第二节 单因素实验设计

单因素实验设计有黄金分割法(0.618法)、对分法、分数法、分批实验法等。黄金分割法、对分法和分数法能通过较少的实验次数快速找到最佳点,适用于一次只能出一个结果的实验。其中对分法效果最好,每做一个实验就能去掉实验范围的一半;分数法应用范围较广,可以用于实验点数只能取整数或某特定数,以及限制实验次数和精确度的情况。分批实验法适用于一次能同时得出多个结果的实验。下面分别介绍对分法、分数法和分批实验法。

1.对分法

采用对分法时,首先要根据经验确定实验范围。假设实验范围在ab之间,第一个实验点确定为ab的中间点x1[x1=(a+b)/2]。如果实验结果表明x1值取大了,则去掉大于x1的一半,第二个实验点确定为ax1的中间点x2[x2=(a+x1)/2]。如果第一个实验结果表明x1值取小了,则去掉小于x1的一半,第二个实验点确定为x1b的中间点。这种方法的优点是每进行一次实验就可以去掉一半,并且取点方便,适用于事先已经了解所考察因素对实验指标的影响规律,能从一个实验结果直接判断出该因素的值是大了还是小了的情况。例如,混凝实验的药剂投加量的确定,就可以采用对分法。

2.分数法

分数法又叫菲波那契数列法,是利用菲波那契数列进行单因素优化实验设计的一种方法。当实验点只能取整数或限制实验次数时,采用分数法进行实验设计较好。例如,只能进行一次实验时,实验点取在1/2处,其精确为1/2,即实验点与实际最佳点的最大可能距离为1/2。如果只能进行两次实验时,第一个实验点取在2/3处,第二个实验点取在1/3处,其精确度为1/3。如果只能进行三次实验时,第一个实验点取在3/5处,第二个实验点取在2/5处,第三个实验点取在1/5或4/5处,其精确度为1/5。做几次实验就在实验范围内Fn/Fn+1处做,其精确度为1/Fn+1。表1-1为分数法实验点位置与精确度。

表1-1 分数法实验点位置与精确度

表1-1中的FnFn+1称为“菲波那契数”,递推式如下:

所以,F2=F1+F0=2,F3=F2+F1F4=F3+F2=5…Fn+1=Fn+Fn-1

表1-1第三行中的各分数,从2/3开始以后的每一分数,分子都是前一分数的分母,分母是前一分数分子与分母的和,按照此方法就可以确定第一个实验点的位置。

分数法各实验点的位置可由下列公式求出:

第一个实验点=(大数-小数)×Fn/Fn+1+小数 (1-1)

新实验点=(大数-中数)+小数 (1-2)

式中 大数——实验范围的最大值;

 中数——已经进行了的实验点;

 小数——实验范围的最小值。

下面以具体实例说明分数法的应用。

某污水厂准备投加FeCl3来改善污泥的脱水性能,根据初步调查,投药量在0~160mg/L,要求通过4次实验确定最佳投药量。

根据公式(1-1)可以得到第一个实验点的位置

(160-0)×5/8+0=100(mg/L)

根据公式(1-2)可以得到第二个实验点的位置

(160-100)+0=60(mg/L)

假定第一个实验点比第二个实验点好,去掉0~60mg/L的一段,在60~160mg/L之间找第三个实验点,即

(160-100)+60=120(mg/L)

如果第三个实验点比第一个实验点好,则去掉60~100mg/L的一段,在100~160mg/L间找第四个实验点,即

(160-120)+100=140(mg/L)

如果第三个实验点结果比第四个实验点好,即在FeCl3的投药量为120mg/L时,污泥脱水效果最好。

3.分批实验法

当完成实验需要较长的时间,或者测试分析需要较高的费用,而每次同时测试几个样品和测试一个样品所花的时间、人力和费用相近时,采用分批实验法较好。分批实验法又分为均匀分批实验法和比例分割实验法。这里仅介绍均匀分批实验法。这种方法是每批实验均安排在实验范围内。例如,每批要做4个实验,可以先将实验范围(ab)均分为5份,在其4个分点x1x2x3x4处做4个实验。将4个实验样品同时进行测试分析,如果x3好,则去掉小于x2和大于x4的部分,留下x2x4范围。然后将留下部分再分成6份,在未做过实验的4个分点进行实验,这样一直做下去,就能找到最佳点。用这种方法,第一批实验后范围缩小2/5,以后每批实验后都能缩小为前次余下的1/3。例如,测定某种毒物进入生化处理构筑物的最大允许浓度可用此方法。