2.4.4　数值模拟与分析

1）数值模拟计算

回看具体问题的模拟计算．以如图2-5所示的均匀内热源体点导热问题为初始分布，其中基体材料导热系数为1且均匀分布，散热口大小占区域边长的1/5，散热口处恒定温度为300 K．

在数值求解中对传热区域做的是均匀正方形网格剖分，判别式（2-46），确定高导热材料的放置位置．为计算方便，采用中心点周围正方形邻域上的积分平均值来代替圆形邻域上的积分平均值．通过对实例数值的计算分析，按圆形邻域和按正方形邻域计算积分平均值时，最终计算所得的全场平均温度分别是300.615 5 K和300.617 6 K，两者仅相差0.002 1 K．这种替换的确存在一定误差，但是对最终结果的影响不是很明显．

考虑到区域本身的对称性，可以假设高导热材料的填充也有相应的对称性．所以在具体模拟过程中，每一次选取填充位置时，把满足条件的两个位置点同时选中作为高导热材料的最优放置位置．

将填充过程进行分解，即在确定高导热材料填充位置时主要有以下过程：首先，初始时计算带热源的平衡态扩散方程式（2-45），通过边界条件计算出首次迭代数据．其次，根据平均值定理判定新的高导热材料填充位置，也就是将中心点与周围点温度平均值式（2-44）进行比较，以获取下一次的高导热材料填充点．在此基础上，以填充后的导热系数K（x, y）分布计算新的温度场，重复上面过程．

对于均匀发热的电子元器件，数值计算采用有限容积法来实现，整个模拟计算过程具体操作步骤如下：

（1）将传热区域进行网格剖分，以均匀分布确定初始基体材料导热系数分布．

（2）结合边界条件，数值求解导热微分方程式（2-45），得到传热区域温度场分布．

（3）根据定理2.1，计算以每个微元体为中心的正方形邻域内平均温度，并计算中心微元体温度与平均温度差的绝对值，即式（2-46），得到温度差值分布场．

（4）根据放置原则，由温度差值分布场确定高导热系数材料的最优填充位置，并改变选取位置的导热系数值．

（5）返回步骤（2），重新计算温度场，依次进行下去，直到填充比例为η时所有高导热系数材料填充完毕．

现在看一个具体的算例．如图2-9所示为导热系数比为4的情况下数值模拟得到的高导热材料区域分布优化结果，其中填充率η=4%．

（1）导热系数比较大时的优化结果．当导热系数比为300、填充率η=8%时，优化前区域内温度场分布如图2-10（a）所示，区域内最高温度差出现在距离散热口最远的两个角点处，大小为321.298 6 K，全场平均温度K．根据加权平均极小化原则优化后的温度场分布如图2-10（b）所示，区域内最高温度降低到300.892 2 K，此时全场平均温度仅为300.617 6 K，与散热口处温度差值在1 K以内，平均温度较优化前显著下降．分析数值模拟结果还可以看出，优化后的温度分布曲面较优化前整体上显得更加平缓，优化前后的全场平均温度值可以说明优化后的温度场曲面面积比优化前更小．

（2）导热系数比较小时的优化结果．如图2-11（a）所示为导热系数比值为4、填充率η=8%时数值模拟得到的高导热材料区域分布优化结果，如图2-11（b）所示为相应的温度场分布．使用加权平均方法优化后区域内最高温度为312.344 5 K，全场平均温度，比优化前的平均温度317.105 5 K也有明显下降．

从以上不同导热系数比下的数值模拟结果可以看出，无论是区域内最高温度还是全场平均温度，优化后都有明显下降，说明用加权平均极小化原则来优化高导热材料的填充区域分布具有合理性．

2）与仿生优化方法的对比分析

与仿生优化方法类似，在使用加权平均极小化原则对高导热材料的分布进行优化时，对区域内传热条件同样没有严格的要求，几何空间是否规则、内热源的均匀性和导热系数比的大小等都不影响该原则的适用性．但是作为两个不同的优化原则，数值模拟得到的优化结果还是有很大不同的．如图2-12所示的导热系数比分别为300和4时，用仿生优化方法模拟的高导热材料区域分布优化结果，其中η=8%，相对应的全场平均温度分别是300.689 4 K和308.406 9 K．对于其他导热系数比下两种方法的模拟对比，更详细的优化填充结果见附录1．

从全场平均温度值来看，当导热系数比为300时，两者计算的平均温度相差0.07 K，两种方法的优化效果非常接近；当导热系数比为4时，用仿生优化方法计算的平均温度比加权平均极小化方法计算结果低0.3 K左右，表明在该传热条件下仿生优化方法较有优势．

从高导系数材料的分布形态上来看，温度图2-10（b）与填充图2-12（a）对应，图2-11（b）则与填充图2-12（b）对应，这里介绍的两种方法的模拟结果具有很大的相似性．当导热系数比较大时，高导热材料分布于整个空间内，呈类似于矩形的几何形状；而导热系数比较小时，高导热材料主要集中在散热口附近，呈某种集聚的分布形态．因为当导热系数比较大时，高导热材料的填充能显著改变区域内的导热效果，高导热材料在整个空间内的细长分布形态必然使热量沿着高导热通道更快地流向散热口处．当导热系数比较小时，由于高导热材料的填充对区域内导热效果影响相对不太明显，高导热材料放置在热流密度最大的散热口附近能最大程度降低区域内温度．

为了更具体地对两种方法进行对比分析，这里分别对两者在不同导热系数比和不同填充率下的优化结果进行数值模拟．如图2-13所示为导热系数比为2~400、填充率为3%~8%时两者的优化结果所对应的平均温度差值曲线．其中横轴表示导热系数比，纵轴表示按加权平均极小化方法和按仿生优化方法计算得到的全局平均温度差值，曲线在横轴下方时说明通过加权平均极小化方法计算的平均温度更低．如图2-14至图2-1 6所示为分别截取了图2-1 3中的三个不同导热系数比区间进行的具体分析．其中图2-14中的导热系数比为2~80，图2-15和图2-16中的导热系数比分别为100~160和350~400．

从以上四个图中的计算结果可以看出：

（1）如图2-13所示，除去波动比较大的部分曲线外，整体上当填充率为5%和6%，导热系数比为30~300时，本文提出的加权平均极小化方法传热优化效果较好，相应的全场平均温度值比仿生优化方法计算结果低0.2 K左右．

（2）图2-14表明，当导热系数比较小（小于40）时仿生优化方法的优化效果更好，在不同填充率下计算所得的全局平均温度值均低于采用加权平均极小化方法计算的结果．

（3）导热系数比较大时两者的优化效果基本相同．从图2-16可以看出，导热系数比在350~400之间时，两者的最大全场平均温度差值在0.13 K以内．

本书附录1中列有部分填充建议图表，更为详细的填充表参见参数文献[29]和[30]．数值计算模拟填充图皆由张俊顶完成．