2.1.3 内力计算

（一）计算简图

内力计算基本假定：

（1）当不考虑结构纵向不均匀变形时，结构可视为平面变形问题，计算时可沿纵向截取单位长度（1m）的截条当作闭合框架来计算。

（2）不考虑支托（腋角）对构件的影响，认为杆件为等截面。

（3）中间隔墙的刚度相对较小，当侧力不大时，将中间隔墙看作只承受轴力的二力杆。

根据上述基本假定，图2-4a所示的两孔闭合框架计算简图可用图2-4b替代。

（二）内力计算方法

1. 弹性地基框架内力计算方法——力法

根据以往经验或近似计算方法设定各杆件的截面尺寸后，进行超静定结构的内力计算。静载作用下浅埋式闭合框架结构一般可按弹性地基上闭合框架进行内力计算。计算时沿纵向取一单位宽度（b=1m）作为计算单元，对地基也截取相同的单位宽度并把它看作一个弹性半无限平面。

框架的内力分析可采用图2-5a所示的计算简图，与一般平面框架的区别在于底板承受未知的地基弹性反力，内力计算相对较为复杂。

弹性地基上闭合框架的内力计算可采用结构力学中的力法，只是需要将底板按弹性地基梁来考虑。取图2-5a的基本体系（图2-5b），在横梁中央切开，未知力x₁、x₂和x₃，力法典型的方程为

δ ₁₁ x ₁+δ₁₂x₂+δ₁₃x₃+Δ_1p=0

系数δ_ij是指在未知力x_i=1作用下，沿x_j方向的变位值；Δ_ip是指外荷载作用下沿x_i方向的变位值，可按下式计算

式中 ——框架基本结构在单位力x_i=1作用下产生的x_j方向的位移（不包括底板）；

b_ij——底板按弹性地基梁在单位力x_i作用下计算出的切口处x_j方向的位移；

——框架基本结构在外荷载q作用下产生的位移（不包括底板）；

b_{i p}——底板按弹性地基梁在外荷载q作用下计算出的切口处x_i方向的位移；

M_i、M_j、M_p——框架基本结构在未知量x_i=1、x_j=1以及外荷载q作用下的弯矩。

将所求得的系数及自由项代入典型方程，即可求得未知力x_i，并进而计算闭合框架结构的内力（弯矩M、剪力V、轴力N）值。

根据计算简图求解超静定结构时，可直接求得节点处的内力（即构件轴线相交处的内力），然后利用平衡条件求得任意截面处的内力。截面的计算弯矩M可采用叠加法按式（2-18）计算

2. 弹性地基框架的内力分析方法——力法或位移法

弹性地基框架的内力分析可将超静定的上部刚架与底板作为基本结构，将上部刚架与底板分开计算，再按照切口处反力相等（图2-6b）或变形协调（图2-6c），用位移法或力法解出切口处的未知位移或未知力，然后计算上部刚架和底板的内力。

对图2-7a所示弹性地基闭合框架，取基本结构（图2-7b），因结构及荷载对称，可取未知力x，其典型方程为

（1）系数Δ_1p

对上部刚架A点角变值，有

式中 k₁、k₂——上部刚架柱、梁的线惯性矩，k₁=I/H、k₂=I/L。

这里，固端弯矩以顺时针为正，。

如图2-8所示，在两个对称反力P作用下弹性地基梁，引起A点的角变值为

式中 P——作用于梁上两个对称集中力值；

——两个对称集中力作用下，弹性地基梁的角变计算系数，查相关表确定。

对于底板，首先按式（2-22）计算弹性地基梁的柔度指标t，查在单位力P=1kN时，在α=1、ξ=1处（A点）角变值系数。

将式（2-20）和式（2-21）叠加可得，Δ_1p=

（2）系数δ₁₁对上部刚架A点角变值：

式中 k₁、k₂——上部刚架柱、梁的线惯性矩，k₁=I/H、k₂=I/L。

这里，固端弯矩M_AB=-1，M_BA=0，M_BC=0。

如图2-9所示，在两个对称弯矩m作用下弹性地基梁，引起A点的角变值为

式中 m——作用于梁上两个对称弯矩值；

——两个对称弯矩作用下，弹性地基梁的角变计算系数，查相关表确定。

对于底板，首先计算弹性地基梁的柔度指标t，查单位弯矩m=1kN·m作用下，在α=1、ξ=1处（A点）角变值系数。

将式（2-23）和式（2-24）叠加可得，

（3）未知力x 由式（2-19）可得，未知力x=-Δ_1p/δ₁₁。

这样可根据结构力学方法计算二铰刚架的弯矩，同时根据A点及D点处的反力和弯矩计算底板弯矩。

3. 弹性地基框架内力计算方法——链杆法

链杆法求解弹性地基框架内力的基本思路：将与地基接触的底板用有限个刚性链杆（或弹簧）替代，每个刚性链杆的作用力，代表一段接触面积上地基反力的合力，只要求出各个刚性链杆（弹簧）的内力，即可求得地基反力以及底板的弯矩和剪力。

将未知反力分段代入刚性链杆（或弹簧单元），用混合法（或力法）求解。切断刚性链杆（或弹簧单元）并以未知力及变位作为未知数，而上部刚架仍可采用力法或位移法分析。将上述未知力代入典型方程中，可解出框架内力。

图2-10a所示弹性地基框架，将框架横梁在中部切开，代以未知力x₄和x₅（因为结构对称，荷载对称，切开处剪力等于零）。在底板与地基之间设置刚性链杆（或弹簧单元），设置8个刚性链杆（或弹簧单元），切开刚性链杆采用未知力x₀、x₁、x₂和x₃表示。采用悬臂刚架的基本结构，固定底板的中点，基本结构如图2-10b所示。

这样典型的方程为

在式（2-25）中，有些系数为零，在框架切口处，未知力x₀不会使切口x₄和x₅产生相对变位，故δ₀₄=δ₄₀=0，δ₀₅=δ₅₀=0；外荷载在x₀方向产生的位移为零，即Δ_0p=0；框架切口处沿x₄和x₅方向的相对变位也与基本结构产生的沉陷y是无关的，故相应的方程中y₀=0。

采用链杆法弹性地基梁的方法计算x₀、x₁、x₂和x₃等单位力作用下沿x₀、x₁、x₂和x₃方向的变位，变位δ_ki包括梁和地基两部分，即

式中 y_ki——地基的沉陷；

v _{k i} ——梁的挠度。

（1）地基的沉陷y_ki 由于刚性链杆的反力是按等间距分布的，可将各链杆点的相对沉陷值推导出与x/c有关的计算式（其中x为力作用点到沉陷计算点的距离，c为链杆间距）得

式中 F_ki——与x/c有关的系数，按表2-3确定；

C_i——积分常数，其值与所选参考点至力作用点的距离有关，当参考点选择足够远时，计算各点沉陷时可将其当作常数。

（2）悬臂梁的挠度v_ki 悬臂梁的挠度v_ki可采用下列求变位的公式

根据图2-11和式（2-28）可得

令

则

式中 a_i——x_i点至固定截面之间的距离；

a _k ——x _k点至固定截面之间的距离。

ω _{k i} 仅与及有关，可以制成计算用表（表2-4）。

将y_ki、v_ki代入式（2-26）可得

由于对半无限平面所求得的沉陷值为对某一定点的相对沉陷值，积分常数项对所求反力的大小没有影响，上式可变换为

若将系数δ_ki每一项都乘以E₀π并不影响结果，则将系数的计算式简化为

式中 α——与底板和地基刚度有关的常数，。F_ki和ω_ki值可根据x/c、a_i/c、a_k/c值由表2-3或表2-4确定。

需要注意：在计算地基的沉陷时，要考虑到左右两侧一对x_k力对点x_i产生的影响。而计算底板的变位时，由于选用中央固定的悬臂刚架为基本结构，左边的反力x_k对右边的x_i点将不产生影响，如图2-12所示。

当计算刚性链杆处单位力x₀、x₁、x₂和x₃作用下沿框架切口处x₄和x₅方向变位时，可按刚架求变位公式计算。当为等截面直杆时，可采用图乘法。需要注意，在采用上述系数表计算中，由于在建立典型方程时，刚性链杆未知力产生的位移值，都曾乘以E₀π[若为平面变形情形为，因此计算δ_ki、δ₁₅、…、δ₅₅等系数时，也应乘以相同的数值。

同样，可按相同方法求得自由项的数值。当各系数求出后，代入典型方程即可得出框架内力（弯矩M、剪力V、轴力N）。

（三）内力计算

1. 设计弯矩M_i

由于闭合框架节点处设置托板（腋角），实际不利截面在墙的边缘处。根据隔离体平衡条件（图2-13b）可得控制截面的设计弯矩为

式中 M_i——设计弯矩；

M——计算弯矩；

Q——计算剪力；

b——支座宽度；

q——作用于杆件上的均布荷载。

设计中，为了简化计算，式（2-31）可近似地用下式代替

2. 设计剪力Q_i

根据结构力学方法，可计算截面的计算剪力Q；弹性地基梁的截面计算剪力Q可按式（2-33）计算

同理，控制截面（不利截面）处的设计剪力Q_i（图2-14）可按下式计算

3. 设计轴力N_i

由静载引起的设计轴力可按下式计算

式中 N——由静载引起的截面计算轴力。

由特殊荷载引起的设计轴力可按下式计算

式中 Nt——由特殊荷载引起的计算轴力；

ξ——折减系数，对于顶板取ξ=0.3，对于底板和侧墙可取ξ=0.6。

将上述两种情况求得的设计轴力叠加即得各杆件的最终设计轴力。