第四节 电磁感应

一、电磁感应现象

所谓“电磁感应”是指处于变化磁场中的导体或线圈能够感应生成电的现象。这就是“磁生电”，但这是有条件的，这个条件是磁是变化的，下面通过两个实验来感知“磁变生电”，即电磁感应。

1.磁铁和线圈的实验

将一个线圈C和一个电流计G连接成如图1-14所示的一个闭合回路，电流计的指针处在中间不动，表明线圈中没有感应电动势。取一根条形磁铁，N极对准线圈，从图1-14所示线圈的右侧快速插入线圈（磁铁向左移动插入）。插入线圈的瞬间，电流计的指针朝右偏转（正偏转）。插入线圈后的磁铁保持不动，电流计的指针逐渐回摆并最终停在中间位置不动。若此时再将磁铁从线圈中向右快速拔出，电流计的指针在磁铁拔出的瞬间向左偏转（负偏转），然后再次回摆，最终还是停在中间位置不动。

电流计的摆动说明有电流流过：磁铁从右往左插入线圈的瞬间，线圈感应电动势，且感应电动势在线圈右边引线的极性为正。由于有电流计与线圈连接，线圈产生的电动势将向电流计提供电流，使电流计的指针摆动。指针逐渐回摆说明，电流计中的电流逐渐减小。也就是磁铁不动时，线圈感应的电动势逐渐减小并最终为零。磁铁从左往右拔出线圈的瞬间，线圈也感应电动势，但在线圈右边引线的感应电动势的极性变为负值。因此，电流计的指针反偏。可见，线圈通过的磁通量发生了变化，才会产生感应电动势。

2.线圈和线圈的实验

为了增加磁感应强度，将两个线圈C₁和C₂分别套在铁心中，其中一个线圈C₂与电流计连接，另一个经开关S与电池E连接，并将两个线圈如图1-15对准放置。将与线圈C₁连接的开关S突然合上，可观察到，电流计在开关S合上的瞬间，指针正偏转，然后指针逐渐回偏，并最终停在中间位置不动。再突然将与C₁连接的开关S断开，则在开关断开的瞬时，电流计指针反偏，然后指针逐渐回偏，最终也是停在中间位置不动。

线圈与线圈实验和线圈与磁铁的实验相似，当开关S闭合时，线圈C₁与电池接通，线圈C₁有电流流过。根据前面介绍的电流磁效应，线圈C₁产生磁通量，通过铁心穿过线圈C₂磁通量将增加。当线圈C₁的电流稳定时，C₁产生磁通量恒定不变，线圈C₂感应电动势为零，不向电流计G提供电流，与C₂连接的电流计指针回摆并停止下来。当开关S断开时，C₁的电流减小为零，C₁产生穿过C₂的磁通量也减小为零。线圈C₂又感应电动势，使指针摆动。也就是说，开关S闭合或断开，穿过C₂的磁通量发生变化，在C₂会感应电动势，电动势的方向与磁通量变化的方向有关。

通过上述两个实验的分析可以知道：只要穿过线圈的磁通量发生变化，线圈就会产生电动势。线圈产生的电动势称为感应电动势。由感应电动势引起的电流称为感生电流(因感应而产生的电流)。由图1-14和图1-15的分析可知，线圈感应电动势的方向与磁通量的变化方向有关，而且总是力图阻止穿过线圈的磁通量变化。即若感应电动势能引起感生电流的话，感生电流也会产生磁通量，感生电流所产生磁通量的方向总是抵消原来磁通量变化的方向：原来的磁通量增加，感生电流所产生磁通量的方向是阻止其增加；原来的磁通量减少，感生电流所产生磁通量的方向是阻止其减少，这就是下面要讨论的电磁感应定律。

二、电磁感应定律

电磁感应定律是说明电磁感应现象的定律，是在楞次定律和法拉第电磁感应定律基础上发展起来的。其中，楞次定律说明感应电动势方向与磁通量变化方向之间的关系。法拉第电磁感应定律则说明感应电动势大小与磁通量变化大小之间的关系。电磁感应定律就是这两个定律的综合。

在线圈中，因磁通量变化而产生的感应电动势(感生电流)的方向可通过楞次定律确定。楞次定律指出：当闭合线圈回路在的磁通量发生变化时，回路中就有感生电流产生，感生电流的方向总是要使它产生的磁场阻碍闭合回路中原来磁通量的变化。法拉第电磁感应定律则说明，线圈中因磁通量变化而产生的感应电动势的大小与线圈的匝数和穿过线圈磁通量的变化率成正比。

应该说明的是，原来的法拉第电磁感应定律主要对线圈感应电动势大小进行说明，并未对感应电动势的方向进行规定。后来人们将法拉第电磁感应定律与楞次定律合二为一，总称为电磁感应定律，并以下面的公式表示：

式中 N——线圈的匝数；

dΦ/dt——与线圈交链的磁通量对时间的变化率(所谓交链，意思是指穿过。“与线圈交链的磁通量”可理解为“穿过线圈的磁通量”)；

e——感应电动势；负号“-”表示感应电动势方向总是阻碍（或抵抗）磁通量Φ变化的。

式（1-16）表明：穿过线圈的磁通量变化，线圈将感应电动势e。感应电动势e的大小正比于线圈的匝数N和磁通量对时间的变化率dΦ/dt。匝数越多或磁通量的变化率越大，感应电动势的绝对值就越大。

应用楞次定律判断线圈感应电动势的方向时，可以采用“右手螺旋定则”，如图1-16所示。在图1-16a中，磁通量增加，由感应电动势引起的电流就阻碍磁通量的增加；磁通量减少，引起的电流就阻碍磁通量减少。图1-16b则是右手螺旋定则的说明：将右手拇指伸直，其他4指顺着感应电动势和电流的方向自然弯曲，拇指的指向就是阻碍（抵抗）磁通量变化的方向。或者也可以说：将右手拇指伸直，并指向与磁铁移动的相反方向（表示阻碍磁通量变化），其他4指自然弯曲，其方向就是线圈中感应电动势（或电流）的方向。

不仅闭合的线圈通过变化的磁通量能产生感生电动势，而且在磁场中运动的闭合的线圈也能产生感应电动势。如图1-17所示，若将一根裸直导体ef放置在磁场中的两根导轨ab和cd上，磁场的上磁极为N极，下磁极为S极，两根导轨与直导体的导电性能良好，导轨通过a、d两点用导线引出，与电流计相连。如果让直导体向右移动，使它切割磁场，即它所包围的磁通量发生变化，直导体ef两端将感应电动势，点e极性为正、点f为负，电流计指针正摆，且直导体移动速度越快或磁场的磁感应强度越大，摆动幅度就越大；若直导体不动，即它所包围的磁通量没有发生变化，则电流计指针停在中间；若让直导体向左移动切割磁场，电流计指针反摆，导体感应电动势极性变反，即点e极性为负、点f为正。如果沿着磁力线方向（或平行方向）运动，电流计指针就不动，这时因为闭合回路中的磁通量没有变化，即dΦ/dt=0。

若直导体做成矩形开口线圈abcdef，固定在一根轴上，如图1-18所示，点a通过导线与轴上的集电环A相连，点f通过导线与集电环B相连，两个集电环经过电刷后与电流计连接。若逆时针方向转动轴，线圈导体的两个边bc和de分别以不同的方向切割磁场（bc从上往下，de从下往上），此时电流计的指针正摆，说明集电环A的极性为正，集电环B的极性为负；当线圈转过180°后，电流计的指针反摆，说明线圈感应的电动势方向变反。实验证明，线圈转动速度越快或磁场的磁通量越大，电流计正摆或者反摆的摆动幅度就越大。

导体或矩形线圈，在磁场中，不论是移动还是转动，都会切割磁力线，即使闭合回路的导体包围的磁通量发生变化，导体的两端将产生感应电动势。切割方向改变后，产生的电动势方向随之改变。产生电动势的大小与磁感应强度大小、切割导线长度和速度成正比。因导体切割磁场而在导体两端产生电动势，称为发电机电动势。其大小为

式中 B——磁感应强度（T）；

l——切割磁场的导体的长度（切割导体两个端点的直线距离）（m）；

v——导体在与磁力线垂直的方向上切割的速度（m/s）。

感应电动势的方向可以应用右手定则来判断：如图1-19b所示，伸出右手并自然展开，手心朝向N极，拇指指向导体垂直切割磁力线的方向，其他4个指头所指方向就是产生电动势的方向。

注意：式（1-17）中的速度v是指导体在磁力线垂直的方向上移动的速度。若导体切割的方向与磁力线不垂直时，如图1-19a所示，则应求出垂直切割方向上的速度：v=v′sinα。式（1-17）应写成：

式中 α——载流导体运动方向与磁场的磁感应强度B的夹角，其他同式（1-17）。

三、电流在磁场中的力效应

我们知道不同极性的磁极存在相互吸引力，相同极性的磁极存在相互排斥力。同时，电流会在其周围产生磁场。因此，在磁场中的通电导体将会受力的作用。或者说，磁场与电流相互作用，将会产生电磁力，这就是电流在磁场中的电动力效应。电流在磁场中的力效应可用电磁力定律进行描述，电磁力定律就是讨论通电导体在磁场中受力情况的定律，可通过如图1-20的实验进行说明。将一根裸直导体ef放置在处于磁场中水平放置的两根导轨ac和bd上，磁场的两个磁极位置是：上磁极为N极，下磁极为S极。两根导轨与裸直导体的导电性能良好，导轨通过a、b两点用导线引出，与开关和电池相连。当开关断开时，回路中没有电流通过，裸直导体ef在磁场中不动，说明导体没有受到电磁力。将开关闭合，回路接通，电流可由电池正极经开关点a、点e，通过直导体ef，再经过点f、点b回到电池的负极。开关闭合后可以观察到：裸直导体左移，并一直移到磁场的作用范围外或者将开关再次断开为止。这说明，通电的裸直导体受到自右向左的力的作用。如果将与电池连接的两条线对调，即电池的正极与点b连接，电池的负极通过开关与点a连接。重复进行上述实验，可以发现在开关闭合后，通电的裸直导体向右移动。如果电池的接线不改变，而是改变磁场的方向：上磁极为S极，下磁极为N极，然后重复进行实验，结果仍然可以发现，在开关闭合后，通电的裸直导体也向右移动。这说明在磁场中通电的裸直导体的受力方向与磁场的方向和裸直导体中电流的流动方向符合左手定则：将左手自然伸直，手心向着磁场的N极（即，想象磁力线从手心穿过到达手背），4个手指顺着通过裸直导体电流的方向展开，拇指自然伸直，则拇指的方向就是裸直导体受力的方向。

在上述实验中，采用裸直导体是为了说明的方便。当然，如果可以使处于磁场中的导体通入电流，且能够测量其受力的大小和方向，电磁力定律可以表述：1）处于磁场中的载流导体，将受到力的作用，作用力的方向符合左手定则。2）导体受力的大小与磁场强弱、电流大小及处于磁场中导线长度有关。受力大小，可以用数学表达式表示：

式中 f——通电导体在磁场中受到的电磁力（N）；

B——磁场的磁感应强度（磁通密度）（T或Wb/m²）；

l——通电导体与磁场方向垂直的长度（m）；

I——流过导体的电流（A）。

由式（1-19）可知，磁通密度越大、导体通过的电流越大、与磁场方向垂直的导体越长，其所受到的电磁力也就越大。应该注意的是：导线的长度必须是与磁场方向垂直的长度，如果导线与磁场方向不垂直，如图1-21所示，则应用式（1-20）时，应先计算出导线在磁场垂直方向上的长度。

式中 α——载流导体l与磁场的磁感应强度B的夹角，其他同式（1-19）。

四、磁链、自感与电感

线圈与磁通交链称为磁通链，简称为磁链，其值等于穿过线圈的磁通量与线圈匝数的乘积，分析线圈工作的电磁关系时要用到磁链的概念。

1.自感现象

如图1-22所示的是一个线圈通电实验的接线原理图。设：线圈导线电阻很小，可以忽略；小灯泡A和B完全相同。当开关闭合瞬间，灯A立即点亮，灯B则一开始不亮，然后逐渐由暗变亮，最终与灯A一样亮。灯B的亮度之所以会发生变化，说明灯B两端的电压是变化的，或者说，线圈两端的电压是变化的，这是因为线圈储能的过程，把电能转化为磁能储存在线圈中。

从实验的结果看，合上开关瞬间，线圈通电，有电流I_b流过线圈，将产生磁通量Φ。由于原来开关是断开的，穿过线圈的磁通量为零，因此开关闭合瞬间，线圈产生的磁通量为变化的磁通量。根据式（1-16）和式（1-17）表示的电磁感应定律，变化的磁通量将在线圈中感应电动势。而合上开关瞬间，灯B不亮，说明灯B两端的电压很小（小到不足以使灯发亮）或为零。而线圈两端感应电动势与灯A两端电压几乎相等，才会使灯B两端的电压几乎为零。流过线圈电流从无到有，产生磁通量也从无到有，此时的磁通量变化率最大。随着流过线圈电流的增加，其变化率开始下降（因为电流不可能无限增大），线圈产生磁通量变化率也开始下降。根据电磁感应定律，线圈感应电动势（正比于磁通量变化率）也将减小。又根据基尔霍夫电压定律，线圈两端电压U₁₃与灯B两端电压U_B之和等于灯A两端电压U_A。线圈感应电动势下降，则灯B两端电压U_B将增加，于是灯B就逐渐变亮。而随着线圈电流的增加，电流增加的速度进一步减缓，最终线圈电流达到稳定，穿过线圈的磁通量也达到稳定（不变）。根据楞次定律，线圈感应的电动势为零，灯B两端电压与灯A两端电压相等，灯B与灯A的亮度就完全一样。

上面的实验说明：线圈通电后，流过线圈的电流发生变化，线圈产生的磁通量也变化，线圈自身也将感应电动势，这个现象称为线圈的自感现象，根据穿过线圈自身磁通量变化感应的电动势称为自感电动势。所谓自感，可以理解为线圈自身的电磁感应，因此自感电动势的大小仍然采用式（1-17）的电磁感应公式进行计算。

若线圈稳定通电后突然将开关S断开，此时，各电量的变化情况如图1-23所示。可以发现：虽然此时电源已经不对线圈提供电能，但灯A和B在线圈断开后却能保持一段时间继续点亮，这时线圈释放能量，把通电时储存的磁能转化为电能使得灯继续发亮。开关S断开，线圈、灯A和B构成回路，灯A和B发亮的亮度逐渐下降，最终灯A和B完全熄灭，即能量放完。

这个实验说明，在开关断开瞬间，线圈通过的电流要减少（如果将线圈换成一个电阻，则开关断开后，电流就突然变为零），线圈所交链的磁通量将减少。根据电磁感应定律，此时线圈的两端将感应电动势，电动势的方向与开关闭合时的方向正好相反。这个电动势的作用是具有阻碍电流减少的趋势（维持电流继续通过线圈）。由于回路处于通路状态，两个小灯泡继续保持点亮状态。可见，线圈在S闭合期间是储存能量，把电能转化成磁能，在S断开期间是释放能量，把磁能转化成电能，线圈是个储能元件。自感现象的实质是线圈储存能量和释放能量过程的一种体现。

2.自感系数

线圈储存磁场能量的能力可采用一个参数进行表示，这个参数就是电感量，简称为电感。由于线圈储能是通过其所交链的磁通量的变化实现，而交链磁通量既可以是自身线圈流过电流产生的，也可以是其他线圈提供的。因此，电感量实际上有两种：通常反映线圈自身电流产生磁通量变化而储能的电感量称为自感系数，而由另一个线圈提供变化磁通量而储能的电感量称为互感系数。

当一个线圈通过变化的电流后，这个电流产生的磁场使该线圈每匝具有的磁通量Φ称为自感磁通量，整个线圈有N匝，它所具有的总磁通量称为线圈的自感磁通链，简称磁链。用字母ψ表示：

因此，自感系数就是线圈中通过单位电流所产生的自感磁链，其值为线圈的总磁链数值与线圈通过的电流值之比，用字母L表示，单位为亨利，简称亨（H）。

式中 ψ(t)——随时间变化的磁链；

Φ(t)——随时间变化的磁通量；

I(t)——随时间变化的电流。

利用磁路欧姆定律Φ=F/R_m=IN/R_m和磁阻计算公式R_m=l/（μS），将它们代入式（1-22），经过整理有

式中 I——线圈通过的电流(A)；

μ——线圈中材料(铁心磁路)的磁导率(H/m)；

N——线圈的匝数；

S——线圈铁心的截面积(m²)；

l——线圈产生磁通通过的总磁路的长度(m)。

若为空心线圈，则μ=μ₀，是个常数，L也是常数。因此，空心线圈又常称之为不饱和电感(或称为线性电感)；而带铁心的线圈，因其磁路容易饱和，μ不是常数，相应地称之为饱和电感。饱和电感是个非线性电感，其电感量也不是一个常数。可见：铁心线圈的电感L与铁心磁路的磁阻成反比，或与铁心磁导率μ成正比，所以铁心线圈的电感比空心的电感大得多，但由于L随μ变化，也不是一个常数。因为铁心越饱和磁阻越大，而μ和L就越小，所以在分析变压器和交流电机中铁心线圈所产生的正弦感应电动势E时一般不用感抗压降IωL_m表示。

E≠ωLI=X_LI

自感系数简称自感。习惯上将线圈的自感称为线圈的电感，简称电感。注意，与电阻相似，电感一词也有两层意思。一是表示线圈元件（电感元件或电感器），二是表示线圈储能的参数（电感量），不论是电感元件还是电感量，都用字母L表示，其意义可根据上下文进行辨别。自感现象也是电磁感应现象，将式（1-21）代入式（1-16），电磁感应定律可以表示为

即，与线圈交链的磁链发生变化时，线圈将产生自感电动势，自感电动势的方向总是力图阻碍（抵抗）磁链的变化（式中用负号“-”表示抵抗）；感应电动势的大小与磁链的变化率成正比。

磁链是电流产生的，利用磁路欧姆定律和式（1-22），磁链可用电流和电感的关系表示为dψ=Ldi，将这个关系再代入式（1-24），得出线圈（电感）的自感电动势e_L可表示为

可见，线圈感应的自感电动势是由通过线圈的变化电流引起的，只要线圈通过的电流发生变化，线圈将感应自感电动势。自感电动势的大小正比于线圈的电感量L，正比于流过线圈的电流的变化率。式（1-25）中的负号“-”表示：自感电动势的方向总是阻碍（抵抗）电流变化的方向。当线圈的电感量一定时，线圈的电流变化越快，自感电动势越大；线圈的电流变化越慢，自感电动势越小。所以电感量L也反映了线圈产生自感电动势的能力。因此，对于稳定的直流电路来说，电流不变，自感电动势为零，线圈相当于短路，或者说线圈对稳定不变的直流电流没有阻碍（抵抗）作用。这就是常说的，线圈具有“阻交通直”的作用。

若通过的是正弦电流i=I_msin（ωt+α）且磁路不饱和，将i代入式（1-25），得

e _L=-ωLI_msin(ωt+α+90°)

写成复数形式：

这样可画出自感电动势与电流的相量图，如图1-24所示。

3.互感系数

图1-15所示的线圈与线圈实验电路其实就是互感现象的实验电路。由互感现象产生的电动势称为互感电动势，因互感电动势而感生的电流称为互感电流。其中一个线圈中的电流发生变化，将在另外一个线圈产生互感磁通量，这样两个线圈就有磁的联系，这种联系称为磁耦合或互感耦合。互感现象可理解为：一个线圈将电能以磁场形式储存起来，并通过磁路送给另一个线圈；另一个线圈可将这些磁能转换成电能释放（这就是变压器的基本原理）。为了定量表征这种互感耦合的能量传递情况，可采用互感系数作为参数，用字母M表示，其单位与自感系数单位相同，也为H（亨利）。

应该说明的是，互感系数是有方向，如第一个线圈产生磁通量在第二个线圈上产生的电磁感应，其互感系数为M₁₂；而第二个线圈同样也可以使第一个线圈产生电磁感应，其互感系数为M₂₁。对于线性元件(即不考虑磁饱和)，有：M₁₂=M₂₁。因此，线性元件的互感系数不考虑其方向，都用M表示，其大小等于一个线圈提供的变化磁链与另一线圈感生的变化电流的比值，即

与自感系数相似，互感系数M也是一个参数，这个参数反映了一个线圈的磁链对另一个线圈感生电流的能力。两个线圈之间所具有的互感系数M是互感线圈的固有参数，它取决于两个线圈的匝数、几何尺寸、相互间的位置（反映耦合程度）以及互感磁路介质的磁导率。经过推导，可以得出两个具有紧密磁耦合线圈的互感系数M为

式中 N₁、N₂——两个线圈的匝数；

μ——两个线圈耦合磁路的磁导率(H/m)；若为空心线圈，则μ=μ₀；

S——耦合磁路的截面积(m²)；

l——耦合磁路的长度(m)。

采用互感系数后，两个线圈感应的互感电势e₁₂和e₂₁分别为

式中 e₁₂、e₂₁——第一和第二线圈感应的互感电动势；

di₁/dt、di₂/dt——两个线圈的电流变化率，负号“-”表示互感电动势方向总是力图阻碍（抵抗）产生它的另一线圈电流变化。