第1章　不确定性的六个时代

不确定：不明确或不完全清楚的状态；不能肯定或含糊不清的。

——《牛津英语词典》

不确定性并不总是坏事。我们有时喜欢“意料之外”——只要它们是令人愉快的。正如许多人喜欢赛马，但倘若一开始就知道谁会赢，那么大多数竞赛就会乏味不堪。有些准父母并不愿意提前知晓宝宝的性别。我猜想，我们大多数人不愿意提前知道自己的死期，更不愿意知道死亡将如何降临。但这些都是例外。生活就像一张彩票。不确定性常常滋生怀疑，而怀疑会让我们不舒服，因此，我们希望减少，甚至消除不确定性。我们担心将要发生的事情。即便已经知道天气是出了名的不可预测，而且预报还常常出错，我们仍然关注天气预报。

当我们看电视新闻、读报纸或上网“冲浪”时，那些将要发生的事件的不可知程度可能会令我们难以应对。飞机偶尔发生空难；地震和火山喷发能摧毁一个社区，乃至城市的大部分地区；金融业伴随着繁荣与萧条——尽管我们说的是“繁荣与萧条循环”，实际指的是繁荣后会萧条，萧条后会繁荣，但我们并不知道它们会在什么时候发生转换。我们也可以说“雨季和旱季循环”，并号称能预报天气。当选举来临时，我们还会密切关注民意调查，希望了解谁有可能获胜。近些年来，民意调查似乎变得不那么靠谱，但它仍能“摆布”我们的心情。

有时候，我们并不只是不确定，我们还不确定哪些是我们应该不确定的。大多数人担心气候变化，但也有少数人直言不讳地坚称这完全是一场骗局——它是由科学家（那些无法组织一场骗局来救自己命的人）、某个机构，甚至是火星人炮制的……此类阴谋论任你选择。不过，即使是预测了气候变化的气候学家们，也无法确定其确切影响。不过，他们确实对影响的总体情况有相当明确的证据，这些证据实际上也已足够警示人们。

我们不仅无法确定大自然会给我们什么，也不太确定在对自己做些什么。全球经济仍在遭受 2008 年金融危机的影响，而引发这场危机的那群家伙依然和过去一样经营着自己的生意，而这很可能会再次引发更大的金融灾难。我们对如何预测全球金融知之甚少。

在经历了一段（在历史上罕见的）相对稳定的时期后，世界政治正变得越来越支离破碎，旧有的确定性正在动摇。通过一连串虚假信息，真相被“假新闻”所吞没。可以预料，那些对此怨言最多的人往往是造假的罪魁祸首。互联网非但没有使知识大众化，反而让人们接受了无知和偏见。赶走守门人，只会使大门失去作用。

人类一直处于混乱之中，即便在科学领域，大自然服从于精准规律的旧观念也已让位于更灵活的观点。我们可以找到近似正确的规则和模型（在某些领域，“近似”是指“精确到小数点后 10 位”；而在另一些地方，它的意思则是“介于小 和大十倍之间”），但它们永远只是暂时的，一旦出现新证据，这些规则和模型就会被替代。混沌理论告诉我们，即使完全遵循一些严格的规则，结果也有可能是不可预测的。量子理论同样指出，当深入宇宙的最小尺度时，其本质也是不可预测的。不确定性不仅仅是人类无知的表现，世界就是由它构成的。

像很多人一样，我们或许只能对未来持宿命论的态度。然而，大多数人会对这种生活方式感到不舒服。如果我们怀疑某些事情可能导致灾难，并有些许预感，那么灾难或许可以避免。当我们面对不喜欢的事物时，常见的自然反应要么是防范它，要么是试着改变它。但是，当我们不知道会发生什么的时候，应该采取怎样的预防措施呢？“泰坦尼克号”沉没后，船只被要求配备更多的救生艇。然而，救生艇的自重导致了“伊斯特兰号”邮轮在密歇根湖倾覆，一共有 848 人遇难 1。意外后果定律可以挫败最良好的意愿。

1“伊斯特兰号”邮轮（S. S. Eastland）倾覆事件发生在 1915 年，遇难人数应为 844 人。——译者注

因为我们是受时间约束的动物，所以会担心未来。我们能强烈意识到自己在时间上所处的位置，我们预测未来，并根据这些预测进行当下的活动。虽然没有时间机器，但我们经常会表现得就像拥有这种机器，所以会在未来的事情发生之前就采取行动。当然，今日所做的一切的真正原因并不是明天的婚礼、暴风雨或房租账单，而是我们当前相信它会发生。通过进化和个人学习，大脑让我们选择今天的行动，是为了让明天生活得更轻松。大脑是决策机器，对未来做出猜测。

大脑会在瞬间做出一些决策。当板球运动员或棒球运动员接球时，从他们的视觉系统检测到球到其大脑计算出球处在哪个位置，其间确实存在一个微小的时延。值得注意的是，这些运动员通常能接住球，因为他们的大脑非常善于预测球的轨迹。倘若他们漏了一个明显容易接住的球，那要么是预测出错，要么是动作失误。整个过程出于下意识，并且显然是一气呵成的，所以我们并没有注意到自己完全生活在一个比自己的大脑快一秒的世界里。

其他的决策可能会提前几天、几周、几个月、几年甚至几十年做出。我们按时起床，坐公共汽车或火车去上班。我们为明天或下周的饭菜购买食材。我们为即将到来的公众假期做全家出游的计划。每个人此刻都在为将来做准备。在英国，富有的父母在孩子出生前就为他们安排了上流学校；更有钱的人则会种下需要几百年才能长成大树的树苗，这样，他们的曾曾曾曾孙便会拥有令人羡慕的风景。

大脑是如何预测未来的呢？它构造了一个关于世界（可能）怎样运转的简易内化模型。它把已知输入模型，并观察结果。如果我们发现地毯在滑动，那么其中的某个模型会告诉我们，这可能会带来危险，它会导致人被绊倒并从楼梯上摔下来。我们需要采取防范措施，把地毯固定住。这一具体的预测是否正确并不重要。事实上，倘若我们把地毯摆放妥当，预测就不可能正确，因为输入模型的条件已不再适用。然而，通过观察在类似情况下如果没有采取防范措施会发生什么来改进，进化论和个人经验可以测试这个模型。

这类模型并不必精确描述世界是如何运转的。相反，它们差不多是关于世界如何运转的信念。因此，经过数万年，人类的大脑进化成了一台机器，它根据自身关于会产生什么样的结果的信念来做出决定。因此，人类最早学会的应对不确定性的方法之一，就是对控制大自然的超自然物种建立起体系化的信念，这一点毫不奇怪。我们知道自己无法掌控大自然，它总是让我们大吃一惊，并且经常令人不愉快，所以我们有理由假设一些非人类实体——灵魂、幽灵、男神、女神——在背后操控。不久之后，一个特殊阶层出现了，他们声称可以向神求情，帮助我们这些凡人实现愿望。那些号称能预知未来的人——先知、预言家、算命师、神谕家——成了部落里备受重视的成员。

这是第一个充满不确定性的时代。人们发明了信仰体系，而且它变得越来越精细，因为每代人都想加深它的印象。人们将自然的不确定性合理化为神祇的意志。

人类这种主动面对不确定性的第一个时代持续了数千年。有证据表明，不管发生了什么，神祇的意志都是可信的。倘若众神高兴，好事就会发生；如果他们生气，灾难就会降临。作为证据，如果好事发生在你身上，那么你显然取悦了神；如果坏事发生，那就是你有过错让神生气了。因此，神的信仰与道德律令紧紧交织在了一起。

最终，越来越多的人开始意识到，这种灵活的信仰体系并不能真正解释任何事情。如果天空呈现蓝色是神造就的，那么它也可以是粉色或紫色的。人类开始探索一种不同的思考方式来理解世界，它基于可观测的证据是否支持逻辑推理。

这就是科学。它用高空大气中的光经由细微尘埃散射来解释天空为什么是蓝的。它没有解释为什么蓝色看起来是蓝的，这一点正由神经科学家们尝试解决，科学从来不会声称了解一切。随着科学的发展，它取得的成功越来越多，但也伴随着一些可怕的失败；它开始在某些方面赋予我们控制大自然的能力。19 世纪发现的电与磁之间的关系，是真正革命性地将科学转化为几乎影响每个人生活的技术的最早例子之一。

科学告诉我们，大自然并不像我们想象的那么不确定。行星不会因为神的一时兴起而在空中游荡，除了彼此之间的微小干扰之外，它们沿着标准的椭圆轨道运行。我们可以计算出这是什么样的椭圆，搞清那些微小扰动的影响，并预测出某颗行星在几个世纪后的位置。事实上，无论过去还是现在，它们都受限于混沌动力学。既然自然规律是存在的，我们就可以发现它们，并利用它们来预测将要发生的事。令人不安的不确定感让位于一种新信念：如果我们能梳理出基本规律，那么大多数事情是可以解释的。哲学家们开始怀疑，整个宇宙是否只是这些规律在亿万年里运行的结果。或许，自由意志是一种幻觉，一切都只是一台上了发条的巨大机器。

也许不确定性只是暂时的无知。只要通过足够的努力和思考，一切都会变得清晰明了。这是不确定性的第二个时代。

科学也迫使我们找到一种有效的方法，去量化某个事件的确定性或不确定性，这就是概率。对不确定性的研究成了数学领域的一个新分支，本书的主要目的就是讲述人们如何利用各种数学方法，去探求一个更加确定的世界。许多别的领域，比如政治、伦理和艺术，也为此做出了贡献，但我将把重点放在数学上。

概率论是从两类截然不同的人——赌徒和天文学家——的需求和经历中发展起来的。赌徒想要更好地把握“胜算”，天文学家则希望通过不完美的望远镜获得准确的观测结果。随着人类不断深入理解概率论的某些概念，这门学科拓展了其最初的使用范围，它不仅告诉我们用骰子赌博和小行星轨道的情况，而且还包括最基础的物理学原理。每隔几秒钟，我们就会吸入氧气和一些别的气体。构成空气的大量分子就像迷你台球一样四处弹跳。如果它们都聚集在房间的某个角落，而我们正好在另一处，那么我们就会有麻烦。从理论上讲，这种情况是可能发生的，但概率论的定理告诉我们，这种情况极其罕见，实际上它从未发生过。根据热力学第二定律，空气是均匀混合的，这个定律通常还被解释为宇宙总是变得越来越无序。热力学第二定律与时间流动的方向之间也存在某种似是而非的联系。它很深奥。

热力学是一个诞生得相对较晚的科学领域。当它出现时，概率论已经用于人类生活的方方面面——出生、死亡、离婚、自杀、犯罪、身高、体重和政治。统计学作为概率论的一个应用分支由此产生。它为我们提供了强大的分析工具，来处理从麻疹流行到人们将如何在即将到来的选举中投票等各种事务。它为我们向混乱不堪的金融世界射出了一线光明，尽管这丝光明并没有达到我们的期许。统计学告诉我们，人人都是漂浮在概率海洋上的生物。

在不确定性的第三个时代里，概率以及作为其应用分支的统计学占据了主导地位。

20 世纪初，不确定性的第四个时代轰轰烈烈地到来了。在此之前，我们遇到的所有形式的不确定性都有一个共同特征：它们反映了人类的无知。如果对某件事情不确定，那是因为我们没有掌握预测所需要的信息。比如抛硬币，它是随机性的传统标志之一。然而，硬币是一种非常简单的“机械装置”，而机械系统具有确定性，任何确定性的过程原则上都是可预测的。如果我们知道对硬币的所有作用力，比如硬币的初速度和方向、旋转速度和旋转轴，那么就可以用力学定律来算出它落地时哪面朝上。

基础物理学的新发现迫使我们修正这个观点。硬币或许是这样的，但有时我们根本无法获取需要的信息，因为连大自然自己也不知道这些信息。大约在 1900 年，物理学家们开始在非常小的尺度上理解物质的结构——不仅是原子，还有原子分裂形成的亚原子粒子。艾萨克·牛顿（Isaac Newton）在运动和引力定律上取得突破，由此诞生了经典物理学，它让人类对物理世界有了广泛的理解，并通过精度越来越高的测量加以验证。在所有理论和实验之外，看待具化世界的方式有两种——粒子性和波性。

粒子是一种微小的物质块，具有精确的定义和位置。波就像水面上的涟漪，是一种扰动；它比粒子短暂，并且能延伸到更广阔的空间区域。通过假设行星是一个粒子，可以计算行星轨道，因为行星和恒星之间的距离如此之大，以至于如果你把所有东西都缩小到人类的尺度，行星就会变成粒子。在空气里传播的声音是对空气的一种扰动，所有空气都几乎驻留在原来的位置，因此它是一种波。粒子和波是经典物理学的标志，它们泾渭分明。

1678 年发生了一场关于光的本质的大论战。克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）向巴黎科学院提出了“光是波”的理论。牛顿则确信光是粒子流，并且他的观点占了上风。最终，在走了一百年的弯路之后，新的实验“解决”了这个问题。牛顿错了，光是波。

大约在 1900 年，物理学家们发现了光电效应：光照射在某些金属上时，会产生小电流。阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）由此推导出光是一束微小的粒子，它们被称为光子。牛顿一直都是对的。但是牛顿的理论被抛弃也很合理：大量的实验清楚地表明，光是一种波。于是，争论再起。光是波还是粒子？最终的答案是“两者都对”。光有时像粒子，有时像波，它取决于做什么实验。这一切都非常神秘。

有些先驱者很快就发现了理解这个谜题的方法，量子力学由此诞生。物质所有的经典的确定性，比如粒子的位置和运动速度，被证明在亚原子尺度下都不适用。量子世界充满了不确定性。你越精确地测量一个粒子的位置，就越无法确定它移动的速度。更糟糕的是，关于“它在哪里”这个问题，也没有很好的答案。你能尽力做到的，就是描述它在某个给定位置的概率。量子粒子根本就不是粒子，它只是一团模糊的概率云。

物理学家对量子世界的探索越是深入，一切就变得越发模糊。他们可以用数学描述量子世界，但那些数学都很古怪。在几十年里，他们已经开始确信量子现象的随机性是不能被约化的。量子世界确实是由不确定性构成的，它不存在缺失的信息，也没有更深层次的描述。“闭嘴，乖乖计算”成了一句口号，不要问“它到底是什么”这类尴尬的问题。

当物理学沿着量子理论之路发展时，数学也为自己开辟了新的道路。过去，我们认为随机过程的对立面是确定性过程——给定现在，只有一种未来是可能的。当数学家和一些科学家意识到确定性系统也会不可预测的时候，我们进入了不确定性的第五个时代。这就是混沌理论，它也是大众媒体对非线性动力学的称呼。倘若数学家能更早地发现这一充满活力的概念，那么量子理论的发展或许会大不相同。事实上，确实有一个关于混沌的例子是在量子理论出现之前被发现的，但它被当作一个孤立的奇物。直到 20 世纪六七十年代，才出现了清晰明确的混沌理论。尽管如此，出于一些表达上的原因，我将把混沌放在量子理论之前讨论。

“预测是非常困难的，尤其是对未来的预测。”这是物理学家尼尔斯·玻尔（Niels Bohr）说的——抑或是约吉·贝拉（Yogi Berra）说的？看，我们甚至连这一点都无法确定 [1]。它并不像听起来那么有趣，因为预测和预言是不一样的。科学中的大多数预测是预言某一事件会在特定条件下发生，但并不知道它会在什么时候发生。我可以预测“地震会发生”，是因为应力在岩石中累积，而这种预测是可以通过测量应力来验证的。但这并不是预言某次地震的方法，因为预言它需要提前确定它会在什么时候发生。我们甚至还有可能“预测”过去确实发生过的某个事件，它是对某个理论的合理检验，除非有人回溯早先的记录，否则没有人会注意到它。我知道这通常被称为“后测”，但对检验科学假设来说，它们是一回事。1980 年，路易斯（Luiz）和沃尔特·阿尔瓦雷斯（Walter Alvarez）预测，在 6500 万年前，曾有一颗小行星撞击过地球，恐龙由此灭绝。这是一个真正的预测，因为在此之后，他们能寻找地质和化石记录作为证据，来支持或否定它。

在加拉帕戈斯群岛上，几十年来的观测表明，某些种类的达尔文雀的喙的大小是完全可以预测的——只要你能预言年平均降雨量。喙的大小会随着每年的干湿情况而变化。在干旱的年份，种子更坚硬，所以需要更大的喙；而在潮湿的年份，小喙的效果则更好。在这里，喙的大小是有条件可预言的。如果某个可靠的神谕告诉我们明年的降雨量，那么我们就可以很有把握地预言鸟喙的大小。这与鸟喙的大小是随机的完全不同。倘若它是随机的，那就无法从降雨量推出。

系统的某些特性是可预测的，而另一些特性则是不可预测的，这种情况并不罕见。我最喜欢用天文学举例。2004 年，天文学家宣布，一颗名为阿波菲斯 99942 的小行星（毁神星）可能会在 2029 年 4 月 13 日与地球相撞，倘若恰好错过，那么第二次相撞可能会在 2036 年 4 月 13 日。一位（幽默专栏的）记者问道：“既然他们不知道年份，怎么反而能对日期如此确定呢？”

你能停下来想一想为什么吗？提示：什么是一年？

答案很简单。当小行星的轨道与地球的轨道相交或者几乎相交时，就会有相撞的可能。随着时间的推移，这些轨道会发生细微变化，进而影响两个天体之间相互接近的程度。如果没有足够的观测资料来精确掌握小行星的运行轨道，我们就无法确定它会离地球有多近。天文学家有足够的轨道数据来排除未来几十年里的大部分年份，但无法确定 2029 年和 2036 年的情况。相较而言，可能发生相撞的日期则完全不同。一年过后，地球回到轨道的（几乎）相同位置。这就是所谓“年”的定义。特别的是，我们的地球每隔一年就会接近小行星轨道和地球轨道的交点；也就是说，它们是每年的同一天（如果时间接近午夜，就可能提前或延后一天）。碰巧的是，这一天恰好是和阿波菲斯 99942 有关的 4 月 13 日。

所以玻尔或贝拉都是完全正确的，他们的表述意义深远。即使非常详细地掌握了事物的运作方式，我们依然可能无法知道下周、明年或是下一个世纪会发生什么。

如今，我们已经进入了不确定性的第六个时代，其特征是认识到不确定性形式多样，而每种形式在某种程度上又都是可以理解的。我们现在拥有一个庞大的数学工具箱，它可以帮助我们在一个依旧充满着可怕的不确定性的世界里做出明智的选择。快而强大的计算机使我们能够迅速、准确地分析大量数据。“大数据”风靡一时，尽管时下我们更擅长的是收集数据，而不是用它去做有用的事。计算模型可以增强我们的心智模型。我们在一秒钟内完成的计算量，比历史上所有用纸笔做计算的数学家们都大得多。结合对各种不确定性所运用的数学方法，以及由复杂算法得到的模式和结构，或者仅仅量化不确定性的程度，我们便可以在一定程度上“驯服”这个不确定的世界。

我们比过去更善于预言未来。当天气预报说明天不会下雨，实际上却下雨时，我们还是会生气；但自从高瞻远瞩的科学家刘易斯·弗赖伊·理查森（Lewis Fry Richardson）在 1922 年完成《用数值方法进行天气预报》以来，天气预报的准确度有了很大的改善。预报不仅变得更好，还会附上对正确率的评估。当天气网站上说“下雨的概率有 25%”时，它指的是在相同的预报中，有 25% 的预测称会下雨。如果它说“下雨的概率是 80%”，那么很可能五次预测里面有四次是对的。

当英格兰银行发布通货膨胀率变化的预报时，它同样提供了评价其数学建模者预报可靠性程度的估计。它还找到了一种向公众展示估计值的有效方法：绘制一幅“扇形图”来预言通胀率随时间的变化，但它不是一根孤零零的曲线，而是一条阴影带（图 1-1）。随着时间的推移，条带变得越来越宽，这表明精确程度在下降。墨色的深浅表示概率水平：深色区域比淡色区域可能性更大。阴影区域覆盖了 90% 的可能预报。

图 1-1　英格兰银行的这幅通货膨胀扇形图，表示根据 2010 年 2 月消费价格指数对通货膨胀进行的预测

这里的信息有两重含义。第一，随着理解的不断深入，预测可以变得更加准确。第二，我们可以通过计算预测的可靠性来控制不确定性。

人们也开始悟出第三重含义。有时不确定性实际上是有用的。为了更好地使用设备和流程，许多技术领域故意制造出一些可控的不确定性。为了找到某些工业问题的最佳解决方案，人们使用随机干扰的数学技术，以避免总在邻近的范围里比较最佳策略，但这样做比在较大的范围里寻找策略的效果差。随机改变天气的记录数据能提高天气预报的准确性，卫星导航系统使用伪随机数字串以避免电子干扰带来的问题，而太空任务则利用混沌理论节省昂贵的燃料。

尽管如此，正如牛顿所说，我们仍然是“在海边玩耍的孩子”，“发现了比寻常更光滑的卵石或更漂亮的贝壳，而摆在眼前的真理之海却仍未被发现”。许多深层次的问题仍然没有答案。我们并没有真正理解全球金融体系，尽管这个星球上的一切都要依赖它。人类的医学专业知识能让我们尽早发现大多数流行病，可以采取措施减轻它们的影响，但我们并不总能预言它们会如何传播。每隔一段时间就会有新的疾病出现，而我们永远无法确切知道下一次疾病会在何时何地暴发。我们可以精确地测定地震和火山喷发，但是地震和火山喷发的预报记录就像我们脚下的地面一样起伏不定。我们对量子世界了解得越多，就有越多的迹象表明，某些更深层次的

理论可以使其表面上的悖论变得更加合理。量子的不确定性不能通过增加更深层的现实来解决，对此物理学家已经给出了数学证明。但这些证明包括了一些假设，它们还有待进一步研究，并且其漏洞不断地被发现。经典物理学的新现象与量子之谜有着不可思议的相似之处，而我们知道它们的工作原理与不可约的随机性无关。倘若我们在发现量子的奇异性之前就知道它和混沌理论，那么今天的量子理论可能会很不一样。或者我们也许已经浪费了几十年去寻找那并不存在的决定论。

我把这一切都整整齐齐地归纳进了不确定性的六个时代里，但实际情况并不是那么整齐划一的。那些最终被证明非常简单的原理，都是以复杂且令人困惑的方式出现的。其中有出人意料的百转千折，有大跳跃式的进步，当然也走进过死胡同。某些数学上的进展后来被证实没什么干系，还有一些进展则在人们意识到它们的重要性之前，已经被遗弃许久。甚至在数学家之间也存在思想上的分歧，而政治、医学、金钱以及法律有时也会卷入其中。

按时间顺序来讲述这种故事是不明智的，即使在单独的章节里也不能这样。思想的脉络比时间顺序更重要。特别需要说明的是，我将在第四个时代（量子时代）之前讨论第五个时代（混沌时代）。我还会在讨论更古老的基础物理学发现之前，先聊聊统计学的现代应用。书里还会有一些有趣的谜题、一些简单的计算，以及一些惊喜。然而，这一切都是有原因的，它们彼此衔接。

欢迎来到不确定性的六个时代。