3.2.1　去噪：基于闭开运算的各向异性扩散模型

这里介绍利用中值曲率驱动方程模型与闭开算子结合的滤波方法．中值曲率驱动方程模型可以通过如下偏微分方程的初值问题[40]描述：

式中，梯度▽u={ux, uy}；曲率curv (u)=curv[u（t, x, y）]，为区域Ω上图像灰度值u的曲率

系数c=c（t, x, y）为传导（导热）系数函数．当c=1时，式（3-1）就是通常所指的中值曲率驱动方程模型．它可以理解为在扩散速度为常数的情况下，以平均曲率沿法线方向进行的扩散．它在扩散过程中，保持沿与梯度方向垂直的方向扩散，但它的扩散速度为常数．这样当扩散进行到边界时就容易模糊边界，且在噪声点处，图像的梯度可能非常大，使得平滑系数相对较小，从而将这些噪声点保留下来，降低了去噪性能．

因闭开算子在识别边界时不去除高频信息，从而能够保留图像大部分有用的信息，而且不产生灰度尺度偏移，所以这里引入形态学算子中的闭开算子运算，它可在某种程度上保留高频数据．

基本的灰度值形态学算子可分为腐蚀算子和膨胀算子．对于R2中一个有界参考集合B（通常是圆盘或者方形区域），集合S⊂R2的一个δ-膨胀为

一个δ－腐蚀为

式中，x=（x, y），x1=（x1，y1），x-x1=（x-x1，y-y1），δB={δx1：x1∈B}．这里的参考集合B要求是一个中点在原点的对称凸集合．

图像灰度值函数u的δ－膨胀变换为

一个δ－腐蚀变换为

这两个记号对于集合和函数的膨胀（或腐蚀）不易引起混淆，只要注意其作用的对象即可．以下引入开、闭运算：

定义3.1　闭运算Closedδ：先做膨胀运算，后做腐蚀运算

Closedδ=Dδ◦Eδ

开运算Openδ：先做腐蚀运算，后做膨胀运算，即

Openδ=Eδ◦Dδ

这里结合中值曲率驱动方程模型和闭开运算，以达到噪声去除的目的．具体地，取c≡1，并结合

则式（3-1）便成为

噪声去除流程如图3-3所示．

离散化和算例：对于矩形区域[0, l1]×[0, l2]，考虑时间变化0→t，引入差分运算．取t=nΔt（n=0, 1, 2, …）, x=ih（i=0, 1, 2, …, I）, y=jh（i=0, 1, 2, …, L），（式中，I和L为正整数）使得Ih=l1, Lh=l2，而h是空间步长．计算时采用中心差分格式，取h=1, Δt=0.1，记

将式（3-7）代入式（3-6），并记式（3-6）右端的驱动项为

得到其离散形式

计算迭代格式

交叉闭（开）算子运算

式中为初始迭代，即初始图像．闭（开）运算Closed (Open)中的运算尺度δ视具体图像确定，实际上就是膨胀或腐蚀所跨越的像素值大小．

如图3-4所示为具体实验算例[39]，从图的梯度保存可见运算在保存特征的同时达到了噪声去除目的．如图3-4（a）所示为原图灰度等高线，如图3-4（b）所示为MCM结合开闭运算后的效果，如图3-4（c）所示为MCM结合闭开运算后的效果．