞，＋∞)，值域R＝{－1，0，1}.如图1—2所示.

例3　取整函数y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数.如图1—3所示.

例如，[π]＝3，[－2.3]＝－3.

例4　狄利克雷函数

的定义域D＝(－∞，＋∞)，值域R＝{0，1}.

三、函数的几种特性

1.函数的有界性

定义9　设函数f(x)的定义域为D，数集X⊂D，若存在一个正数M，使得对一切x∈X，恒有

| f(x)|≤M，

则称函数f(x)在X上有界，或称f(x)是X上的有界函数.若这样的M不存在，则称函数f(x)在X上无界.

例如，函数y＝sin x在(－∞，＋∞)内有界，因为对任何实数x，恒有| sin x|≤1；函数在(0，1)上无界.

2.函数的单调性

定义10　设函数f(x)的定义域为D，区间I⊂D，如果对于区间I任意两点x₁及x₂，

当x₁＜x₂时，恒有

f(x₁)＜f(x₂)，

则称函数f(x)在区间I上是单调增加函数；如果对于区间I任意两点x₁及x₂，当x₁＜x₂时，恒有

f(x₁)＞f(x₂)，

则称函数f(x)在区间I上是单调减少函数.

例如，y＝x²在[0，＋∞)内是单调增加的，在(－∞，0]内是单调减少的，在(－∞，＋∞)内不是单调的，如图1—4所示；而函数y＝x³在(－∞，＋∞)内是单调增加的，如图1—5所示.

3.函数的奇偶性

定义11　设函数的定义域D关于原点对称.如果对于任意x∈D，f(－x)＝f(x)恒成立，则称f(x)为偶函数.如果对于任意x∈D，f(－x)＝－f(x)恒成立，则称f(x)为奇函数.偶函数的图形关于y轴是对称的，奇函数的图形关于原点是对称的.

例如，函数y＝sin x是奇函数；函数y＝cos x是偶函数；函数y＝sin x＋cos x即非奇函数也非偶函数.

4.函数的周期性

定义12　设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个正数l，使得对于任意x∈D有(x±l)∈D，且f(x＋l)＝f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期.通常周期函数的周期指的是最小正周期.

例如，函数sin x，cos x都是以2π为周期的周期函数.但并非每个周期函数都有最小正周期.

例5　狄利克雷函数

容易验证这是一个周期函数，任何正有理数都是它的周期，因为不存在最小的正有理数，所以它没有最小正周期.

四、反函数

定义13　设函数f：D→f(D)是单射，则它存在逆映射f^－1：f(D)→D，称此映射f^－1为函数f的反函数.

按此定义，对每个y∈f(D)，有唯一的x∈D，使得f(x)＝y，于是有x＝f^－1(y).通常都把x作为自变量，y作为因变量.因此可记为y＝f^－1(x)，x∈f(D).

例如，y＝x³，x∈R是单射，所以它的反函数存在，其反函数为，y∈R，记作y＝

从中学数学里还知道，函数y＝f(x)的图形与它的反函数y＝f^－1(x)的图形关于直线y＝x对称.

若函数f在D上是单调增加(或单调减少)的函数，则它在D上是一对一的函数，从而f 在D上有反函数，单调增加(或单调减少)函数的反函数也是单调增加(或单调减少)的.

五、复合函数及初等函数

1.复合函数

定义14　设函数y＝f(u)的定义域为D_f，函数u＝g(x)的定义域为D_g，且其值域R_g⊂D_f，则由下式确定的函数

y＝f[g(x)]，　x∈D_g，

称为由函数u＝g(x)与函数y＝f(u)构成的复合函数，它的定义域为D_g，变量u称为中间变量.

函数g与函数f构成的复合函数，即按先g后f的次序复合的函数，通常记为f◦g，即

(f◦g)(x)＝f[g(x)].

例6　设函数f(x)＝sin x，g(x)＝x²，求f◦g与g◦f.

解　f◦g＝f[g(x)]＝f(x²)＝sin(x²)，x∈R.

g◦f＝g[f(x)]＝g(sin x)＝sin² x，x∈R.

2.初等函数

在初等数学中已经讲过下面几类函数：

幂函数：y＝xμ(μ∈R是常数)；

指数函数：y＝a^x(a＞0且a≠1)；

对数函数：y＝log_a^x(a＞0且a≠1)；

三角函数：如y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x，y＝cot x等；

反三角函数：如y＝arcsin x，y＝arccos x，y＝arctan x，y＝arccot x等.

以上这五类函数统称为基本初等函数.

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如

等都是初等函数.在本课程中所讨论的函数绝大多数都是初等函数.

在工程技术中常用到下面的初等函数.

定义15　下面几个函数统称为双曲函数.

双曲正弦函数：

双曲余弦函数：

双曲正切函数：

双曲余切函数：

函数shx，thx，cthx是奇函数，函数chx是偶函数.

双曲函数有类似于三角函数的关系式.例如：

sh(x＋y)＝shxchy＋chxshy，

sh(x－y)＝shxchy－chxshy，

ch(x＋y)＝chxchy＋shxshy，

ch(x－y)＝chxchy－shxshy，

sh2x＝2shxchx，

ch2x＝ch²x＋sh²x，

ch²x－sh²x＝1.

六^∗、经济学中常用的函数

1.需求函数和供给函数

定义16　一种商品的市场需求量D与该商品的价格p密切相关，则

D＝f(p)，

称为需求函数.

一般地，需求量随价格上涨而减少.因此，需求量D是价格p的单调减少函数.

在企业管理和经济学中常见的需求函数如下：

(1)线性需求函数：D＝a－bp，其中b≥0，a≥0均为常数；

(2)二次曲线需求函数：D＝a－bp－cp²，其中a≥0，b≥0，c≥0均为常数；

(3)指数需求函数：D＝Ae^－bp，其中b≥0，A≥0均为常数.

定义17　一种商品的市场供给量Q与该商品的价格p密切相关，则

Q＝f(p)，

称为供给函数.

一般地，商品供给量随商品价格上涨而增加，因此，供给量Q是价格p的单调增加函数.常见的供给函数有线性供给函数、二次曲线供给函数、指数供给函数等.

2.成本函数

从事生产，就需要有投入，例如需要有场地、机器设备、劳动力、能源、原材料等.这些从事生产所需要的投入，就是成本.在成本投入中大体可分为两大部分，其一是在短时间内不发生变化或不明显地随产品数量增加而变化的，如厂房、设备，称为固定成本，其二是随产品数量的变化而直接变化的部分，如原材料、能源等，称为可变成本，生产x单位的产品时某种商品的可变成本与固定成本之和，称为总成本.

常见的总成本函数有线性成本函数、二次成本函数、三次成本函数等.

只给出总成本函数不足以说明企业生产情况的好坏，通常用生产x个单位产品时的平均成本，亦即生产x个产品时，单位产品的成本

期中C(x)为总成本.

3.收益函数和利润函数

收益是指商品售出后生产者获得的收入，常见的收益函数有总收益函数和平均收益函数.

定义18　总收益是销售者售出一定数量商品所得的全部收入，常用R表示.平均收益函数是售出一定数量商品时，平均每售出一个单位商品的收入，也就是销售一定数量商品时的单位商品的销售价格，常用表示.

设p为商品的价格，q为商品量(一般地，这个q对销售者来说就是销售的商品量，对消费者来说就是需求量)，于是有

定义19　生产一定数量的产品的总收入与总成本之差就是它的总利润.

若生产x单位的产品，则总利润为

L(x)＝R(x)－C(x).

平均利润为

例7　设生产某种商品x件时的总成本为C(x)＝20＋2x＋0.5x²(万元).若每售出一件该商品的收入是20万元，求生产20件商品时的总利润和平均利润.

解　由题意该商品的价格p＝20(万元)，故售出x件商品的总收入函数为

R(x)＝px＝20x.

因此，L(x)＝R(x)－C(x)＝20x－(20＋2x＋0.5x²)＝－20＋18x－0.5x².

当x＝20时，总利润为L(20)＝＝140(万元)，

平均利润＝7(万元).

习题1—1

1.求下列函数的定义域：

2.设求f(－2)，f(1)，f(0).

3.设，求f(f(x)).

4.试证下列函数在指定区间内的单调性：

5.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些即非奇函数也非偶函数?

6.下列函数中哪些是周期函数?对于周期函数，指出其周期：

(1)y＝sin² x；　　　　(2)y＝1＋tan x；　　　　(3)y＝cos4x.

7.求下列函数的反函数：

8.在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数：

9.设f(x)的定义域为D＝[0，1]，求下列函数的定义域：

(1)y＝f(sin x)；(2)y＝f(x²).

10.收音机每台售价为90元，成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为每台75元.

(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数；

(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数；

(3)某一销售商订购了1 000台，厂方可获利润多少?