前言

在生物学和生命科学的研究中，一个重要的研究方向就是细胞生物学．这个学科重在研究细胞生命活动规律及其机制，主要在分子、细胞、组织和个体水平进行研究，探索体内环境中细胞的结构、功能、表型及其调控机制，通过各类技术和方法的使用，阐明生物体表型和功能异常产生的细胞生物学机制．

在2019年10月国家自然科学基金委员会以“植物发育可塑性的细胞生物学基础”为主题的双清论坛上，各类报告涉及生物学、化学、数学和物理学等多个学科．与会专家学者提出该领域亟待解决的重要基础科学问题和急需发展的先进技术，包括重点研究细胞壁等细胞发育可塑性的结构基础，着眼于从细胞的分裂和形变理解植物器官的三维形态建立，以及建立适用于植物研究的高精度细胞结构解析技术等．细胞作为生物体的构成单位，在生物体的生命周期过程中不断生长、分裂，再生长和分裂，如此循环往复，直至周期结束．生物的多样性决定了细胞生长和演化形式的多样性，通常是生命形式越复杂，其细胞的演化过程也就越复杂，这给研究细胞演化机制和机理带来困难．

实验研究是一种借助于各种各样的仪器对实验室或环境中的各种生命体进行研究的基本方法，也是较为直观的方法．而从实验上升而来的理论不断提升着人类对生命基本原理的理解和认识．在理论化的过程中，数学方法的引入和使用对生物学的研究起到重要作用．通常所说的生物数学包括生物学的数学模型和数学方法，涵盖统计学的概率与随机过程、微分方程（含偏微分方程）建模和分析、信息学，以及系统论和控制论等．在实验研究中使用较多的通常是与统计分析相关的理论，而微分方程建模研究一般多见于宏观层面，例如种群的发展与衰亡．而随着图像技术发展，其在生物学特别是在医学上的应用也蓬勃发展起来，诞生了诸如生物和医学图像学（即影像学）等学科．

本书的内容是作者近年来完成的一些关于生物学方面细胞分裂机理的探索性成果．为了读者阅读方便起见，本书在写作上尽量考虑了内容的完整性．除了对变分学相关理论内容介绍之外，主要还有两部分内容，一部分是基于图像方法的细胞分裂和演化机制分析，另一部分是基于生物本能性质的细胞分裂或演化机制分析．这两部分共同的理论基础就是变分原理，或者称为变分法．变分法理论在17世纪末出现之后迅速发展起来，它除了在数学相关学科得以广泛应用之外，在力学、物理学、经济学、信息论、控制论，以及现在迅速发展的数字图像处理技术和信息技术诸方面都获得了较为深刻的应用．

在相关领域内比较少见从图像角度来分析细胞成形和演化的结果．本书介绍了如何对图像进行预处理，包括基本的去噪声、去阴影、放大、修复；也介绍了如何由图像生成演化视频——不仅是简单地将图像拼接起来，而且要在原有图像之间插入若干帧图像以保证视频的清晰度．在预处理的基础上，如何进一步处理这些需要插入的图像正是本书所要探讨的．这部分内容集中在第3章，其中的图像处理（含预处理）都是基于变分原理进行的．

从第4章起，主要以两种绿藻细胞[即鞘毛藻（Coleochaete）和盘星藻（Pediastrum）]为例，分析细胞生长演化机理，在数据分析时也用到了四星藻（Tetrastrum）的细胞数据．区别于第3章基于图像建模讨论演化机理，这里是从细胞膜的张力与黏性分析角度出发的．基于鞘毛藻和盘星藻本身的特性，这部分内容采用在二维空间上的几何问题来进行建模分析．

本书提及了几何中两个较为经典的问题．一是隔栏问题，它探讨的是如何用一条最短曲线将一个平面区域分成面积相等或者面积成固定比例的两个区域，这条分割线就是“隔栏”．二是泡泡问题，它探讨的是如何将一条定长曲线围成指定数目的平面图形，要求图形面积尽可能大且总体边长是固定值．当然，这两个问题（特别是第二个问题）实际上是三维空间问题，因为泡泡本身是三维的，但是考虑到问题的难度和可实现性，在一定条件下可将其简化为二维平面问题．这两个问题在某种程度上都可以与经典的等周问题（也称为等周不等式）联系起来，即便其中的差别还是较为明显的．本书将上述两类绿藻细胞生长演化过程与这些经典数学问题联系起来，从另一个角度也可以理解为绿藻细胞“先天”就满足一些数学和自然规律．再者，这里的方法对于讨论其他类型的细胞问题也有一定借鉴作用．

本书中细胞的长度基本度量单位是微米（μm），但是这里关心的是形状和形态的变化，所以各处提到的长度物理量的量纲都为一．在方程迭代过程中，扩散对应的时间变量的量纲为秒（s），离散后以次数来代替，所以也就是量纲为一．特此说明．

由于本书内容属于探索性研究，加之本人水平有限，书中若存在错漏之处，敬请专家和读者指正．

本人主要的研究兴趣在于如何通过数学方法的引入，从数学角度分析一些较为“简单”的植物细胞生长演化机理．研究期间，上海海洋大学的周志刚教授提供了不少细胞图像素材，也多次到上海大学进行理论指导，在此特地向周志刚教授表达感谢．

感谢在本书的前期准备和撰写期间上海大学李健教授在实验上给予的支持．同时也感谢本人近年的研究生黄玉、卢惠丽、陈培迎、李毅、周长亮、刘青、胡金杰、李思沂、许斌、石本磊、童春、李肖霞、窦明雅、颜南军、丛金宇、张俊顶、曾凯、闻清梅、李炎芮在计算、实验方面的工作，徐仲强、魏霞和刘亚楠在文字组织等方面的帮助．本书获得了上海大学研究生教材建设项目的支持．感谢上海大学，特别是研究生院、理学院和数学系的支持，使本书得以顺利完成和出版．感谢上海交通大学出版社周颖老师和黄韵迪老师对本书出版工作的支持．

感谢本人夫人和孩子一直以来的支持．

王远弟

2021年4月

于上海大学图书馆