前言

请思考下面这个问题：

在日本横滨市内，是否存在头发数量完全相同的两个人？

（注：日本横滨市人口大概有350万人，一个人的头发最多有15万根。）

乍一看这个问题，肯定有人会说：“头发的数量根本就数不清，怎么可能有答案？”当然，肯定也会有人认为存在这样的两个人。

据说一个正常人每天掉落的头发有近100根。如果将用放大镜才能观察到的头发的数量也考虑在内的话，确实很难断言一个人的发量。即使远看是光头的人，在放大镜之下也不一定没有一根头发。

同时我们也能理解人们认为“有”的心理，这是一种没有确凿证据的直觉，他们可能会认为即使头发的数量数不清楚，但是350万人之中总会有两个人发量一样吧。

但是，如果我们使用数学方法加以解释，不论是难以数清的头发根数问题，还是难以佐证的直觉问题，都会迎刃而解。我们可以得出一个确定的答案：存在头发数量完全相同的两个人。而且，我们可以拍着胸脯说：“日本横滨市内100%存在头发数量完全相同的两个人。”

为什么呢？这就是数学中的鸽巢原理在发挥作用。用晦涩的语言解释“鸽巢原理”，即“正整数n为元素，n+1个元素放到n个集合中，其中必定有一个集合至少有两个元素。”听起来晦涩难懂，其实原理非常简单。

打个比方来说，假设有4只鸽子、3个鸽巢，鸽子全部进入鸽巢时，一定会有一个鸽巢中存在两只（或以上）鸽子。鸽巢原理简单来说就是这个道理。使用这个原理，我们就可以推断“5人中一定存在相同血型的人”“13人以上在一起，一定有相同月份出生的人”。

我们再来看开篇的问题，我们可以想象将350万人的头发数量做上标记，“0根”“1根”……“15万根”，然后放入同样标记“X根”门牌的房间中。

【鸽巢原理很简单】

一定会有1个鸽巢里有2只（或以上）鸽子存在的情况。

这样一来（房间总数少于人数），一定会有两人（或以上）进入同一个房间。同一房间内的两人（或以上）就是拥有相同头发数量的人。

写到这里，大概会有人跳出来反驳我了：“不对，不确定每个人的头发数量，根本就不知道应该让哪个人进入哪个数字门牌的房间，这个前提不成立。”这么说也不无道理。但是，即使不能确定每个人的头发数量，也一定存在某一头发数量在0～15万根的人，而这个人一定会进入同样数字门牌的房间（也许，你可以想象命运让他们每个人都进入正确的房间）。无论如何，都一定会出现待在同一房间内的人。

【无论如何，都会有人待在同一房间。】

鸽巢原理虽然简单至极，但是应用广泛。东京大学、京都大学、早稻田大学、庆应大学等日本一流大学的入学考试以及奥数比赛中经常会出现使用这个原理解答的试题。

除此之外，数学原理在国家战略规划、企业决策等过程中也发挥着重要作用。

随着计算机技术和机器学习（与人类的学习活动相同，机器也会进行“学习”活动）技术的发展，包含人类喜好、感情等所有可掌握的信息都变成了数值，形成了可以进行数学统计分析的“大数据”。人们可以根据大数据进行前景预测和判断，这种数据已经成为国家、企业做重大决策时的重要参考。

数学的力量是多元的，它给予我们解决问题的能力，赋予我们逻辑思维能力和判断能力，它的应用范围小到普通的“头发问题”，大到国家战略决策问题。它的普遍适用性，是其他学科所无法匹敌的。

数学还可以作为表达宇宙定律的一种“语言”。再复杂的科学定律，都可以用一行公式简明扼要地表达。近代实验科学奠基人之一，意大利人伽利略·伽利雷（1564—1642）开创了利用数学工具对实验结果进行推演分析的科学方法，提出“自然界伟大的书是用数学语言写成的”。

日本昭和时代的著名数学家冈洁（1901—1978）曾说：“数字是可以照亮黑暗的光明，在白天我们不需要它，然而在现在，我们需要它。”的确，越是追求改革的时代，越是追求数学的力量。当先人之见、旧时之习不在时，数学总是拥有绝对“正确”的力量。

实际上，从古埃及、古希腊时期开始，数字一直给人类社会带来变革。它推动历史更迭、知识更新，促进了一个又一个新时代的产生。

追溯数学的历史，可以看到沉浮于时代，被世人视为怪人的数学家们的身影。他们天赋异禀、才能过人，能够挖掘普通人无法看透的深刻问题。他们努力拼搏、不断创新，承受着世人的不理解甚至侧目，不断交出“真理”的答卷。了解他们，可以了解数学作为“人类智慧结晶”的历史演变过程，也可以从看似冰冷的公式中体味其背后令人热血沸腾的故事。

数学不单纯是理性思维的产物，它也是感性思维的结晶。

不论是大自然，还是艺术作品，我们人类感受到美的背后，总是存在着数学的原理，数学是我们感动的根源。黄金比例、音乐音阶、雕刻、建筑等的基础原理，都来自数学。

归根结底，数学自身是最美的。

为世人所知的《天鹅湖》《胡桃夹子》等作品的作曲者彼得·柴可夫斯基曾经这样说过：

“如果数学不美，恐怕数学本身就不会产生了。它将人类的绝世天才们吸引得神魂颠倒，除了美之外还有什么能拥有这么强大的能量呢？”

我完全同意他的说法。

本书分为6个章节，将从不同角度尽力为读者呈现数学作为一门学科所具有的了不起的价值和魅力。

第1章　了不起的公式——用数字记录世界。

第2章　了不起的天才数学家——奇人的极限抽象思维。

第3章　了不起的艺术性——充满感性的数学之美。

第4章　了不起的方便——现代社会的技术支撑。

第5章　了不起的影响力——世界史中的数学。

第6章　了不起的运算——印度式数学、方便的心算、数学谜题。

下面，我简单介绍一下我自己。

鄙人毕业于东京大学理学部地球行星物理专业，后进入日本宇宙科学研究所（现JAXA）攻读研究生学位。中途离校，在探索未来之时，也尝试过经营餐厅，最终选择心仪的人生目标——成为一名古典乐指挥。曾赴维也纳求学，归国后以乐队指挥为生。婚后有子，机缘之下成立了永野数学私塾，开始了小班制数学辅导工作，学生年龄分布广泛。

虽然人生起伏，经历数业，但始终未曾远离数学之本。

物理学中数学公式是比语言更有力的雄辩之词，宇宙真理永远不会违背数学的合理性；经营管理中，基于数据的数学判断是家常便饭；音乐之美的合理性可以从数学中发现；而现在，一对一辅导、执笔写书更是在传播数学的意义。

本书中每一个故事都是独立章节，读者朋友可以根据目录，选择自己喜欢的内容阅读。这本书其实读起来很轻松，所以开卷前请不要有畏难情绪。

就像人们对音乐、美味的喜好不同一样，享受数学的方式也不是唯一的。无论在哪个领域、哪个层面，数学都能散发出了不起的魅力。这便是内含深意的数学。

永野裕之