1.4　随机系统

由于随机因素的广泛存在性，自1951年It的奠基工作开始，随机系统在各个领域的研究已成为工程技术人员及研究工作者的重要研究课题。早期的随机控制理论主要以比较简单的随机系统为研究对象，以单性能指标为研究目的。而现阶段的随机控制理论则主要以更复杂、更符合实际的带有不确定性的状态空间方程为研究对象，运用线性矩阵不等式理论、时滞相关等先进的分析与设计理论进行多性能指标分析和设计研究。这些性能指标包括系统的各种稳定性，如均方渐进稳定、指数稳定等系统本身的稳定，H2、H∞等输入/输出稳定，系统的鲁棒稳定性能等。

在工业过程中经常会出现零件故障、子系统之间关联改变，以及突发性环境扰动等情况，这些情况会引起系统结构和参数发生跳变（或切换）[90]。Krasovskii N和Lidskii E于1961年对这类具有不同可操作“模态”的实际系统建立了以下模型[91]

这里，系统模态间切换由{r(t)}决定，且{r(t)}是在时间域[0,+∞]上定义的在有限集合S={1,2,…,N}内取值的Markov（马尔可夫）过程。其转移概率矩阵为

其中∆>0，πij为i≠j时模态i到模态j的转移率，并且满足

矩阵A(r(t))与B(r(t))为随机过程r(t)的函数，且对于每个r(t)=i∈S，A(r(t))与B(r(t))均为适维实矩阵。称这类系统为Markov切换（跳变）系统。

对于每个模态r(t)=i∈S，Markov切换系统对应的子系统关于状态x和输入u都是线性且连续的。当S={1}时，系统只有一个模态，这时Markov切换系统退化为普通的线性系统

容易看出，Markov切换系统为线性系统（1.4.4）由单模态向多模态情形的推广形式。这里称系统（1.4.1）为多模态系统，称系统（1.4.4）为单模态系统。

显然，Markov切换系统（1.4.1）与单模态系统（1.4.4）的一个不同之处在于Markov切换系统是个随机系统。对于给定的初始状态及初始模态，其状态轨线并不是确定的，而是随机的，并且Markov过程的不同采样将决定不同的状态轨线。

Markov切换系统的另一个显著特点是状态向量有两个要素[92]：一个是系统的物理状态x(t)，是连续变化的；另一个是Markov切换参数r(t)，它决定系统在t时刻所处的模态，是离散变化的。从这个意义上说，Markov切换系统属于混杂系统的范畴。这类系统实际上是应用连续时间的Markov链来对切换规律进行建模的一类特殊的混杂系统；或者说，Markov切换系统是按照一定的随机切换规律在一组线性连续子系统之间进行切换的混杂系统。另外，Markov切换系统与切换控制系统及分段线性系统具有一定的关联性。它与切换控制系统的主要区别在于：切换规律不作为主动的控制律，而是作为一种不确定的随机扰动因素来处理的。本质上，它也是一类随机分段的分段线性系统。Markov切换系统可以视为一般线性系统（1.4.4）由单模态到多模态的推广，但它们之间有着本质的差别。Ji Y和Chizeck H指出并证明了Markov切换系统的每个模态对应的子系统稳定，并不能保证Markov切换系统稳定（在均方意义下），反之亦然[90]，即子系统稳定既不是Markov切换系统稳定的充分条件，也不是必要条件。因此，一般线性系统（1.4.4）的研究结果并不能被简单地移植到Markov切换系统中，这意味着对Markov切换系统的研究更具难度和挑战性。

自Markov切换模型被提出以来，这类系统因能描述大量实际系统而受到许多学者的关注。据许多相关文献报道，这些研究成果已应用到多个工程领域，如电力系统、制造系统、通信系统等[90, 93]。

如果考虑环境噪声，一般经常使用如下的系统模型[94]

式中，w(t)为维纳过程。

对于随机系统的稳定性，很多学者进行了各种定义，如概率稳定、概率1稳定、均方稳定、均方指数稳定、大范围渐进稳定等[95]。关于非线性It型随机微分方程的稳定性研究，可以参阅文献[94, 96, 97]。Wang Z等在文献[98]中对一类双线性的随机Markov切换系统进行了讨论。所考虑的系统非常复杂，包括未知定常时滞、参数不确定性及非线性外加干扰。文献[98]中设计了状态反馈控制器，使得闭环系统在均方意义下指数稳定，并以LMI形式，利用Riccati方程给出了该鲁棒镇定问题可解的时滞无关的充分条件。Fu Y在文献[99]中研究了一类随机时滞非线性系统的输出反馈镇定问题。Lu C基于线性矩阵不等式考虑了一类不确定时滞相关随机系统的鲁棒控制问题[100]。Mao X研究了非线性随机Markov切换时滞系统均方指数稳定性问题[101]，在一定假设条件下给出了相应的稳定性判别准则。对于时滞相关随机系统，Mao X等[102-104]利用矩阵范数得到了时滞相关稳定性判据。舒慧生等研究了一类时滞不确定性Markov切换随机微分系统的均方指数鲁棒随机稳定性，系统中的时滞是时变的，不确定项结构为范数有界，得到了几个判定系统均方指数鲁棒随机稳定性的充分条件[105]。

众所周知，H∞控制问题的主要内容是描述系统在受到干扰时，扰动对输出的影响程度。H∞控制与系统的鲁棒性能有着密切的联系。对于It型随机微分方程的H∞性能分析，文献[106]最早给出了有界实引理。随后H∞控制问题广泛受到关注，Xu S等分别讨论了带有参数不确定性和时变时滞的离散随机系统的鲁棒H∞控制、连续随机系统的输出反馈控制、中立型随机系统的H∞控制[107-109]。Wang Z等考虑了线性随机系统的方差约束鲁棒H2/H∞控制问题[110]。孙敏慧等研究了Markov切换时滞系统的鲁棒控制问题，引入了时间加权H2性能指标的概念，针对同时带有时变状态时滞及Brownian（布朗）运动的参数不确定Markov切换系统，研究其H∞模型降阶问题[111-114]。

许多实际系统的数学模型往往有较高的阶次，从而导致在进行系统分析、仿真及系统设计时很难处理，故希望在一定的误差范围内用低阶数学模型来近似进行高阶的数学模型，即系统模型降阶问题。模型降阶在系统设计中非常重要，现在处理该问题的方法有很多种，包括交换投影法、线性矩阵不等式等方法[115, 116]、平衡截断法[117]等。对于Markov跳变系统，Zhang L等讨论了H∞模型降阶问题，在连续与离散两种情况下以线性矩阵不等式的方法给出降阶模型存在的充分条件及模型降阶的构造方法[118]。孙敏慧等考虑一类带有时滞的不确定Markov切换系统的H∞模型降阶问题[113]。Gao H等讨论了一类交换混杂随机系统的模型降阶问题[119]。Liu H等研究了具有时滞的Markov跳变系统的H∞滤波模型降阶问题[120]。