2.2　高阶统计量

2.2.1　高阶矩、高阶累积量和高阶谱

高阶统计量通常包括高阶累积量和高阶矩，以及它们相应的谱——高阶累积量谱和高阶矩谱这四种主要统计量。它们都描述了随机过程的数字特征[1]。

对于n维随机变量X=[x1,x2,…,xn]T，定义其第一特征函数为

其第二特征函数为

定义2.2.1和定义2.2.2　对式（2-24）和式（2-25）分别进行泰勒级数展开，则随机变量的阶累积量和阶矩分别定义为

累积量和矩之间可以相互转化。如果随机变量的一次实现为，表示x的下标的组合。若，则表示下标为I的子向量，I≤k，其中，i=1,2,…,q，q≤k。若I的一种分割的集合中的元素数量为q个，表示非相交、非空的无序集合，表示对I所有可能的分割求和。用表示的矩，用表示的累积量，则累积量和矩之间的转换公式为

由此可知，一个零均值随机过程{x(n)}的二、三、四阶累积量分别为

若零均值的随机过程{x(n)}是平稳的，则有：

定义2.2.3　设高阶累积量是绝对可和的，即

则k阶累积量谱定义为k阶累积量的k-1维傅里叶变换，即

高阶累积量谱常简称高阶谱或多谱。最常用的高阶谱是三阶谱和四阶谱，我们又把三阶谱称为双谱，四阶谱称为三谱。

定义2.2.4　设高阶矩是绝对可和的，即

则k阶矩谱定义为k阶矩的k-1维傅里叶变换，即

2.2.2　累积量性质

性质2.2.1　设n个常数λi（i=1,…,n）与n维随机变量{x1,x2,…,xn}对应，则有

性质2.2.2　累积量关于它们的变量对称。

其中，(i1,i2,…,in)是(1,2,…,n)的任意一种组合。

性质2.2.3　累积量关于它们的变量具有可加性。

性质2.2.4　如果α为常数，则有

性质2.2.5　如果n维随机变量和相互独立，则

性质2.2.6　如果n维随机变量中的某个子集与其补集相互独立，则

2.2.3　高斯随机过程的高阶累积量

n维高斯随机变量，设其均值向量为，协方差矩阵为

其中，且，i,j=1,2,…,n。

n维高斯随机变量X的联合概率密度函数为

X的联合特征函数为

其中

X的第二联合特征函数为

于是，根据累积量定义式，随机变量X的阶累积量为

由于Ψ(ω)是关于自变量ωi(i=1,2,…,n)的二次多项式，因而Ψ(ω)关于自变量的三阶及更高阶的偏导数等于零，则X的三阶及三阶以上的累积量等于零。

由X的联合特征函数可得出阶矩，并可证明

由此可得以下结论：

（1）高斯过程大于二阶的矩不会比二阶矩提供更多的信息。

（2）高斯过程大于二阶的累积量全部为零。

（3）非高斯过程至少存在某个大于二阶的高阶累积量不为零。

因此，高阶累积量可以抑制高斯分布的噪声，建立高斯噪声中的非高斯信号模型，提取高斯噪声中的非高斯信号。

2.2.4　随机场的累积量与多谱

引入向量符号

定义2.2.5　随机场y(m,n)的k阶累积量定义为第二特征函数（累积量生成函数）的Taylor级数展开中的项的系数。

因此，y(m,n)的k阶累积量是用k阶及其以下各阶的联合矩定义的，是2(k-1)个滞后变量的函数。更高维数的随机过程的累积量也可以用类似的方法定义，而且d维随机场的k阶累积量是d(k-1)个滞后变量的函数。

为了简化符号，我们用表示d个元素的行向量，记,，用表示，并且定义及

利用以上符号，零均值的随机过程的二、三、四阶累积量分别由以下各式给出：

作为平稳性的结果，我们有

这说明，二维平稳随机过程y(m,n)的三阶累积量只需要计算出区域内的累积量，就能够推算出所有滞后的累积量。这一区域就是三阶累积量的无冗余支撑区。对于d维随机场，其k阶累积量共有k!个对称关系：

将上述讨论结果推而广之，将标量变元换成向量变元后，（一维）累积量的定义、对称性，以及其他性质就变成多维累积量的定义和各种性质。同样，高斯过程的定义及性质也可进行相应的推广。

d维随机过程的k阶多谱定义为其k阶累积量的d(k-1)维傅里叶变换。和一维情况类似，累积量的绝对可和性是对应的多谱存在的充分条件。进一步地，若是一个可表示为的线性过程，则的多谱存在的条件是：的（相同阶数）多谱存在，并且是绝对可和的。

特别地，2d维双谱是式（2-55）的2d维傅里叶变换：

注意，d维随机过程的k阶多谱是d(k-1)个频率变量的函数，因为每个都是d个元素的行向量。双谱具有以下对称性质：

若为实值过程，则

k阶多谱相对于它们的变元是对称的，并满足下列关系：

2.2.5　二维随机场的高阶矩及高阶累积量估计

如果y(t1,t2)为一个二维零均值实平稳过程，满足如下条件：

∀i∈{1,2,…,2k-1},且

那么，对有如下结论：

其中，表示“几乎肯定相等”，式（2-64）表示“k阶矩的样本估计几乎肯定收敛到k阶矩的真实值”。k阶矩、k阶矩的样本估计、k阶累积量及k阶累积量的样本估计分别定义如下：