2.2　问题描述

考虑如下形式的广义Markov跳变时滞系统

式中，x(t)∈Rn为状态向量，u(t)∈Rp为控制向量，ω(t)∈Rl为扰动输入向量且属于L2[0,∞)，z(t)∈Rr为被控输出向量，常值时滞d>0，φ(t)表示[-d,0]上的连续初始向量函数。系数矩阵E或许是奇异的，假定rankE=r≤n。随机参数{rt,t≥0}表示连续时间离散状态的Markov过程，取值在有限集S={1,2,…,N}，并且转移概率矩阵Π=[πij]i,j∈N。从模式i到模式j的转移概率定义为

式中，h>0且，是从模式i到模式j的转移概率，满足。

为了简化记号，当rt=i时，引入记号Ai(t)来表示A(rt)。系统中的不确定矩阵表示范数有界的不确定性，且满足

式中，M1i、M2i、M3i、M4i、M1i、M2i、是适当维数的已知常数矩阵，Fi(t)是具有Lesbesgue可测元的不确定矩阵且满足

这里，I表示合适维数的单位矩阵。

带有Markov跳跃参数的广义标称系统描述如下：

对于标称系统（2.2.5）和标称系统（2.2.6），给出以下定义。

定义2.2.1：

（1）系统（2.2.5）是正则的，如果det(sE-Ai)≠0，i∈S。

（2）系统（2.2.5）是无脉冲的，如果deg(det(sE-Ai))=rankEi，i∈S。

（3）如果系统（2.2.5）是随机稳定的，则对于任意和，存在标量，满足

其中x(s,x0,r0)表示系统（2.2.5）在初始条件x0和r0下s时刻的解。

（4）如果系统（2.2.5）是正则、无脉冲和随机稳定的，那么称系统（2.2.5）是随机可容许的。

定义2.2.2：对于给定的标量d>0，如果广义Markov跳变时滞系统（2.2.6）是正则、无脉冲的，那么系统（2.2.5）和系统都是正则、无脉冲的。如果系统（2.2.6）是随机稳定的，那么对于任意和，存在标量，满足

其中x(s,x0,r0)表示系统（2.2.6）在初始条件x0和r0下s时刻的解。系统（2.2.6）是随机可容许的，如果系统（2.2.6）是正则、无脉冲和随机稳定的。

注记2.2.1：系统（2.2.5）正则、无脉冲确保系统（2.2.6）在时滞d≠0下正则无脉冲，实际上就是系统正则、无脉冲确保系统（2.2.6）在时滞d=0的情况下正则无脉冲。

定义2.2.3：对于给定的标量d>0，γ>0，不确定广义Markov跳变时滞系统（2.2.1）是随机可容许的并具有H∞性能γ，如果系统（2.2.1）根据定义2.2.2是随机可容许的，且对任意的非零向量ω(t)∈L2[0,∞)和所有的不确定项，均有

在本章中将探讨时滞广义随机连续混杂系统的鲁棒镇定和鲁棒H∞控制问题。

引理2.2.1[10]：广义Markov跳变时滞系统（2.2.5）是随机可容许的，当且仅当存在矩阵Pi（i=1,2,…,N），满足

引理2.2.2（Schur引理[28]）：假设对称矩阵F=FT∈R(n+m)×(n+m)的分块表示为

式中，A∈Rn×n，B∈Rn×m，C∈Rm×m。则以下两个结论等价。

结论a：若C是非奇异的，则F>0的充分必要条件是C>0且A-BTC-1B>0；

结论b：若A是非奇异的，则F>0的充分必要条件是A>0且C-BTA-1B>0。

引理2.2.3[39]：对给定的适当维数正定矩阵Q和任意适当维数矩阵P、R，下列结论成立

PRT+RPT≤RQRT+PQ-1PT

引理2.2.4[139]：给定适当维数矩阵Ω=ΩT、Γ和，对于所有满足FTF≤I的F，当且仅当存在ε>0使得

成立时，有

引理2.2.5[54]：对于任意的常矩阵，，标量γ0和向量函数，则有如下的不等式成立