- 微积分:第四版(大学本科经济应用数学基础特色教材系列)
- 周誓达编著
- 1896字
- 2025-02-18 04:19:52
§1.2 几何与经济方面函数关系式
由于主要用公式法表示函数,因此建立函数关系式就是找出函数表达式.
1.几何方面函数关系式
(1)矩形面积S等于长x与宽u的积,即
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特别地,正方形面积S等于边长x的平方,即
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(2)长方体体积V等于底面积(矩形面积)S与高h的积,即
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(3)圆柱体体积V等于底面积(圆面积)πr2(r为底半径)与高h的积,即
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侧面积(相当于矩形面积)S等于底周长2πr与高h的积,即
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例1 欲围一块面积为216m2的矩形场地,矩形场地东西方向长xm、南北方向宽um,沿矩形场地四周建造高度相同的围墙,并在正中间南北方向建造同样高度的一堵墙,把矩形场地隔成两块,试将墙的总长度Lm表示为矩形场地长xm的函数.
解:已设矩形场地长为xm、宽为um,如图1-3.
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图1-3
由于矩形场地面积为216m2,因而有关系式xu=216,即
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所以墙的总长度
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例2 欲做一个底为正方形、表面积为108m2的长方体开口容器,试将长方体开口容器的容积Vm3表示为底边长xm的函数.
解:已设长方体开口容器底边长为xm,再设高为hm,如图1-4.
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图1-4
由于长方体开口容器表面积为108m2,它等于下底面积x2与侧面积4xh之和,因而有关系式x2+4xh=108,即
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所以长方体开口容器容积
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由于底边长x>0;又由于高h>0,即,得到
,因而函数定义域为
例3 欲做一个容积为V0的圆柱形封闭罐头盒,试将圆柱形封闭罐头盒表面积S表示为底半径r的函数.
解:已设圆柱形封闭罐头盒底半径为r,再设高为h,如图1-5.
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图1-5
由于罐头盒容积为V0,因而有关系式πr2h=V0,即
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由于上、下底面积分别为πr2,侧面积为2πrh,所以圆柱形封闭罐头盒表面积
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2.经济方面函数关系式
(1)在生产过程中,产品的总成本C为产量x的单调增加函数,记作
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它包括两部分:固定成本C0(厂房及设备折旧费、保险费等)、变动成本C1(材料费、燃料费、提成奖金等).固定成本C0不受产量x变化的影响,产量x=0时的总成本值就是固定成本,即C0=C(0);变动成本C1受产量x变化的影响,记作C1=C1(x).于是总成本
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(2)在讨论总成本的基础上,还要进一步讨论均摊在单位产量上的成本.均摊在单位产量上的成本称为平均单位成本,记作
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(3)产品全部销售后总收益R等于产量x与销售价格p的积.若销售价格p为常数,则总收益R为产量x的正比例函数,即
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若考虑产品销售时的附加费用、折扣等因素,这时作为平均值的销售价格p受产量x变化的影响,不再为常数,记作p=p(x),则总收益
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(4)产品全部销售后获得的总利润L等于总收益R减去总成本C,即
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(5)销售商品时,应密切注意市场的需求情况,需求量Q当然与销售价格p有关,此外还涉及消费者的数量、收入等其他因素,若这些因素固定不变,则需求量Q为销售价格p的函数,这个函数称为需求函数,记作
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一般说来,当商品提价时,需求量会减少;当商品降价时,需求量就会增加.因此需求函数为单调减少函数.
在理想情况下,商品的生产既满足市场需求又不造成积压.这时需求多少就销售多少,销售多少就生产多少,即产量等于销售量,也等于需求量,它们有时用记号x表示,也有时用记号Q表示.本门课程讨论这种理想情况下的经济函数.
例4 某产品总成本C万元为年产量xt的函数
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其中a,b为待定常数.已知固定成本为400万元,且当年产量x=100t时,总成本C=500万元.试将平均单位成本万元/t表示为年产量xt的函数.
解:由于总成本C=C(x)=a+bx2,从而当产量x=0时的总成本C(0)=a,说明常数项a为固定成本,因此确定常数
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再将已知条件:x=100时,C=500代入到总成本C的表达式中,得到关系式
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从而确定常数
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于是得到总成本函数表达式
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所以平均单位成本
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例5 某产品总成本C元为日产量xkg的函数
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产品销售价格为p元/kg,它与日产量xkg的关系为
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试将每日产品全部销售后获得的总利润L元表示为日产量xkg的函数.
解:生产xkg产品,以价格p元/kg销售,总收益为
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又已知生产xkg产品的总成本为
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所以每日产品全部销售后获得的总利润
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由于产量x>0;又由于销售价格p>0,即,得到0<x<138,因而函数定义域为0<x<138.
上述讨论的目的不仅是建立几何与经济方面函数关系式,而是在此基础上继续研究它们的性质,其中一个主要内容是求它们的最值点,即讨论几何与经济方面函数的优化问题:在例1中,矩形场地长x为多少时,才能使得墙的总长度L最短;在例2中,长方体开口容器底边长x为多少时,才能使得容器容积V最大;在例3中,圆柱形封闭罐头盒底半径r为多少时,才能使得罐头盒表面积S最小;在例4中,年产量x为多少时,才能使得平均单位成本-C最低;在例5中,日产量x为多少时,才能使得每日产品全部销售后获得的总利润L最大.这种问题将在§3﹒7得到解决,在这种意义上,建立几何与经济方面函数关系式是为§3﹒7做准备的.