3.3　无限深透水坝基及坝坡出逸坡降的计算

不管对于有限深透水坝基还是无限深透水坝基，最容易发生渗透破坏的地方都是其下游的渗流出口处，诸如流土、管涌等破坏类型。有时在该处设置反滤层后，也常常会发生反滤层淤堵的情况，仍将导致渗透破坏。造成渗透破坏的主要原因是渗流出逸坡降大于该处土料的临界坡降，所以在大坝和坝基的控渗处理中必须严格控制渗流出逸坡降。

此外，坝坡的出逸坡降是校核下游坝坡稳定安全的重要数据，坝坡面由于受渗透力作用产生的局部破坏极易危害下游坝坡的整体安全，因此对下游坝坡的防护在工程实际中备受重视。通过计算发现，要获得坝体下游边坡和坝基的出渗坡降精确的解析方法，其计算极为复杂，而且对于较复杂的边界也无法应用。因此在计算中，对研究的边界进行了近似假定，再通过保角变换和流体力学方法求得问题的实用解。

假定无限深透水地基为均质地基，在计算中对坝下游坡角处水深为0和水深为H2两种情况分别进行求解，求出坝坡和坝基下游的出逸坡降。

3.3.1　无限深透水坝基上土石坝坝后坡脚处水深为0时出逸坡降的计算

当无限深透水地基上土石坝坝后坡脚处水深为0时，坝后出逸坡降计算可以分为两段进行计算：①坝坡面渗出段BA；②下游坝基段AD段（计算简图如图3.2所示）。

3.3.1.1　坝坡渗出段BA

经公式推导发现，无限深透水坝基上土石坝下游坝坡BA段，出逸坡降的精确解包含有级数求和超越函数等，表达式也十分复杂。在此利用流体力学法求出该段出逸坡降的近似解答，并以此来代替其精确解，近似解的计算表达式为

通过式（3.10）计算发现（表3.3），坝坡出逸段的渗透坡降J与h0/y之间密切相关，当二者的比值在1～2范围内时，沿下游坝坡面的出逸坡降呈线性变化规律且斜率很小；当y值趋于0时（计算点接近坝脚），出逸坡降变化较大，当刚好在A点时，其出逸坡降等于无穷大。即JBA＝∞。也就是说公式（3.10）在计算点接近A点时，本书的简化公式计算结果与出逸坡降的精确解存在较大的误差，但由于在A点坡降无穷大，计算其精确解没有实际意义。

3.3.1.2　无限深透水坝基下游坝基面AD段

在计算AD段的出逸坡降时，为了推导公式简单，作以下假设：用坝基所在的水平线AE′来取代通过下游坝坡角A点的流线AE（图3.2），这样假设的原因是：当下游水平段的横坐标x值足够大时，过A点的流线AE对下游坝基面上坡降的影响是很小的。

这样，渗透出逸坡降计算的边界条件为：①AE′可作为一条流线并可视为不透水边界；②坝基面AD为等水头。利用复变函数中保角变换的知识很容易找到这类问题中复势ω与复数坐标Z存在下列关系：

其中：Z＝x＋i y，ω＝φ＋iψ；C为复常数。

将Z和Ω代入式（3.11），然后分开复数的实部和虚部。

根据边界条件，在G点（B点向AE′作垂线，G点为垂足）有：x＝－m2h0，φ＝－kh0，ψ＝0，所以可得到常数

因为土石坝下游坡脚处水深为0，故在坝基面AD线上水头h＝0，所以又得

上式两边开平方根得

又因为所以对上式所得的流函数再对x进行求偏导得

根据式（3.12）计算发现：下游坡角A点处的渗透出逸坡降J＝∞，这与式（3.10）的计算结果是一致的。

为了说明假设后简化公式的计算结果是相对精确的，作者根据实例（如图3.2中，下游坝坡的边坡系数m2＝2，上下游水头差h0为5m）求出相应的精确解，然后分别用式（3.10）和式（3.12）计算出AB和AD段的出逸坡降，并与其精确解进行对比，其结果见表3.3　。

从表3.3的计算结果可以看出，随着AD段上各点横坐标x的增大，渗透出逸坡降J值减小也很快，尤其是当x/h0＞1/3后，式（3.12）的计算值与精确解已经非常地接近，说明式（3.12）能满足坝基面AD上出逸坡降的计算。

通过计算还发现，在一般常见坝坡情况下（m2＝1.5～3），从下游坡角A点沿坝坡向上的危险坡降区域大约为h0值的0.25～1.0，在沿坡脚设置排水措施时，应注意这段长度的设计。

3.3.2　无限深透水坝基上土石坝坝后水深为H2时出逸坡降的计算

若土石坝的坝后水深为H2，计算简图如图3.3（a）所示，从图中可以看出，此类情况坝后出逸坡降的计算总共可以分为3段，即AB段、BC段和CD段。其中，渗出段AB渗流出逸坡降的计算可根据式（3.10）来计算；而BC段及CD段的渗透坡降就需要重新计算（注：计算图中的ABCD为广义多边形，在复平面内坝坡上D点与下游水平面的D点同为一点）。

从图中可以看出，坝体的浸润线比较接近坝坡AD，所以在计算中可以假定渗出段AB和渗出段上的坝坡面AD为流线，则计算图形中BAD就为一条流线（坡面段），即该边界上的流函数ψ＝0；浸没坡面BC线及坝基水平线CD（水平段）为等水头线，边界上的势函数φ＝0。这样根据保角变换的知识可以将广义多边形ABCD转化成复平面，即实际渗流场Z平面的复势区域，如图3.3（b）所示。

通过保角变换可以找出Z平面与ω平面之间的变换函数为

其中：为下游坡面的坡角；C为常数。

将变量Z采用极坐标来表示，则有

在出逸点A，有由式（3.13）便可得常数C的值：

由式（3.13）再对Z求导可得到该渗流区域的渗流速度为

3.3.2.1　坝下游浸没坡BC的坡降分布

坝下游浸没坡面BC上各点用极坐标（极坐标形式和复函数基本一致，便于计算）表示为

将Z的极坐标代入式（3.15）得

将上式的实部和虚部分开，代入常数C值，求出速度Vx的值：

又因为Vx＝－kJ，从而可得出BC段上的出逸坡降计算公式：

由式（3.17）可得，在浸没坡面B点及C点，有JC＝∞，JB＝∞。

3.3.2.2　坝后沿浸没地基面CD的坡降分布

当无限深坝基上的土石坝坝后坡脚水深为H2时，在浸没的坝基面上有Vx＝0，所以式（3.15）可以写成

同样将C值代入上式，可以得到沿浸没地基面CD上出逸坡降的计算公式为

通过上述的推导，我们可以应用式（3.17）和式（3.19）求出无限深透水坝基坝后坡脚水深为H2时浸润坡面和坝基浸没面的渗透坡降。