3.9　基于恒模的盲波束形成算法

3.9.1　信号模型

考虑由M个阵元构成的阵列天线，接收到不同的信号，经N次采样后的接收数据模型可以表示为

式中，X是M×N的接收数据矩阵；S是K×N输入信号矩阵且；是第i个信号的输入向量；A是M×K的阵列响应矩阵，且有，。是信号的导向向量，，d是阵元间隔，λ是载波波长，是信号的波达角。

不妨设s1是用户信号，则波束形成算法可以归纳为已知接收数据矩阵X，寻找满足波束形成方程

的权向量w。这里，是对用户信号的估计。相应地，天线阵的输出向量y可以表示为

3.9.2　随机梯度恒模算法

恒模信号在经历了多径衰落、加性干扰或其他不利因素时，会产生幅度扰动破坏信号的恒模特性，因此可以利用恒模阵波束形成器来最大程度地恢复恒模信号，恒模阵波束形成器的结构示意图如图3-7所示。这里，恒模阵波束形成器利用恒模算法通过对恒模代价函数的优化来恢复恒模用户信号[46-53,61]，恒模算法定义的代价函数为

其中，p、q是正整数，在实际中取1和2，并相应地记作“CMAp-q”；α是阵列输出期望信号的幅值。由于恒模算法的代价函数是非线性的，无法直接求解，只能采用迭代的方法逐步逼近最优解，一般采用梯度下降法来优化恒模代价函数，其迭代公式为

这里，μ>0，是步长因子；∇w表示关于w的梯度算子。用瞬时值取代期望值，并取定p、q值，得到

其中，

上述4式以CMA1-2和CMA2-2最为常用。众所周知，随机梯度恒模算法的收敛性能很大程度上取决于算法设置的初值和步长因子[54-60]。一般而言，在使用算法之前需要仔细地校正步长，如果步长过小，则收敛速度太慢；若步长过大，则性能容易失调。

3.9.3　最小二乘恒模算法（LS-CMA）

最小二乘恒模算法是Agee[64]提出的，使用了非线性最小二乘（高斯法）的推广来设计恒模算法。根据高斯法的推广，令代价函数为

式中，gk(w)为第k个信号的非线性函数，其中k=1,…,K，向量g(w)=[g1(w),g2(w),…,gK(w)]T，则代价函数具有部分Taylor级数展开的平方和的形式：

式中，d是偏差向量，且

代价函数F(w+d)相对于偏差向量d的梯度向量为

令，求出使F(w+d)最小的偏差向量为

将偏差向量d与权向量w(k)相加，可以得到使代价函数最小的新权向量w(k+1)，也就是得到权向量的更新公式

式中，k表示迭代步数。将上式应用恒模函数，即得到最小二乘恒模算法，令代价函数为

比较式（3-95）和式（3-96），知

根据文献[64]，可以得到权向量更新公式

式中，，。向量y和r分别称为输出数据向量和复限幅输出数据向量。L(y)代表对y的硬限幅运算。

式（3-97）称为静态最小二乘恒模算法，因为算法是使用K个数据组成的单个数据块{x(k)}迭代的。一旦权向量w(k+1)计算出来，滤波输出的新估计值y便可得到，并产生r(k+1)的新值。算法重复迭代，直至收敛。

与静态最小二乘恒模算法不同，动态最小二乘恒模算法不是在一个静态数据块内迭代的。相反，它使用最新的K个数据组成的向量进行权向量更新，并且每隔K个样本进行一次更新，即

则动态最小二乘恒模算法

式中，