3.2　常用的波束形成算法

3.2.1　波束形成原理

利用阵元直接相干叠加而获得输出，其缺点在于只有在垂直于阵列平面方向的入射波在阵列输出端才能同相叠加，以致形成方向图中的主瓣的极大值。反过来说，如果阵列可以围绕它的中心轴旋转，那么当阵列输出最大时，空间波必然由垂直于阵列平面的方向入射而来。然而，有些天线阵列是很庞大、不能转动的。因此，设法设计一种相控阵天线法（或称常规波束形成法），这是最早出现的阵列信号处理方法。在这种方法中，阵列输出选取一个适当的加权向量以补偿各个阵元的传播延时，从而使在某一期望方向上阵列输出可以同相叠加，进而使阵列在该方向上产生一个主瓣波束，而对其他方向上产生较小的响应，用这种方法对整个空间进行波束扫描就可确定空中待测信号的方位。

以一维M元等距线阵为例，波束形成算法结构图如图3-1所示，设空间信号为窄带信号，每个通道用一个复加权系数来调整该通道的幅度和相位。

这时阵列的输出可表示为

如果采用向量来表示各阵元输出及加权系数：

那么，阵列的输出也可用向量表示为

为了在某一方向θ上补偿各阵元之间的时延以形成一个主瓣，常规波束形成器在期望方向上的加权向量的构成为

观察此加权向量，若空间只有一个来自方向θ的信号，其方向向量a(θ)的表示形式跟此权向量一样。则有

这时常规波束形成器的输出功率可以表示为

其中，矩阵R为阵列输出x(t)的协方差矩阵，即

下面来分析常规波束形成法的角分辨率问题。一般来说，当空间有两个同频信号投射到阵列时，如果它们的空间方位角的间隔小于阵列主瓣波束宽度，那么不仅无法分辨它们，而且还会严重影响系统的正常工作，即对于阵列远场中的两个点信号源，仅当它们之间的角度分离大于阵元间隔（或称阵列孔径）的倒数时，它们才可被分辨，这就是瑞利准则。瑞利准则说明常规波束形成法固有的缺点就是角分辨率低，如果要设法提高角分辨率，就要增加阵元间隔或增加阵元个数。这在系统施工上是难以实现的。

3.2.2　波束形成的最佳权向量

上述“导向”作用是通过调整加权系数完成的。令权向量为，则输出可表示为

对不同的权向量，上式对来自不同方向的电波有不同的响应，从而形成不同方向的空间波束。一般用移相器进行加权处理，即只调整信号相位，不改变信号幅度，因为信号在任一瞬间各阵元上的幅度是相同的。不难看出，若空间只有一个来自方向的电波，其方向向量为，则当权向量w取时，输出最大，实现导向定位作用。这时，各路的加权信号为相干叠加，称这一结果为空域匹配滤波。

匹配滤波在白噪声背景下是最佳的，如果存在干扰信号就要另作考虑。下面考虑更复杂情况下的波束形成。假设空间远场有一个感兴趣的信号d(t)（或称期望信号，其波达方向为θd）和J个不感兴趣的信号ij(t)，j=1,…,J（或称干扰信号，其波达方向为θij）。令每个阵元上的加性白噪声为nk(t)，它们都具有相同的方差σ2。在这些假设条件下，第k个阵元上的接收信号可以表示为

式（3-8）中等式右边的三项分别表示信号、干扰和噪声。若用矩阵形式表示，则有

或简记为

式中，，表示来自波达方向的发射信源的方向向量。N个快拍的波束形成器输出的平均功率为

这里忽略了不同用户之间的相互作用项，即交叉项。当N→∞时，式（3-11）可写为

式中，为阵列输出的协方差矩阵。

另一方面，当N→∞时，式（3-11）可表示为

在获得上式的过程中，使用了各加性噪声具有相同的方差这一假设。

为了保证来自方向θd期望信号的正确接收，并完全抑制其他J个干扰，很容易根据式（3-13）得到关于权向量的约束条件

约束条件式（3-14）称为波束“置零条件”，因为它强迫接收阵列波束方向图的“零点”指向所有J个干扰信号。在以上两个约束条件下，式（3-13）简化为

从提高信干噪比的角度来看，以上的干扰置零并不是最佳选择。这是因为虽然选定的权值可使干扰输出为零，但可能使噪声输出加大。因此，抑制干扰和噪声应一同考虑。这样一来，波束形成器最佳权向量的确定可以叙述为，在式（3-14）的约束下，求满足式（3-15）的权向量w：

这个问题很容易用Lagrange乘子法求解。令目标函数为

根据线性代数的有关知识，函数f(w)对复向量的偏导数定义为

利用这一定义，可以得到

由式（3-16）和式（3-18）易知，∂L(w)∂w=0的结果为2Rw+λa(θd)=0，得到的接收来自方向θd的期望信号的波束形成器的最佳权向量为

式中，μ为一比例常数，θd是期望信号的波达方向。这样，就可以决定J+1个发射信号的波束形成的最佳权向量。此时，波束形成器将只接收来自方向θd的信号，并抑制所有来自其他波达方向的信号。

注意到约束条件也可等价地写作，则式（3-19a）两边同乘以，并与等价的约束条件比较，可得式（3-19a）中的常数μ应满足

从上面介绍的阵列处理的基本问题可以看出，空域处理和时域处理的任务截然不同，传统的时域处理主要提取信号的包络信息，作为载体的载波在完成传输任务后不再有用；而传统的空域处理则为了区别波达方向，主要利用载波在不同阵元间的相位差，包络反而不起作用，并利用窄带信号的复包络在各阵元的延迟可忽略不计这一特点来简化计算。

如式（3-19）所示，波束形成器的最佳权向量w取决于阵列方向向量a(θk)，而在移动通信里的用户的方向向量一般是未知的，需要估计（称为DOA估计）。因此，在使用式（3-19）计算波束形成的最佳权向量之前，必须在已知阵列几何结构的前提下先估计期望信号的波达方向。该波束形成器可称最小方差无畸变响应（MVDR）。

3.2.3　波束形成的准则

由于传统的常规波束形成法分辨率较低，这促使科研人员开始对高分辨波束形成技术进行探索，自适应波束形成算法很快就成了研究热点。自适应波束形成在某种最优准则下通过自适应算法来实现权集寻优，它能适应各种环境的变化，实时地将权集调整到最佳位置附近。

波束形成算法是在一定准则下综合各输入信息来计算最优权值的数学方法。这些准则中最重要、最常用的如下。

最大信噪比准则（MSNR）：使期望信号分量功率与噪声分量功率之比最大，但是必须知道噪声的统计量和期望信号的波达方向。

最大信干噪比准则（MSINR）：使期望信号功率与干扰功率及噪声分量功率之和的比最大。

最小均方误差准则（MMSE）：在非雷达应用中，阵列协方差矩阵中通常都含有期望信号，基于此种情况提出了该准则。使阵列输出与某期望响应的均方误差最小，不需要知道期望信号的波达方向。

最大似然比准则（MLH）：在对有用信号完全先验未知的情况下，参考信号无法设置，因此，在干扰噪声背景下，首先要取得对有用信号的最大似然估计。

线性约束最小方差准则（LCMV）：对有用信号形式和来向完全已知，在某种约束条件下使阵列输出的方差最小。

可以证明，在理想情况下这几种准则得到的权是等价的，且可写成通式，通常为维纳解。其中，是期望信号的方向函数，亦称约束导向向量，是不含期望信号的阵列协方差矩阵。表3-1比较了MMSE、MSNR和LCMV这3种统计最佳波束形成技术的准则、代价函数、最佳解及具有的优缺点。表中LCMV方法的线性约束条件取时，该方法也就是最小方法无畸变响应（MVRD）波束形成器。