小结

本章作为闲聊的引言，有意无意地省略了一些东西。我们没有明晰每一个概念的含义，而是诉诸你我的日常认知，比如根号、幂次、多项式等。不仅如此，我刻意用“未知量”一词，而没有用“未知数”，是因为“数”这个概念将会有其特定含义，在本书中扮演重要的角色。同样，“根”这个概念也将会在下文被严格形式化地、数学地定义。当然，我这里又用了“形式化”这一个新词，它或许是一个在中文语境与日常生活中很少见到的词语。但是，“形式”这个概念却在现代数学中极为重要，其确保了对概念的定义与进行的推理是正确有效的，我们在后文会专门来讨论它。

总之，如果读到这里，你成功被吸引了，那太好了！接下来，我们便要开始登山，踏上征服问题1.1的旅程。这千里之行的第一步将是摆脱中文与英文这些我们日常的语言，以消除模糊与歧义，为每一个概念赋予严格明确的定义，继而将问题框定在一个明确的边界内。基于此，我们再借助逻辑的力量进行抽象与推演，直到洞察问题背后的本质结构，找到答案。

不过等一下，摆脱日常语言？那我们要用什么来表达与书写呢？数学！

---

(1)　英文原文：Houston, we have a problem。1970年4月13日，发射升空刚两天的美国探月飞船阿波罗十三号的氧气罐发生爆炸，宇航员斯威格特（Swigert）通过无线电如是告知美国航空航天局（NASA），此时三名航天员距离地球321 860千米，正向月球飞去……传奇的是，最后他们竟然成功返回了地球。请放心，我们将处理的问题比他们遇到的要安全得多。

(2)　所谓闲聊，即这一章是不严谨与不严密的，概念也是缺乏严格定义的。看不明白的地方可以略过，感觉有漏洞的地方也不要太在意。

(3)　翻译引自参考文献[1]，略有修改。

(4)　为了区别下文将使用的数学意义上的定义，我们把基于直观认知的描述称为概念。

(5)　我之所以知道，是因为这个方程是我利用五倍角公式sin 5θ=16 sin⁵θ−20 sin³θ+5 sin θ令5θ=30◦写出来的。

(6)　我们用记号A:=…表示A是由右边的东西定义的。类似的，…=:B表示B是被左边的东西定义的。数学上也会用来表示定义，但是我偏好：=，因为还能多指个方向。

(7)　这里我想使用英文insight一词，感觉对应中文“洞察”是不错的选择。

(8)　这里各项的位置是很重要的，因为那个时候的人们还不使用负数，这些p,q都是正整数。

(9)　意大利语拼做Cardano，英语拼做Cardan，所以也会被译做“卡当”。

(10)　必须承认这里的中文表述有一定歧义。我们前面说过方程的“根”就是方程的“解”，那求“根”公式应该就是求“解”公式呀，应该能求任意形式的解，为啥这里限定只能是“根式”解？其实在英文中，这里的两个“根”对应的是不同的单词。表示“解”的“根”是root，而根式解中的“根”是radical。它们都有“根”的意思，但前者侧重具体的根如“树根”，后者侧重抽象的根如“根本”。

(11)　本章作为不严谨的闲聊，省去一些严格的说明，比如这里应要求最高项次数a不为零以避免分母为零。当然，这一点其实已蕴含在称其为“一次方程”之中。再比如下文开根号时需要对象非负，也不作赘述了。