2.2　变分思想介绍

完整的变分法理论可以参见专门的书籍，例如老大中[7]、钱伟长[8]等人的专著，这里仅介绍一下变分法思想．

对于一个泛函（通常是正泛函）F：DF→R+，即定义在函数空间DF到非负实数集合上的泛函，在一定条件下，如果函数f是泛函F的极小点，即

F（f）≤F（g），∀g∈DF

并且等式只在g=f时成立．

如何寻找泛函的极小点f，从思路上可以借助微积分中关于函数导数的性质．但是，由于函数空间中的元素也就是函数太多，如何通过引入泛函F的导数及其驻点（也称“临界点”）来讨论极小点满足的条件是问题的关键．

为此，引入任意的增量函数（即摄动函数）φ和辅助变量参数ε．而摄动函数具备的性质与极小点的性质相当，但是不完全相同，需要保证利用辅助变量参数ε线性表示之后能够与极小点所在空间的全部函数一致．也就是保证

换言之，函数g和极小点f满足的边界条件相等，那就意味着摄动函数φ需要满足齐次边界条件．例如，定理1.5和定理1.6中的函数η与f在边界条件上的值有差别．注意，ε是参数，那么

g|边界条件-f|边界条件=εφ|齐次边界条件，∀g∈DF

但从光滑性或者可微性上，摄动函数φ与DF的元素要求是一致的，差别在于边界条件的不同．当然，如果函数空间，也就是泛函F的定义域DF本身对边界的要求就是齐次，那摄动函数φ的条件当然就一致．

这样，对泛函F做摄动分析也就等同于讨论驻点f[即式（2-12）中参数ε=0时]是泛函F的极小点．原来寻找泛函F在f处取得极小点的问题，转化成泛函在ε=0这个单参数处取得极小点．形式上转化成通常的微积分中讨论极小点满足的必要条件，即

理论上，在通过式（2-13）求出极小点f满足的必要条件之后，还需要进一步判别在这个极小点处是否确实取到极小值．例如，可以通过展开式

来分析．

这里介绍的思想偏重于实用性，而不做过多深入的理论分析，特别是关于变分法的思想介绍．后文使用的仍然是表达形式较为经典的变分方法，对基于算子理论的变分学理论就不做深入介绍．