2.5　无限深透水地基上不透水铺盖斜墙土石坝的渗流计算

在深厚强透水地基上修建土石坝，经常采用水平铺盖加斜墙防渗的型式，但以往对这种坝型渗流计算的研究多限于有限深地基的情况，本书用分段保角变换的近似方法提出地基为无限深情况下的解答。计算中先假设铺盖和斜墙均是不透水的，对实际而言，当地基的透水性相对很大时可以作这种简化，此假设适用于以土工膜或沥青材料作防渗体时的计算。随着近代工业和筑坝技术的发展，无论在新建工程或土坝防渗加固中，运用具有高防渗性能同时也具有一定柔性的土工膜或沥青混凝土作为防渗体已愈来愈普遍。

2.5.1　基本计算公式的推导

计算图形如图2.7所示。H1为上游水深，下游水深为0。墙后坝体的浸润线与斜墙内坡交于E点，该点的水头损失设为Δh，L1、L2分别为铺盖的长度和坝的底宽，m和απ表示斜墙内坡的坡度系数及与水平面的夹角，其中απ以弧度为单位。

图2.7中的图形可以分为上游段至E点为止的有压渗流和从E点起至下游段的无压渗流两段，并可分别用保角变换方法求出这两段渗流场的近似解答。为建立两段渗流场解答间的联系，选取过E点的铅直线与坝底线的交点G。由于通过G点的流线（图2.8中带箭头的实线）在上下游两段内应为连续的曲线，因此若由两段分别求出G点的流函数值并令其相等来建立方程式，就可求出E点的水头损失Δh及其他要素。

（1）上游段渗流计算。如图2.8所示用Z平面表示上游段渗流场，并假定沿DE为无限伸延。取上游面为基准面，确定的化引复数位势区如图2.9所示。相应于上游河床底面透水边界BC，有φBC＝0；在E点，φE＝Δh；沿不透水铺盖及斜墙底面的流线CDE，取ψCDE＝0。以上φ及ψ为化引势函数及化引流函数，φ＝－h，ψ＝q/k，h表示水头，q表示渗流量，k为渗透系数。

为寻求ω平面与平面之间的变换函数，取如图2.10所示的辅助平面。由平面保角变换得到的平面函数可取为

式中C1、C2为待定常数。若以α1＝1/（1＋α）代替，并以C点的对应数值代入，可得C2＝－C1，又有

ω1平面与复势平面ω之间的变换函数应为

由于在E点有　

故由式（2.37）可以求出常数再代入式（2.37），得上游段复势函数表达式：

将z以极坐标形式z＝ρ（cosθ＋isinθ）表示，并分开实部与虚部，由上式又得

若已知水头损失Δh，由式（2.39）、式（2.40）就能求出上游段渗流场内各点的渗流要素。

为求G点的流函数ψG，只需将G点的ρ＝m（H1－Δh）及θ＝π代入式（2.39）及式（2.40）即可，但这样得到的结果较繁琐。为使以后求解Δh的运算简单，假定G点与E点有相同的水头损失，即用Δh＋dΔh≈Δh表示G、E两点水头损失的差值，由式（2.40）可得出G点的流函数计算式为

沿铺盖底部的水头损失由式（2.41）可得

计算上游段假定了E方向无限延伸及E、G两点有相同的水头损失值，其误差将在下面分析。

（2）下游段渗流计算。下游段渗流在z平面内的区域如图2.11所示，下游排水首先取为水平垫层排水的型式，其边界条件为φFPH＝0，φE＝－（H1－Δh），ψEF＝0。同样假定E点向上游为无限延伸。由上述边界条件确定的化引复势区域如图2.12所示的ω平面。

引入如下形式的茹可夫斯基函数：

于是有

设点P与F间距离为a，将已知条件代入式（2.44）及式（2.45）可知茹可夫斯基函数的辅助平面如图2.13所示，ω平面与ω′平面间的变换函数为

代入E点的相应值，得因此

分开实部与虚部，并代入式（2.44）及式（2.45）有

由式（2.48）、式（2.49）可得出下游段渗流场各点要素的解答，其中a为未知值，可从以下的分析确定。

将P点的相应值代入式（2.47）有

由式（2.47）求出导数dz/dω再代入P点的相应值又有

由于dz/dω＝（cosγ＋isinγ）/V，其中V为渗流化引速度，γ为渗流速度与z平面上x轴的夹角，而P点为奇异点，V＝∞，故知因此

解式（2.50）和式（2.51），得a的计算公式为

在浸润线上因有φ＝y及ψ＝0，由式（2.48）得浸润线方程式为

需要指出，浸润线方程式（2.53）与假定坝底线GP与不透水地基层面时的杜布依方程式有着相同的形式，由此可知，上述对水平垫层排水坝型的计算也同样可应用到下游排水是棱柱排水或无排水（或贴坡排水）的情况。这时仅需对计算得到的浸润线在靠近排水体处做局部修改，例如可以参照A.Casagrande提出的不透水地基上均质土坝渗流计算的方法，这里不再赘述。

求G点的化引流函数值，由于假定E、G有相同的水头，故可避免求解联立方程式，而以y＝0及φ＝－（H1－Δh）代入式（2.49）确定为

（3）求解水头损失的方程式。由上下游段计算G点流函数的式（2.41）与式（2.54）相等，得到求解E点水头损失Δh的方程式为

变换上式，并将式（2.52）的a值计算式代入，求解Δh值可以分解为由以下两式试算的η值：

其中A＝L2/H1＋η［（L2/H1）－m］；η＝（H1－Δh）/Δh，表示E点的水深与水头损失的比值。试算时可假设不同的η值求出f1及f2的曲线，借助图解找出两曲线的交点，从而求得f1＝f2时的η值（参见下节举例）。

求出η值后，E点的水头损失则为

通常需确定铺盖末端水头损失ΔhD，由式（2.42）得

2.5.2　计算举例和误差

计算图形如图2.14所示。H1＝20m，L1＝100m，L2＝90m，α＝1/6，m＝1.732，棱体排水内坡与水平的夹角为120°。

首先算出下列常值：α＝0.857；mα1sinα1π＝0.7；（1＋m2）α1/2＝1.81； L1/H1＝5；L2/H1＝4.5。

设η＝0.6，由式（2.56）、式（2.57）求得f1及f2分别为f1＝3.657，A＝6.161，f2＝3.981。再设η＝0.7，得f1＝5.315，f2＝4.756；η＝0.65，得f1＝4.438，f2＝4.366。作出f1、f2曲线（图2.15）得η＝0.642。

由式（2.58），E点水头损失为ΔhE＝12.18m。铺盖末端水头损失按式（2.59）计算为ΔhD＝11.10m。

下游坝体浸润线按式（2.53）计算，式中a按式（2.52）确定，具体计算及棱体处局部修正从略，其结果如图2.14中虚线所示。

表2.3列出了计算值与电模拟试验值的比较情况，表中同时还列出按图2.14计算的，当L1＝0m时的情况，其Δh/H1的误差均在5%以内。计算的浸润线比试验值略低，试验也表明浸润线为抛物线形状。

下面来分析一般情况下的计算误差。计算中采取了两个假定：①两段在E点均为无限延伸，这样两段各自变换求得的过E点的等水头线将产生重叠或脱空现象；②计算ψG时假定了G、E两点有相同的水头。由于对所述问题目前尚无理论解可作比较，分析这两个假定各产生多大误差尚有困难，因此我们仅为满足工程实际应用的目的，分析这两个假定对于计算结果的综合影响，从而给出大致的误差范围。

首先来分析如图2.16所示平地板的有压渗流，若同样假定E点处各为无限延伸分两段变换，由E点铅直向下取距离为b的G点，也可假设E、G两点有相同水头来求ψG，令两段求得的ψG相等得E点水头损失为

用FE＝L1/（L1＋L2）表示E点的位置，取b＝0.1L，FE不同时ΔhE值与平地板渗流的理论解比较见表2.4。由于平地板渗流的对称性，当FE＝0.6、0.65、0.7时也将有与表2.4相应的误差。平地板渗流的分析说明，只要分段位置不取在两端等水头线及流线有较大弯曲的区域，上述两个假定就不致产生严重误差。当FE＜0.5时，过E点的实际等水头线总是向上游弯曲而偏离G点，FE愈小，偏离愈大。当FE＞0.5时，情况相同，只不过实际等水头线向下游弯曲而偏离G点，这种平底板渗流是土坝上游坝坡很缓以至m趋于∞的极限情况。同时可以指出，无压渗流除浸润线边界未知需由计算确定外，与有压渗流并无其他差别。因此这种分析也可应用于土坝，对于土坝当然还需考虑坝坡的影响。

当由计算求得土坝墙后E点水头损失Δh/H1后，也就知道了E点或G点的相对水平位置，可如平底板渗流一样表示为FE＝［L1＋m（H1－Δh）］/（L1＋L2）。

如果将以上分段变换的计算方法理解为是以过G点的流线为不透水层曲面的有限深地基分段法，那么可知在讨论过E点的等水头线位置受坝坡的影响时，就可以只讨论到点附近而不必再去讨论更深处的情况。这样，对于m≠∞的土坝，不难理解坝坡的影响将使过E点的等水头线相对于平底板渗流增加一个向下游弯曲的趋势。因此，如有FE＜0.5，对照平底板渗流，可知随着坝坡逐渐变陡（m逐渐减小），Δh/H1的误差也将相对于表2.4所列数值逐渐减小，当坝坡变得更陡，以致使得过E点的等水头线变得越过G点转向下游偏离G点，这时误差又开始增大。当FE＞0.5时，相对于平底板渗流坝坡的影响只能使误差单调增大。此外，图2.14所举算例可以代表坝坡较陡（m＝1.732）的一种情况，当L1＝0m时，有FE＝0.225，Δh/H1的误差为0.019；当L1＝100m时，FE＝0.579，Δh/H1的误差为0.035，与表2.1平底板相比也大致反映出上述误差变化的规律。考虑表2.4以及FE＜0.5及FE＞0.5时上述误差受坝坡影响的变化情况，故至少可以认为，在m≥1.732、FE＝0.35～0.6的范围内，水头损失Δh/H1的计算误差将不大于5%。在实际应用时，FE值将是求出计算结果Δh/H1以后进行判别。所给的m和FE的范围已相当宽，实际工程中常见的土坝断面是经常能得到满足的。