第2章
变分原理介绍

在微积分或者数学分析等课程内容中，讨论函数时会介绍向量函数，或者称为向量值函数．向量函数的值域所在的集合由向量构成，如n维欧氏空间，或称欧几里得空间．通常，我们熟悉的有二维欧氏空间和三维欧氏空间．前文介绍的平面曲线或者空间曲线也可以视为向量函数．以下记一维欧氏空间为R, n维欧氏空间为Rn（n=2, 3, …）．

二维曲线{x, y}={ϕ（t），ψ（t）}对应向量函数为

三维曲线{x, y, z}={ϕ（t），ψ（t），ζ（t）}对应向量函数为{x, y, z}T={φ（t），ψ（t），ζ（t）}T（∈R3）．这里的{x, y, z}T是指向量的转置．

向量函数是对函数概念的进一步推广．经典的函数概念是实数集到实数集的一种对应关系，如y=f（x）这样的函数（几何上可以理解成平面曲线）．在此基础上，可将函数定义域推广到二维、三维或者n维欧氏空间的集合，例如，表示空间曲面的二元函数z=f（x, y）．这样就在定义域和值域这两种不同结构的集合之间，用多元函数建立起了对应关系．但是，这种推广不能实现像一元函数那样在两种不同的结构之间保持完全的对应关系．对一元函数y=f（x），可以讨论其单调性，即定义域与值域之间的某种保序性．但是，这对二元函数z=f（x, y）而言就无法实现，因为此时函数的定义域内无法定义对应的“序关系”，也就不会有保序性．

函数的极值问题是讨论函数性质的基本问题，这样的问题在更为一般性的实际问题中也有表现形式，但是需要通过更为复杂的理论来理解，比如泛函分析理论．